微积分笔记学习资料

1、微积分笔记精品文档第一章函数、极限和连续§1.1函数主要内容函数的概念1.函数的定义：y=f(x),定义域：D(f),值域：Z(f).2 .分段函数：y3 .隐函数：F(x,y)=04.反函数：y=f(x)x=My尸f-1(y)y=f-1(x)定理：如果函数：y=f(x),D(f)=X,Z(f)=Y是严格单调增加(或减少)的；则它必定存在反函数:y=f-1(x),D(f-1)=Y,Z(f-1)=X也是严格单调增加(或减少)的。函数的几何特性1 .函数的单调性：y=f(x),xD,x1、x2,D当xvx2时，若f(x1)<f(x2),则称f(x)在D内单调增加()；若f(x1)&

2、gt;f(x2),则称f(x)在D内单调减少()；若f(x1)<f(x2),则称f(x)在D内严格单调增加();若f(x1)>f(x2),则称f(x)在D内严格单调减少()。2 .函数的奇偶性：D(f)关于原点对称偶函数：f(-x)=f(x)奇函数：f(-x)=-f(x)3 .函数的周期性：周期函数：f(x+T)=f(x),xC(-oo,+00)周期：T最小的正数4 .函数的有界性：|f(x)|<M,x(a,b)基本初等函数1 .常数函数：y=c,(c为常数)收集于网络，如有侵权请联系管理员删除精品文档2 .幕函数：y=xn,(n为实数)3 .指数函数：y=ax,(a>

3、0、aw1)4 .对数函数：y=logax,(a>0、a*1)5 .三角函数：y=sinx,y=conxy=tanx,y=cotxy=secx,y=cscx6 .反三角函数：y=arcsinx,y=arcconxy=arctanx,y=arccotx复合函数和初等函数1 .复合函数：y=f(u),u=4(x)y=f6(x),xeX2 .初等函数：由基本初等函数经过有限次的四则运算(加、减、乘、除)和复合所构成的，并且能用一个数学式子表示的函数§1.2极限主要内容极限的概念1 .数列的极限：limynAn称数列yn以常数A为极限；或称数列yn收敛于A.定理：若yn的极限存在yn必

4、定有界.2 .函数的极限:当x时，f(x)的极限:limf(x)Axlimf(x)Axlimf(x)Ax当xXo时，f(x)的极限:limf(x)Axx0收集于网络，如有侵权请联系管理员删除精品文档左极限：limf(x)xx0A右极限:limxx0f(x)函数极限存的充要条件:定理：limf(x)xx0limx(x)limx(x)A无穷大量和无穷小量1.无穷大量：lim(x)称在该变化过程中f(x)为无穷大量。xx0,xx0X再某个变化过程是指：x2.无穷小量：limf(x称在该变化过程中f(x)为无穷小量。3. 无穷大量与无穷小量的关系:定理：limf(x)lim1f(x),(f(x)0)4

5、. 无穷小量的比较:若lim0，则称B是比a较高阶的无穷小量;若limc(c为常数)，则称B与a同阶的无穷小量;若lim1，则称B与a是等价的无穷小量，记作：Ba；若lim，则称B是比a较低阶的无穷小量定理：若：11,22；则：lim1lim122两面夹定理1. 数列极限存在的判定准则：设：ynxnzn(n=1、2、3)且：limynlimznann收集于网络，如有侵权请联系管理员删除精品文档贝U：limxnan2. 函数极限存在的判定准则:设：对于点X0的某个邻域内的一切点（点X0除外）有：g(x)且：Ximxog则：Ximx0f极限的运算规则若：limu(x)A,limv(则：limu(x

6、)v(x)lim(x)limv(x)lim(x)lim(x)limv(x)limu(x)limlimu(x)(x)(limx)limlimlimlim)limlimx)lim(x)两个重要极限sinxsin(110(1x)7国.3连续主要内容函数的连续性1.函数在Xo处连续:在x0的邻域内有定义,推论：lim收集于网络，如有侵权请联系管理员删除精品文档1olimylimf(x0x0x002olimf(x)f(x0)xx0左连续：limf(x)f(x0)xx0x)f(x0)0右连续：limf(x)f(x。)xx02. 函数在x0处连续的必要条件：定理：f(x)在x0处连续f3. 函数在x0处连续

7、的充要条件：定理：limf(x)f(x0)xx04. 函数在a,b上连续：f(x)在a,b上每一点都连续。在端点a和b连续是指：(x)在x0处极限存在limf(x)limf(x)f(x0)xx0xx0limf(x)f(a)左端点右连续；xalimf(x)f(b)右端点左连续。xb1a0b-x5.函数的间断点：若f(x)在x0处不连续，则x0为f(x)的间断点间断点有三种情况：10)x(f在x0处无定义；20limf(x)不存在；xx0730)x(f在x0处有定义，且limf(x)存在,Xx0'但limf(x)f(x0)0xx0两类间断点的判断:10第一类间断点:收集于网络，如有侵权请联

8、系管理员删除精品文档特点：XlimX0f(x)和limXX0都存在。可去间断点：limXX0f(X)存在，但)X(f在X0处无定义。2o第二类间断点:特点：liX)和limXX0至少有一个为oo,振荡不存在。无穷间断点：limXX0和limXf(X)至少有一个为oo函数在X0处连续的性质1.连续函数的四则运算:设Ximx01o(X)2oX)3oliX2.复合函数的连续性:f(u),(X),(X),li(x0)则:)X)X0)3.反函数的连续性:f(X),X),函数在a,b上连续的性质1.最大值与最小值定理:f(x)在a,b上连续f(X)在a,b上一定存在最大值与最小值。收集于网络，如有侵权请联

9、系管理员删除f()cX)在a,b上连续，且f(a)与f(b)异号在(a,b)内至少存在一点，使得：f()4.初等函数的连续性:初等函数在其定域区间内都是连续的。第二章一元函数微分学收集于网络，如有侵权请联系管理员删除精品文档§2.1导数与微分、主要内容导数的概念1.导数：yf(X)在X0的某个邻域内有定义,lim-X0Xf(X0lim-0x0limXdydx2.左导数:limXf(X)f(X0)XX0右导数:limX定理：f(在X0的左(或右)邻域上连续在其内可导，且极限存在;则：f(X0)limX(或:limf(x)X03.函数可导的必要条件:定理：f(X)在X0处可导X0处连续4

10、.函数可导的充要条件:定理：y存在(X0),且存在。5.导函数：yf(X),内处处可导。f(X。)6.导数的几何性质:f(X0)是曲线yf(X)上点Mx0,y0处切线的斜率。oX0求导法则收集于网络，如有侵权请联系管理员删除X精品文档1 .基本求导公式:2 .导数的四则运算:1。(uv)uv20(UV)UVUV0uuvuv302(v0)vv3 .复合函数的导数：yf(u),u(x),yf(x)dydxdydududx，或f(x)f(x)注意f(x)与f(x)的区别:f(x)表示复合函数对自变量x求导;f(x)表示复合函数对中间变量(x)求导。4 .高阶导数：f(x),f(x),或f(3)(x)

11、f(n)(x)f(n1)(x),(n2,3,4)函数的n阶导数等于其n-1导数的导数。微分的概念1.微分：f(x)在x的某个邻域内有定义，yA(x)xo(x)其中：A(x)与x无关，o(x)是比x较高阶的无穷小量,.o(x)gp-lim0x0x则称yf(x)在x处可微，记作：dyA(x)xdyA(x)dx(x0)收集于网络，如有侵权请联系管理员删除精品文档2 .导数与微分的等价关系:定理：f(x)在x处可微f(x)在x处可导，且:f(x)A(x)3 .微分形式不变性：dyf(u)du不论u是自变量，还是中间变量，函数的微分dy都具有相同的形式。§2.2中值定理及导数的应用一、主要内容

12、中值定理1.罗尔定理：f(x)满足条件：在(a,b)内至少存在一点存连续可导(a,b)内一点1 0在a2 0在(a上)内至少使b)b型未定式)定理：f(x)和g(x)满足条件:罗必塔法则:limoxlimx2o在点a的某个邻域内可导，且g(x)0；收集于网络，如有侵权请联系管理员删除精品文档3olim(X)A,(或3xa()g(x)则.limf(X)limf(x)A,(或xa()g(x)xa()g(x)注意：10法则的意义：把函数之比的极限化成了它们导数之比的极限。若不满足法则的条件，不能使用法则。0_即不是o型或一型时，不可求导。0应用法则时，要分别对分子、分母求导，而不是对整个分式求导。0

13、若f(X)和g(X)还满足法则的条件,可以继续使用法则，即:limxalima(rirf一0若函数是0型可采用代数变0形，化成o或型;,000型可采用对数或指数变形，化成“或一型。0导数的应用1 .切线方程和法线方程:设：yX),切线方程:(Xo)(法线方程:(f(X0)0)2 .曲线的单调性:X)在,b)内单调增加;收集于网络，如有侵权请联系管理员删除精品文档f(x)0x(a,b)f(x)在(a,b)内单调减少;f(x)0x(a,b)f(x)0x(a,b)在(a,b)内严格单调增加;在(a,b)内严格单调减少3.函数的极化极值的定义:设f(x)在(a,b)内有定义，x°是(2b)内

14、的一点；若对于x°的某个邻域内的任x0,都有：f(x0)f(x)或f(x0)f(x)则称f(x0)是f(x)的一个极大值(或极小值)，称0为f(x)的极大值点(或极小值极值存在的必要条件:1 0.f(x)存在极值定理:2 0.f(x0)存在0称为f(x)的驻点极值存在的充分条件:定理一：f(x0)是极值;x0是极值点。10.f(x)在x0处连续；20.f(x0)0或f(x0)不存在;3 0.f(x)过x0时变号。当x渐增通过X0时，f(x)由(+)变(-);则f(x。)为极大值;当x渐增通过x0时，f(x)由(-)变(+)；则f(X。)为极小值。10.f(x0)0;f(x0)是极值；

15、»由一20.f(x0)存在。x0是极值点。0若f(x°)0,则f(x°)为极大值；若f(x0)0,则f(x0)为极小值。收集于网络，如有侵权请联系管理员删除精品文档注意：驻点不一定是极值点，极值点也不一定是驻点4.曲线的凹向及拐点:若f(x)若f(x)0,xa,b;则f的)，(U)；0,xa,b；则f(的)，(n)；(x)在(a,b)内是上凹的(或凹x)在(a,b)内是下凹的(或凸10.f(x0)0,02°.f(x)过x0时变号。1x0,f(x0)称为f(x)的拐点。5。曲线的渐近线：水平渐近线：若limf(x)x或limf(x)x铅直渐近线：若limf

16、(x)xC或limf(x)xC一、主要内容重要的概念及性质：1 .原函数：设：f(x),若：F(x)并称F(x)2 .不定积分：AyA是f(x)A的水平渐近线。xC是f(x)的铅直渐近线。第三章一元函数积分学3.1不定积分F(x),xDf(x)则称F(X)是f(X)的一个原函数,C是f(x)的所有原函数，其中C是任意常数函数f(x)的所有原函数的全体，称为函数f(x)的不定积分；记作:收集于网络，如有侵权请联系管理员删除精品文档f(x)dxF(x)C其中：f(x)称为被积函数;f(x)dx称为被积表达式;称为积分变量。3.不定积分的性质:(x)dx或:f(x)dx)dx(x)dx或:df(x)

17、x)dxdxdxx)dx一分项积分法(4)kf(x)dx(x)dx(k为非零常数)4.基本积分公式:换元积分法:L第一换元法:(又称“凑微元”法)dx凑微(x)d(t)dtF(t)常用的凑微元函数有:1odx11,d(axa2om.dx3oxdxaxdx(x)ax,dlnadx/m1(ax为常数)x(ae),(a收集于网络，如有侵权请联系管理员删除精品文档4odxxd(lnx)5osindxd(coscosxdxd(sinsec2.xdx(tancscxdx(cotx)6odx(arcsin(arccos(arctand(arccot2.第二换元法:f(x)dxt)(t)(t(t)dxF(t)

18、反代t1(x)x)第二换元法主要是针对含有根式的被积函数,其作用是将根式有理化。般有以下几种代换:1oxn为偶数时0（当被积函数中有nT时）2ox(或xacosx),（当被积函数中有Va-x2时)3oxatant,(或xacott),(0（当被积函数中有4oxasect,(或xacsct),（当被积函数中有xx2a2时)分部积分法:1.分部积分公式:收集于网络，如有侵权请联系管理员删除精品文档udvvduuvdxvdx2.分部积分法主要针对的类型:)sinxdxcosxdx)exdxlnxdxarcsinxdxx)arccosxdxarctanxdxx)arccotxdxaxesinbxdxa

19、xcosbxdx其中：Pn（多项式）3选u规律:在三角函数乘多项式中，令dv;简称“三多选多”。在指数函数乘多项式中，令dv;简称“指多选多”。在多项式乘对数函数中，令ln其余记作dv;简称“多对选对”。在多项式乘反三角函数中，选反三角函数为u,其余记作dv;简称“多反选反”。在指数函数乘三角函数中，可任选一函数为u,其余记作dv;简称“指三任选”。简单有理函数积分:1.有理函数：f其中x）是多项式。2.简单有理函数:(xa)(P(x3.2定积分f(x)主要内容收集于网络，如有侵权请联系管理员删除精品文档(一).重要概念与性质1.定积分的定义:OaX1X2xi-1&Xixn-1bXbf

20、(x)dxanlirToi1f(n定积分含四步：分割、近似、求和、取极限定积分的几何意义：是介于x轴，曲线y=f(x),直线x=a,x=b之间各部分面积的代数和x轴上方的面积取正号，yx轴下方的面积取负号。+a0-bx2. 定积分存在定理：设：yf(x)xa,b若：f(x)满足下列条件之一：1 .f(x)连续，x2 .f(x)在a,b上a,b;有有限个第一类间版3°.f(x)在a,b上单调有界；则：f(x)在a,b上可积若积分存在，则积分值与以下因素无关:1与积分变量形式无关，即2与在a,b上的划分无关bf(x)dxi'，即a,b可以baf(t)dt；a任意划分;3与点i的选

21、取无关即i可以在xixi上任意选取积分值仅与被积函数f(x)与区间a,b有关3. 牛顿莱布尼兹公式:收集于网络，如有侵权请联系管理员删除精品文档若F(x)是连续函数f(x)在a,b上的任意一个原函数"bb则：f(x)dxF(x)aF(b)F(a)a*牛顿一一莱布尼兹公式是积分学中的核心定理，其作用是将一个求曲边面积值的问题转化为寻找原函数及计算差量的问题4.原函数存在定理:t)dtdt5.定积分的性质:(x),g(x,b上可积，贝上kf(x)dx(x)dx(x)dxx)dxdxx)dxx)dxx)dxbf(x)dx5aabx)cfbf(x)dx收集于网络，如有侵权请联系管理员删除o定

22、积分的计算:1.换元积分设f(x)连续,b,(t)(t)连续,(t）单则:x)dxdt2.分部积分udvvdu3.广义积分4.)dx)dx)dx定积分的导数公式(t)dt)f(t)dt收集于网络，如有侵权请联系管理员删除精品文档3"（三）定积分的应用i.平面图形的面积：1口由y与x轴所围成的图形的面积f(x)dx2口由(x),),)dx3口由(y),y),2.求平面图形面积的步骤y)dy求出曲线的交点，画出草图;确定积分变量，由交点确定积分上下限;应用公式写出积分式，并进行计算。旋转体的体积1口曲线y转所得旋转体的体积:dx2口由曲线转所得旋转体的体积:)dyg)积积及x轴所围图形绕

23、x轴旋0,收集于网络，如有侵权请联系管理员删除精品文档第四章多元函数微积分初步41偏导数与全微分一.主要内容：.多元函数的概念2 .二元函数的定义：zf(x,y)(x,y)D定义域：D(f)3 .二元函数的几何意义：二元函数是一个空间曲面。(而一元函数是平面上的曲线).二元函数的极限和连续：1 .极限定义：设z=f(x,y)满足条件：1在点(x0,y0)的某个领域内有定义。(点(x0,y0)可除外)2 limf(x,y)Axx0yy0则称zf(x,y)在(x0,y0)极限存在，且等于A2.连续定义：设z=f(x,y)满足条件:点(x0,y0)的某个领域内有定义。limf(x,y)f(x0,y0)则称xx0yy0.偏导数:定义zf(x,y)在(x0,y0)处连续。：f(x,y),在(x°,y°)点f(x。x,y。)f(x0,y。)0,y0)lim0收集于网络，如有侵权请联系管理员删除精品文档limyy)f(xo,yo)y别为函数f（XfX(X0,yo),fy