第3章机械能和功(板书)

1、P.0/67第2章 质点动力学3-1 3-1 动能和动能定理动能和动能定理一、一、 功功(work): 功是度量能量转换功是度量能量转换的基本物理量的基本物理量, ,它描写了力对空间它描写了力对空间积累作用积累作用.1. 恒力的功恒力的功FssAFsrFF(cos)AFrcosFrAFr2. 2. 变力的功变力的功(,)bbbb xyz(,)aaaa xyziFiir解决方法：解决方法：1) )无限分割路径；无限分割路径；2) )以直线段代替曲线段；以直线段代替曲线段；3) )以恒力的功代替变力的功；以恒力的功代替变力的功；4) )各段作功代数求和；各段作功代数求和；iiiirFAcosNii

2、iirFA1cosNiiirF11limdNbiiaNiAFrFr 当当N 时时P.1/67第2章 质点动力学讨论讨论dcosdbbaaAFrFsABOFrdsdrrdcosddAFrFr元功元功(elementary work)（1 1）功与力和路径有关）功与力和路径有关功是过程量功是过程量（2 2）标量，有正负。）标量，有正负。（3）合力作功合力作功12nF, F,F若物体同时受到若物体同时受到 的作用，总功为：的作用，总功为：BAAF dr12BnA(FFF ) dr12BBBnAAAF drF drF dr12nAAA 合力对物体所做的功等于各个合力对物体所做的功等于各个分力对该物体所

3、做功的代数和。分力对该物体所做功的代数和。（4 4）用不同坐标系计算功）用不同坐标系计算功直角坐标系中直角坐标系中kFjFiFFzyxkzj yi xrdddddddddxyzAFrF xF yF zP.2/67第2章 质点动力学dddbbbaaaxyzxyzxyzAF xFyF z自然坐标系：自然坐标系：,ttnntFFeF edrdseabFdrtenenFtFtddbbaaAFrFr则有则有21stsAFds（5 5） 与参照系无关，位移与参照系无关，位移与参照系有关，与参照系有关，故故 A A 与参照系有关与参照系有关。F 以车厢为参考系以车厢为参考系, ,摩擦力不摩擦力不作功作功.

4、.以地面为参考系以地面为参考系, ,摩擦力摩擦力作功作功. .一般情况下一般情况下, ,通常约定以通常约定以地面为参考系地面为参考系. .f(6) (6) 功率功率定义：定义：单位时间内完成的功单位时间内完成的功tWP平均平均功率功率P.3/67第2章 质点动力学单位：单位：瓦特瓦特(W)瞬时瞬时功率功率tWtWPtddlim0ddddWFrPFttv(7) 示功图示功图(功可用曲线下面的面积表示功可用曲线下面的面积表示.OxFaxbxxFWd解（解（1 1）物体沿）物体沿OABOAB路径运动时，路径运动时，力的功为力的功为dddBOABOABOAABOAAFrFrFrAA式中式中10ddAO

5、AyOAFrF y例例3-1 3-1 设作用于质点的力设作用于质点的力为为 。分别求。分别求质点自质点自O O点经点经OABOAB和和ODBODB到达到达B B点时点时力力 所做的功。所做的功。()Fxyixy jF2.2 2.2 功和动能定理功和动能定理第3章 机械能和功100()dxxyy101d2y y10ddBABxAAFrF x110dyxyx101d2x x于是，有于是，有111J22OABOAABAAA（2）物体沿）物体沿ODB路径运动时，路径运动时，力的功为力的功为dddBODBODBODDBODAFrFrFrAA式中式中10ddDODxOAFrF x11000d0d0yxyx

6、x10ddBDByDAFrF y111001()d(1)d12xxyyyy于是，有于是，有110 11J22ODBODDBAAA2.2 2.2 功和动能定理功和动能定理第3章 机械能和功例例3-2 3-2 小球在水平变力小球在水平变力 作用作用下缓慢移动，即在所有位置上下缓慢移动，即在所有位置上均近似处于力平衡状态，直到均近似处于力平衡状态，直到绳子与竖直方向成绳子与竖直方向成 角。求：角。求：(1) (1) 的功，的功，(2) (2) 重力的功。重力的功。FFmlFmg解：解：cossinFmgttancos sinFmgmgtanFmgdmgAmgr(1 cos )mgl tddFAFrF

7、 s(1 cos )mgl变力变力恒力恒力 曲线运动曲线运动0sindmgl0sindmglP.6/67第2章 质点动力学C .xyOPrRmF解：解：j yFixFF00jyixrj yi xrddddAFrRyyFxxF200000dd202RF一质点做圆周运动一质点做圆周运动, ,有一有一力力 作用于质点作用于质点,求求在质点由原点运动至在质点由原点运动至P(0，2R)点过程中点过程中, ,力力 做的功做的功.j yi xFF0F示功面积求解示功面积求解12m 1N1J2AO21x /mF /NF由图写出作用力由图写出作用力F与位与位移移x的数值关系的数值关系, ,积分求解积分求解. .

8、22200dd1J 24baxxAF xxP.7/67第2章 质点动力学二二 动能定理动能定理 设质点设质点m在力的作用下沿曲在力的作用下沿曲线从线从a点移动到点移动到b点点元功元功:dsFbaavbvddcosdAFsFstdcosdFmamtvddcosdddAFsmstvdmv v总功：总功：ddbaAAmvvv v22bakk1122baAmmEEvv质点的动能定理：质点的动能定理：合外力对质点合外力对质点所做的功等于质点动能的增量。所做的功等于质点动能的增量。(1) 动能是标量动能是标量, ,是状态量是状态量(2) 功是过程量功是过程量, ,动能是状态量动能是状态量. .功是能量变化

9、的量度；功是能量变化的量度；(3) 动能定理由牛顿第二定律导动能定理由牛顿第二定律导出出, ,只适用于惯性参考系只适用于惯性参考系, ,动能动能也与参考系有关也与参考系有关. .P.8/67第2章 质点动力学例例3-33-3 设用铁锤把钉子敲入木板时，木设用铁锤把钉子敲入木板时，木板对钉子的阻力与钉子进入木板的深度板对钉子的阻力与钉子进入木板的深度成正比。若铁锤敲第一次时能把钉子敲成正比。若铁锤敲第一次时能把钉子敲入木块入木块1.0cm1.0cm深，而第二次用锤敲打钉深，而第二次用锤敲打钉子的力度与第一次相同，问第二次敲击子的力度与第一次相同，问第二次敲击能把钉子钉进木板多深？能把钉子钉进木板

10、多深？解解 每一次敲击都有每一次敲击都有fi22fidd11()22bxFaxAFrkx xkxkx 式中式中 分别为钉子在每分别为钉子在每一次锤子敲打前后的深度。一次锤子敲打前后的深度。if,x x由动能定理由动能定理2F102Amv得得222fi111222kxkxmv第一次敲打时，有第一次敲打时，有if10,1.0cmxxx得得222fi111222kxkxmv则阻力系数为则阻力系数为221mvkx第二次敲入第二次敲入 i1f2,xx xx22221111222kxkxmv解得解得212xx因此，第二次敲打能把钉子敲入的深因此，第二次敲打能把钉子敲入的深度为度为221210.41cmxx

11、x P.9/67第2章 质点动力学3-2 3-2 保守力和势能保守力和势能一一 保守力与耗散力保守力与耗散力1) 万有引力万有引力(gravitation)的功的功rrMmGF33dBAMmAGrrrddcosrrrr物体物体m从从A到到B,经过路径经过路径cOMmFrArBrABrdCrrrre极坐标系极坐标系t 时刻时刻 矢径矢径 、矢径大小、矢径大小rrtt 时刻时刻 矢径矢径 ，矢径大小矢径大小rrrdr dcosrrr 又，由图，又，由图，dcosrddcosdrrrrr r2dBArrMmAGrr万有引力作功与路径无万有引力作功与路径无关只与始末位置有关关只与始末位置有关, ,11

12、()BAGMmrrP.10/67第2章 质点动力学OMmFrArBrABrdCr作功只与质点的初、末位置有关作功只与质点的初、末位置有关称为称为保守力保守力D质点沿质点沿BDABDA从从B B回到回到A A点点，引力作引力作功为功为: :BDAabGMmGMmArr质点沿质点沿ACBDAACBDA封闭路径一周，引封闭路径一周，引力作功为：力作功为：dACBFrdBDAFrACBBDAAA0ACBDAACBDArFAd结论：结论：0d ACBDAACBDArFA1 1）保守力沿任意闭合路径的积分为零！）保守力沿任意闭合路径的积分为零！2 2）可以证明：弹性力、万有引力、）可以证明：弹性力、万有引

13、力、静电场力等均静电场力等均 为保守力。为保守力。3 3）若某种力作功与具体路径有关，）若某种力作功与具体路径有关，该种作用力称为耗散力。该种作用力称为耗散力。 如摩擦力、如摩擦力、爆炸力等。爆炸力等。ACBDAACBDArFAdACBrFdBDArFd0P.11/67第2章 质点动力学2）重力）重力(gravity)的功的功ddAGrzmg d物体从物体从M1到到M2重力作的总功：重力作的总功：d(ddd)Amgkxiyjzk 211221ddMMAAmg ymg zzmgzmgz2z1zxyzO1Mrgm2M3) 弹性力弹性力(elastic work)的功的功XOxfab1x2x弹性力弹

14、性力ikxfx弹性力的功为弹性力的功为2211ddxxxxxAfxkxixi22212121kxkx 21222121kxkxP.12/67第2章 质点动力学 重力、弹力、万有引力的共重力、弹力、万有引力的共同特点：同特点： 做功与路径无关做功与路径无关, ,只与起、只与起、末点位置有关末点位置有关. 做功与相互作用物体的相对做功与相互作用物体的相对位置有关等于某函数在始末位位置有关等于某函数在始末位置的值之差置的值之差.保守力保守力(conservative force)FrFWL, 0d 为保守力为保守力. 物体沿闭合路径绕行一周物体沿闭合路径绕行一周, ,这些力所做的功恒为零这些力所做的

15、功恒为零, ,具有具有这种特性的力统称为这种特性的力统称为保守力保守力.4) 摩擦力的功摩擦力的功mgFdcos ddAFsmg s21dMMAmgsmgs1M2M摩擦力的功与质点运动路径有关摩擦力的功与质点运动路径有关.摩擦力为非保守力摩擦力为非保守力d0,LAFrF为保守力为保守力. .若若d0,LAFrF为非保守力为非保守力. .若若P.13/67第2章 质点动力学二二 势能势能 OMmFrArBrABrdCr仍以引力为例仍以引力为例 按照动能定理按照动能定理,若质点在引力场若质点在引力场中运动（只受引力作用）中运动（只受引力作用）kkdBABBAAAFrEEdBABBAAGmMGmMA

16、Frrr引力场引力场kkBABAGmMGmMEErr或或kk()()BABAGmMGmMEErr 结论：结论：(1) (1) 质点在引力场中运动时，引质点在引力场中运动时，引力场作功（或正负），质点动能力场作功（或正负），质点动能有相应变化（或增大或减小）。有相应变化（或增大或减小）。(2)(2)但是：有一个不变物理量！它但是：有一个不变物理量！它与质点所处空间点关。质点的动与质点所处空间点关。质点的动能与其在引力场中的空间位置有能与其在引力场中的空间位置有关。关。P.14/67第2章 质点动力学kk()()BABAGmMGmMEErr (3)(3)同时，有一个与空间位置一同时，有一个与空间位

17、置一个的量个的量 与动能相对应！与动能相对应！使其与动能的和保持不变！使其与动能的和保持不变！()GmMr()GmMr(4) (4) 称为（引力）势称为（引力）势能能 ，通常用，通常用 Ep 表示表示kpkp AABBEEEE(5)(5)由此可以设想：质点处于保守由此可以设想：质点处于保守力场中时，相应地具有一力场中时，相应地具有一 定的势定的势能能与质点所处位置有关。与质点所处位置有关。pdBABABAAFrE pp()BAEE pp()ABBAAEE 当保守力场作正功时（当保守力场作正功时（A A00），），k0,EA动能增大，动能增大， 即质点势能减小并转化为即质点势能减小并转化为运动运

18、动能量能量的缘故！的缘故！ 势能就是质点在保守力场中势能就是质点在保守力场中所 具 有 的所 具 有 的 潜 在 的 能 量潜 在 的 能 量(Potential Energy)(Potential Energy)P.15/67第2章 质点动力学意味着：在保守力场中，质意味着：在保守力场中，质点的动能可以点的动能可以“势能势能”的形的形式保存起来；也可以通过作式保存起来；也可以通过作功的方式再释放出来成为可功的方式再释放出来成为可对外作功的对外作功的“动能动能”。势能增量势能增量的负值的负值pp()ABBAAEE 定义了势定义了势能的差值能的差值势能定义势能定义按照势能定义式：势能还可以按照势

19、能定义式：势能还可以有一个常量的差！有一个常量的差！引力势能：引力势能：pConst.GmMEr 常量可任意选择！常量可任意选择！0ppp0( )( )( )drrE rE rE rFr空间某点的势能空间某点的势能E Ep p在数值上等在数值上等于质点从该点移动到势能零点于质点从该点移动到势能零点时保守力作的功。时保守力作的功。(2)势能的大小只有相对的意义，势能的大小只有相对的意义，相对于势能零点而言。势能零相对于势能零点而言。势能零点可以任意选取。点可以任意选取。 设空间设空间 点为势能零点，则空点为势能零点，则空间任意一点间任意一点 的势能为：的势能为：0rrpp()ABBAAEE (1

20、) (1) 势能是一个系统的势能是一个系统的属性属性. .说说明明P.16/67第2章 质点动力学(1)万有引力势能万有引力势能rrMmGErd)(2pr为势能为势能零点零点rGMmEp势能零点为弹簧原长势能零点为弹簧原长O处处0pdxxkxEMOXkx2p21kxE(2) 弹性势能弹性势能(3)重力势能重力势能xzy0),(zyxPmg0pdzzmgEmgzE p),(00, 00zyxp设地面为设地面为势能零点势能零点，二二 由势能函数求保守力由势能函数求保守力 ddpdAFrE pdBABABAAFrE 当位移很小，当位移很小，在直角坐标系中在直角坐标系中ddddxyzFrF xF yF

21、 z而而ddddppppEEEExyzxyzddd(ddd )xyzpppF xF yF zEEExyzxyzP.17/67第2章 质点动力学pxEFx ()xyzpppFFiF jFkEEEijkxyz改写成改写成(+)d(+)d(+)d0ppxypzEEFxFyxyEFzz要求要求 系数为系数为0pyEFy pzEFz kxFx 得得例如：由弹性势能例如：由弹性势能221kxEP3-3 3-3 功能原理功能原理 能量守恒定律能量守恒定律一一 质点系的动能定理质点系的动能定理设质点系由设质点系由N N个质点组成个质点组成 mi ( ( i = 1, 2, 3, N) )速度为速度为 iv质点

22、系质点系imjmijfjifiFjFP.18/67第2章 质点动力学受力为：受力为： 按质点动能定理：按质点动能定理： 对任一质点对任一质点 mi 有有 kk() d BiiiijBAj iAFfrEE () iijj j iFf即，对每个质点：即，对每个质点：d() dBBiiiijKBKAj iAAFrfrEEiKiniexiEAA,对整个质点系对整个质点系iiKiiniiexiEAA,222121iAiiiBiivmvmKinexEAA质点系的动能定理：作用于质质点系的动能定理：作用于质点系的内力和外力所作的功等点系的内力和外力所作的功等于系统动能增量于系统动能增量iiKiiniiexi

23、EAA,kAAE 外内注意注意inA 一般情况下，内力一般情况下，内力作功总和作功总和 不等于零。不等于零。P.19/67第2章 质点动力学cncininexkAAAE 各质点相互作用各质点相互作用的内力分成的内力分成: :内力做的总功内力做的总功质点系的动能定理可写为质点系的动能定理可写为二二 功能原理功能原理（1 1）保守力）保守力（2 2）非保守力）非保守力cinpAE 内保守力作功可表示成质点内保守力作功可表示成质点系势能差：系势能差：ncpinexkEAAE ncinexkpAAEE kp()EE ncinexAAE cncinininAAA 定 义 质 点定 义 质 点系的机械能系

24、的机械能kpEEE功能原理功能原理 例例3-9 已知细铁链质量为已知细铁链质量为m，长为长为l，与桌面摩擦系数为，与桌面摩擦系数为 。问问(1)下垂铁链部分的长度下垂铁链部分的长度a为多为多少时铁链可以从静止开始下垂？少时铁链可以从静止开始下垂？(2)铁链全部离开桌面时速度为铁链全部离开桌面时速度为多少？多少？ kpAAEEE 外非保内P.20/67第2章 质点动力学解解 (1)设铁链的质量密度为设铁链的质量密度为ml则则()()aglag得得1al(2)当铁链下垂部分的长度为当铁链下垂部分的长度为x时，摩时，摩擦力为擦力为()flxg 例例3-9 已知细铁链质量为已知细铁链质量为m，长为，长

25、为l，与桌面摩擦系数为与桌面摩擦系数为 。问。问(1)下垂铁链下垂铁链部分的长度部分的长度a为多少时铁链可以从静止为多少时铁链可以从静止开始下垂？开始下垂？(2)铁链全部离开桌面时速铁链全部离开桌面时速度为多少？度为多少？ 因此，在铁链的下滑过程中摩擦力做的因此，在铁链的下滑过程中摩擦力做的总功为总功为f2d()d1()2lalaAf xglxxg lx 21()2 g lancinexAAE 得得22221()2111()()222g laEl vglga 1glvP.21/67第2章 质点动力学当外力对系统不作功、系统内当外力对系统不作功、系统内也无非保守内力作功或内力作也无非保守内力作功

26、或内力作功总和为零时功总和为零时 机械能守恒定律：机械能守恒定律：在孤立系统在孤立系统中非保守内力不作功时，系统中中非保守内力不作功时，系统中的动能与势能可以彼此转化，各的动能与势能可以彼此转化，各质点的机械能也可以相互交换，质点的机械能也可以相互交换，但系统的总机械能为恒量。但系统的总机械能为恒量。三三 机械能守恒定律机械能守恒定律由功能原理：由功能原理：注意注意 本章讨论的动能定理、本章讨论的动能定理、功能原理、机械能守恒等都是针功能原理、机械能守恒等都是针对某惯性系的结论！对某惯性系的结论！cincin0pk0AAEEncinexAAE ncin0Aex0A0EKPEEcP.22/67第2章 质点动力学例例3-103-10计算第一、第二宇宙速度。计算第一、第二宇宙速度。第一宇宙速度第一宇宙速度 已知：地球半径为已知：地球半径为R，质量为，质量为M，卫星质量为，卫星质量为m。要使卫星在距。要使卫星