微专题隐零点问题

1、微专题隐零点问题基础知识0的根隐零点定义：已知函数f(x),其导函数方程f(x)0的根存在，却无法求出，设方程f(x)为Xo,则称X0为隐零点，是相对于能求出零点的函数而言的。一般地，隐零点如果是导函数的变号零点，则它就是原函数的极值点,典型例题：题型一假设出零点的值，不需要估计零点的取值范围1.已知函数f(x)1nx-ax.x(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若1a2,求证：f(x)1.解：(1)令g(x)=2-lnx-2x2,屋(x)=-所以g(x)在(0,+00)上单调递减，且g(1)=0所以当x(0,1)时，g(x)0即f(x)0所以当x(1,+oo)时，g(x)0即f(x)0综上

2、所述，f(x)的单调递增区间是(0,1),单调递减区间是(1+8).(2)证明：f(x)-1,即HX2)几Irtlnx-1Ir(1r、2-lns-a支-lnz+2氏h(K)二htxJ=a&二2，KK工设小(x)=-ax2-lnx+2$f=-0x工所以小/(x)在(0,+)小于零包成立即h(x)在(0,+00)上单调递减因为1a0,h(e2)=-a0,h(x)单调递增，当xC(x0,+oo)时，h(x)0,h(x)单调递减,lnxn-1所以hG)5(算口)=ax0+l,LILditU7U工口,令h(X0)=0得/口二.土为口4a以所因为1a2,所以土:直逼0,上班遹1,4a4a因为与(1，1)，

3、所以h(X。)0包成立，即h(x)0包成立,综上所述，当1a2时，f(x)0时，因为e2x单调递增，a1当b满足0b且b0时，fa-a单调递增，所以f(x)在(0,x112baa2e2e22(e22)ba4(x)存在唯一零点.)单调递增又f(a)0,0,方法二，画出函数y232和丫亘的图象，当a0时，两函数图像只有一个公共点，即原函数只有一x个零点。(II)由(I)知，可设f(x)在(0,)的唯一零点为x0,当x(0,x)时，f(x)0,当x(Xo,)时,a2xof(x)0,故f(x)在(0,Xo)单调递减，在(Xo,)单调递增，所以当xX0时，f(x)取得最小值，最小值为f(x0),由于2e

4、2xo0,得e2x0X。aln?aalnx。，八，八八，八，a，2x0InaIn2x0,2ax0alnaaln2x0aInalnx022a2alnx。2ax。aln一所以f(x。)2ax。aln2aa2xoa2故当a0时，f(x)2aalna4. (2013全国2卷理21)已知函数f(x)=ex-ln(x+m).(1)设x=0是f(x)的极值点，求m,并讨论f(x)的单调性;(2)当mW2时，证明f(x)0.(1)解f(x)=exln(x+m)?f(x)=exrff(0)=e0-L=0?m=1,x+m0+m定义域为x|x1,f(x)=ex-1ex+11x+mx+1令g(x)ex(x1)1,则g

5、(x)ex(x2)0,又g(0)0显然f(x)在(1,0上单调递减，在0,+8)上单调递增.(2)证明1：当mW2时，有ln(x+m)-2).x+2h(x)=g(x)=ex一出(x2)?h(x)=ex+$i0,xNxN所以h(x)是增函数，h(x)=0至多只有一个实数根，又g，(-a)=比-10,21所以h(x)=g(x)=0的唯一实根在区间(1,0)内，211设g(x)=0的根为t,则有g(t)=et-=0(tt+22当xC(2,t)时，g(x)gz(t)=0,g(x)单调递增;,11+12所以g(x)min=g(t)=et-ln(t+2)=干2+1=20,所以f(x)=ex-ln(x+m)

6、ex-ln(x+2)=g(x)g(x)min0.一，1_0),所以，et=tq5?t+2=e优解：(2)证明：当mW2时，有ln(x+m)0,因为ex0,所以aex-a-x0包成立,即a(ex-1)x包成立，x=0时，显然成立,x0时,ex-10,故只需h(x)a_在(0,+8)-11(1-x)ex-l八=-0),eK-l故h(x)在(0,+00)递减，而liir-=li”=1,故a1,宜tOe-1x-*Cex0时，ex-10,故只需a0q在(-巴0)包成立，eK-l|令g(x)=工,(x0,(-1)故h(x)在(-oo,0)递增，而11nl一=_=11rL=1,故a01,综上：a=1;官TQ

7、pK-lgTQpX(2)证明：由(1)f(x)=ex(exx1),故f(x)=ex(2ex-x-2),令h(x)=2ex-x-2,h(x)=2ex-1,所以h(x)在(-oo,in1-)单调递减，在(畤，+00)单调递增，h(0)=0,h(-)=2eln-ln-2=ln2-10,h(-2)h(in之)0由零点存在定理及h(x)的单调性知，方程h(x)=0在(-2,in七)有唯一根，设为x0且2ex0-x0-2=0,从而h(x)有两个零点x0和0,所以f(x)在刈)单调递增，在(x。，0)单调递减，在(0,+8)单调递增，从而f(x)存在唯一白极大值点x0即证，.J.一JHn+2由2ex0刈-2

8、=0得ex0=-,x0w1,2；f(X0)=ex0(ex0X01)=及:二(；2x01)=(一x0)(2+x0)0卷(迎：)2=4，取等不成立，所以f(x0)4得证，4又丁-2x0f(2)=e2e2-(2)1=e-4+e2e20得证，从而0(Tnx-1)max=2.；a的取值范围是-2,+8).(1,+oo)上包成立,(2)a=1时，f(x)=x+lnx,kCZ时，不等式k(x1)f(x)在xC.k1).则h(x)=1!_0,h(x)在(1,+00)上单增,.h(3)=1-ln30,存在xoC(3,4),使h(xo)=0.即当1xxo时h(x)0即g(x)xo时h(x)0即g(x)0g(x)在

9、(1,x0)上单减，在(x0+oo)上单增.令h(x。)=x0-1nx0-2=0,即1nx0=x32,x0(l+lnKQ?xD(1+k0-2)g(x)min=g(x0)=MC(3,4).X口T不一1kg(x)min=xj(3,4),且kCZ,.kmax=3.3.函数f(x)ainxx2x,g(x)(x2)exx2m(其中e=2.71828(1)当a0时，讨论函数f(x)的单调性；(2)当a1,x(0,1时，f(x)g(x)恒成立，求正整数m的最大值.解：(1)函数f(x)定义域是(0,(D当时，1+8a00,当x+00),f8)二2+/KX(0,+8)时f(x)d,o2x2+x+a=0的两根分

10、另1J是:_i-viTsa1-4当xC(0,x1)时f(x)0,函数f(x)的单调速递增，当xC(x2,+)时f(x)0,函数f(x)的单调递减；综上所述，(i)当时f(x)的单调递减区间是(0,+00),O(ii)当乌ag(x),即m(x+2)ex-lnx+x,设h(x)=(x+2)ex-lnx+x,x(0,1,.七/(k)=x)(/),.当0Q,u(x)在(0,1)递增，工产又;u(x)在区间(0,1上的图象是一条不间断的曲线，且u=eT1,iu二三红A+1)使彳uu(x0)=0,即巴篁。二*I口工当xC(0,xO)时，u(x)0,h(x)0,h(x)0;函数h(x)在(0,x0单调递减，

11、在x,1)单调递增，x.-1_2.-hjm二h(G=5+2)e0Tn工口+4=(+2)，为广丁+2”.广-1*+2/x(0,1)递减，工。台1)，h(i0)=-L+2x6(34),Lxo二当m03时，不等式m0),f(1)=e,f(1)=e-1,函数f(x)的图象在(1,f(1)处的切线方程：y-e=(e-1)(x-1),即(e-1)x-y+1=0；(n)证明：.F3二产312&0),设g(x)=f(x),则/6)二/池。，；g(x)是增函数，.ex+aea,.由；当xea时，f(x)0；-x-若0Vx1?ex+aea+1,由/+11=工151,-x.,当0xmin1,ea1时，f(x)0,故

12、f(x)=0仅有一解，记为x0,则当0xx0时，f(x)x0时，f(x)0,f(x)递增；fk)血二2-1门灯而f,G。)二，色L=。=J。4%1二0二Tnx口7。，xo，口记h(x)=lnx+x,贝UF三二匚二二，u工0uMaL？-aT?h(x。)h(),而h(x)显然是增函数，cee.0h(g)=e+1.0e町综上，当aL时，f(x)e+1.e5.已知函数f(x)axex(a1)(2x1).(1)若a1,求函数f(x)的图象在点(0,f(0)处的切线方程；(2)当x0时，函数f(x)0恒成立，求实数a的取值范围.解：(1)若a=1,贝f(x)=xe0,得曰七W-24而f(x)=a(x+1)

13、ex-2(a+1),令其为h(x),h(x)=a(x+2)ex恒为正数，所以h(x)即f(x)单调递增，而f(0)=-2-a0,所以f(x)存在口t一根xoC(0,1,且函数f(x)在(0,x0)上单调递减，在(x0+)上单调递增,所以函数f(x)的最小值为ff5ka工口/口-0十1)(2町-1)，只需f(X0)0即可，又X0满足2a42-心口+1)代入上式可得fG口)二G+1)(-2工J+xq+l)xoC(0,1,-2x/+x，即：f(x)0包成立，所以已e-l6.函数f(x)xexaxb的图象在x0处的切线方程为：yx1.(1)求a,b的值;(2)若f(x)满足：当x0时，f(x)lnxx

14、m,求实数m的取值范围.=(x+1)exa,f(O)=b=lfcb)=l-a=-l解：(1)f(x)=xJax+b,.(x)由函数f(x)的图象在x=0处的切线方程为：y=-x+1,知:解得a=2,b=1.(2)f(x)满足:当x0时，f(x)lnx-x+m,mxex-x-lnx+1,令g(x)=xe0,贝U一；二l0,则,从而lnx0=-x0,J=3(-1)0,由g1(y)-g(1)0,知:当xC(0,x0)时，g(x)0,函数g(x)在(0,xO)上单调递减，在(x0,+00)上单调递增.g(x)min=g(x。)口*-x0-lnx0=xQex0lnx0=x0?x0+x0=1.mWxxln

15、x+1恒成立？m0,得x2;令(K(x)0,得ln2xg(x).证明如下：设h(x)=f(x)g(x)=3ex+x2-9x+1,=h(x)=3ex+2x-9为增函数，可设h(xo)=0,.h(0)=-6V0,h(1)=3e-70,.xoC(0,1).当xxo时，h(x)0;当xx0时，h(x)0,h(x)min0,.f(x)g(x).8.已知函数f(x)lnxa(x1)2(a0).(1)讨论f(x)的单调性；3(2)若f(x)在区间(0,1)内有唯一的零点x0,证明：ex0e1解：(1)FQ)=-2a+l,x当00,y=f(x)在(0,+oo)上单调递增，当a2时，设2aW-2ax+1=0的两个根为叼,工弓(。工叼/