投入产出模型

1、系统控制方法投入产出分析模型及其应用投入产出分析是将研究对象视为黑箱，通过系统的输入与输出分析研究，来判断和了解系统的状态、行为和功能。具体地讲，它是研究管理系统各个部分间表现为投入与产出相互关系的经济数量分析方法。在微观管理系统，所谓投入是指产品生产所需原材料、辅助材料、燃料动力、固定资产折旧和劳动等等；所谓产出是指产品生产的总量及其分配使用方面的数量，如生产消费、外销量及增加储备等等，其中生产消费称为中间产品，外销产品和增加储备称为最终产品。投入产出分析法最初是由国民经济各个产业部门（工业，农业等）间的联系发展起来的，故称其为部门联系平衡法或产业关联法，但它的应用十分广泛，不仅可应用于国民

2、经济、地区经济的综合平衡，也可以有效地应用于企业内部的综合平衡，尤其适用于产品种类繁多，产品间联系复杂的企业。在企业中应用投入产出分析通常包括三个步骤：一是编制投入产出表，二是建立投入产出数学模型；三是应用模型进行经济分析或实施优化分析。一、企业投入产出表企业投入产出表按其用途不同和计量单位分为实物型投入产出表和价值型投入产出表两类。现分述于下（一）实物型投入产出表企业实物型投入产出表的基本格式如表1所示。表1企业实物型投入产出表投飞出单位中间产品最终产品总产量12in合计外销量增加库存苴他合计1Y1X1自产2Xij丫211X211产i1n1Yi1Xi品nIYnXn1rW1U2外2UijW2U

3、2购产imWiUi品mWmUm实物型表包括四个象限（部分）。I象限是本企业自产产品用于本企业生产消耗的数量（以产量表示，）是反映企业内部中间产品间的技术联系，现以Xj代表本企业第i种自产产品用作第j种产品生产的消耗数量，称之为流量，表的这一部分称之为自产产品流量矩阵，以符号Xij表示，是一个方阵，表内i,j=1,2,，n；n象限（部分）是本企业自产产品的最终产品数量，包括外销产品、增加库存的数量及其他用途的数量，以Y表示；出象限（部分）是本企业生产中外购产品用作中间产品消耗的数量，以符号Uj表示外贝产品i用于本企业第j种产品的生产消耗数量，表的这一部分称为外购产品流量矩阵，以Uij表示，基中的

4、i=1,2,，m为外购产品的品种数。IV象限（部分）是外购产品作为最终产品使用的数量，包括本企业使用后的剩余，用于外销或增加库存，以Wi表示。实物型表有几个特点，建模时要注意：产品的计量单位是随产品的性质而定，有其特殊计量单位，因此实物表的横行能相加，其和为产品的总量，纵列不能相加。（二）价值型投入产出表企业价值型投入产出表的格式如表2所示。表2企业价值型投入产出表（出投入、中间产品最终产品总产值12in合计外销增加库存苴他合计自产产品12inXijInYi丫2YiYnXiX2XiXn:合计外购产品12imUijmWiW2WiWmU2U2UiUm:合计固资折旧Dj新创造价值工资税金和利润VjV

5、Mj合计总产值XiX2XjXn价值型表根据产品的分配使用和价值的形成分为五个象限（部分）。I,n,出，IV象限所代表的内容基本与实物表相同，只是产品的计算单位为货币单位，因此各个产品横向相加的和是总产值，所不同的是在表的纵向增加了第V象限（部分）。第V象限是反映企业中固定资产折旧，工资和税金与利润，即生产的固定费用和新创造价值，以Dj、Vj、Mj表示。价值型表的特点是：表中产品的计量单位是单一的，都是以货币为单位，因此表的横行相加为不同产品的总产值，表的纵列相加是反映产品的价值形成，即为生产物质消耗与活劳动消耗之和，各个产品总投入与总产出之和相等。编制投入产出表，是建立投入产出模型的基础，也是

6、进行经济分析工作的依据。二、企业投入产出模型企业投入产出模型分为行模型与列模型两类：行模型是根据投入产出表横向产品分配平衡关系列出的，有自产产品分配方程组及外购产品分配方程组。实物型表与价值型表均可列出行模型；列模型是根据价值型表纵列的平衡关系建立的生产方程组，它反映产品的价值构成关系。由于实物型表由各类产品的度量单位不统一，纵向不能相加，故不能列模型。(一)行模型1.企业自产产品分配方程组从表的I、n象限来看，表的横向反映本企业自产产品的分配使用方向和数量(产品总产量或产品总产值)。若以X为第i产品的总量，则各行的平衡关系可列出下列分配方程组。Xii+X12+Xlj+X1n+Y1=XiX21

7、+X22+X2j+X2n+Y2=X2Xn1+Xn2+Xnj+Xnn+Yn=Xn可缩写为：nXXij+Yi=Xi(1)j1分配方程组反映的经济内容是：中间产品+最终产品=总产品如果引入本企业产品的直接消耗系数(aj),即生产j产品直接消耗i产品的数量，则直接消耗系数为：aij=Xu/Xj作变换得：Xj=a0?Xj(2)代入式(1)得n工aijXj+Y=Xi(3)j1写成矩阵形式为：AX+Y=X(4)从而有：Y=(I-A)X(5)或X=(I-A)1Y(6)其中，I为单位矩阵；A为直接消耗矩阵，a-ana12a1N、a2142.一a2NA=an1an2anN-根据式(2)有：A二Xj式中：Xij-本

8、企业产品的流量矩阵；父本企业各类产品总量为对角线元素的对角矩阵；(IA)-1-(I-A)的逆矩阵，又称列昂节夫逆系数矩阵。2.外购产品部分的行模型从表的出、IV象限来看，表的横向反映外购产品的分配使用方向和数量(总产量或总产值)。若以Ui为第i个外购产品的总量，则各行的平衡关系可列出下列外购产品的分配方程组。nUUij+w=Ui(i=1,2,，m)(7)j1（rj）,即生产本企产品j对外购产品i的直接消耗数量,(i=1,2,m；j=1,2,n)(8)引入外购产品的直接消耗系数则外购产品的直接消耗系数为：rij=Uj/Xj从而有：Uj=ru?Xj代入式（7）可写为：n£rjXj+Wi=

9、Ui（9）j1写成矩阵形式为：RX+W=U将式（6）代入上式得：-1，一、R（I-A）Y+W=U（10）令G=R（I-A）-1代入上式，则得：GY+W=U（11）式中，G为本企业产品对外购产品的完全消耗系数矩阵。式（7）和式（1）两组方程是企业投入产出分析的行模型。如果在计划期间内，按一定方法预测出企业自产产品及外购产品用于最终产品的数量（丫与川，再将企业自产产品的两个直接消耗系数aij和rij进行适当地修正，就能应用两组方程计算出企业自产产品总量Xi和企业产品对外购产品的总量Ui。3.完全消耗系数企业生产中在产品之间，除了有直接的生产联系外，还有间接联系，前者通过直接消耗系数aij来揭示，后

10、者则要通过完全消耗系数来全面反映各类产品生产中的直接联系与间接联系。完全消耗系数是指生产一个单位的j产品的最终产品对i产品的完全消耗量，以bij表示。例如采煤对电的消耗，采煤利用采掘机械的运转要直接消耗电，也要直接消耗金属支架和坑木等等，但采掘机械的制造、金属支架的制造和坑木的采伐加工，也要消耗电，这对于采煤来说是属于间接消耗，是第一次间接消耗，而制造采掘机械和金属支柱的钢铁的冶炼，更需要消耗电，这就属于第二次间接消耗，依次类推会有第三、第四以至更多次的间接消耗，完全消耗系数就指直接消耗和全部间接消耗之和。完全消耗系数的计算，一般是利用直接消耗系数矩阵A来推算完全消耗系数矩阵Bo现假设某企业生

11、产直接消耗系数矩阵为A,当企业各类产品若只生产一个单位时，则需要直接消耗各类产品的总量为X=AI,其中I为单位矩阵。这样第一次间接消耗应为X=A-X）=A2I;第二次间接消耗应为灵=AX=A3I,则第（K-1）次间接消耗就应为X（k-1）=AkT。按定义，完全消耗矩阵B应为：B=A+A2+A3+Ak（12）根据矩阵范数性质可知：当K一00时，Ak0,则式（12）可变为：B+I=I+A+A2+A3+Ak+=(I-A)-1所以：B=(I-A)-1-1(13)上式说明完全消耗系数矩阵与列昂节夫逆系数矩阵之间存在着密切关系，两者仅差一个单位矩阵。为了进一步了解完全消耗系数矩阵B的经济含义，对上式作进一

12、步推算：由式(13)知：B=(I-A)-1-I或B+I=(I-A)-1以(I-A)右乘上式得：(B+I)(I-A)=(I-A)-1(I-A)B(I-A)+(I-A)=IB-BA+I-A=I整理得：B=A+BA(14)用矩阵元素描述上式，可写成：nbij=aijbikakj(15)k1上式右端中第一项为直接消耗系数，第二项是间接消耗系数，即j产品的单位最终产品生产中，通过中间产品k实现对产品i的全部消耗。因为单位j产品的直接消耗为akj,而单位k产品生产中又直接和间接消耗了i产品为bk,所以bikakj的乘积是单位最终产品j在生产中，通过中间产品k对产品i的间接消耗量，k=1,2,，n。乘积bi

13、kakj对k求和，即汇bikakj,便是最终产品j对产品i的间接消耗系数。(二)列模型列模型是针对价值型投入产出表来说的，因为实物型表由地各类产品度量单位不同，向不能相加。根据价值型表I、出、V象限来看，由于产品的度量单位一致，纵列的平衡关系可建立下列生产方程组：nmZXj+£Uj+Dj+Vj+Mj=Xj(j=1,2,，n)(16)i1i11.列模型的经济含义列模型(生产方程组)的经济含义为：物质消耗+固定资产消耗+活劳动消耗+纯收益=产品总产值引入直接消耗系数aij和c,上式可写为：nm工ajXj十£rjXj+Dj+Vj+Mj=Xj(17)i1i1写成矩阵形式为:式中:A

14、cXRxDVM=X(18)AcRcnTai1i二n二.ai2i4i1m'inid一XjX2-DJD2VjV2M1M2-Xn_M式（18）移项整理得:(I-A-Rc)X=DVM(19)以(I-AC-R)左乘上式得:X=(I-Ac-R)(DVM)(20)D、V、M的条件下，乘上式（19）为企来价值型投入产出分析的列模型，在已知（I-AC-芭）,，就能得总到产值x。三、企业投入产出模型的应用（一）在企业计划方面的应用投入产出模型是辅助企业进行计划平衡（控制）与预测工作的重要工具。工作的基本要来编制计划期的新投入产出求是根据报告期的投入产出表和计划期的最终产品的预测数据,表，然后利用计划期投入

15、产出表的数据作为的企业经营决策的依据，举例说明如下：某企业报告期的投入产出表(价值型)如表3所示，生产经营5种产品，主外购产品一种，具体数据如下表所示。表3某企业报告期的投入产出表单位：万元中间产品最终产品总产值12345合计自12040105580120200210100301010160240400厂声34010060050508401601000)品42010305158020100510104010108020100外购产品5260013720固定资产折旧(D)5183452新创V405010054产值W5070150104总产值2004001000100100现要求作下年度计划，编制

16、下年度的投入产出表。工作步骤如下：1.确定计划期(下年度)各类产品的最终产品总值。现根据预测下年度各类产品的最终产品总值分别为130万，260万，190万，25万，25万，外购产品产值为10万元。即Y=(130,260,190,25,25)TW=102.根据式(6):Xt=(I-A)-1Yt,计算计划期的各类产品的总产值。(1)根据表3的数据计算直接消耗系数，如表4所示。a=X/Xj表4直接消耗系数1234510.100.100.010.050.0520.050.250.030.100.1030.20.250.600.500.5040.100.030.030.050.1550.050.030.

17、040.100.10rij60.0950.0050.00600(2)根据表4的直接消耗系数A,计算(I-A)-1,结果见表5。表5(I-A)-1的各兀素值1234511.159190.188080.067410.131520.1446720.163521.432700.162820.277210.3049331.083851.311602.996232.004132.2045440.183260.127080.131641.175820.2934150.138380.130620.156910.236271.25989(3)计算计划期总产值。一,-1Xt=(I-A)Yt1.159190.188

18、080.067410.131520.144670.163521.432700.162820.277210.304931.083851.311602.996232.004132.204540.183260.127080.131641.175820.293410.138380.130620.156910.236271.25989(219,439,1156,118,117)T上述5个产品计划期的总产值为2049万元3.计算计划期的产品流量(1)企业自产产品的流量矩阵Xij(t)Xj(t)=A?t式中，£t为对角矩阵。Xj(t)二限0.100.100.010.050.050.050.250.

19、030.100.10=0.200.250.600.500.500.100.030.030.050.150.050.030.040.100.10219000004139(1000000011800000117115621.943.911.65.96.010.9109.834.711.911.943.8109.8693.959.259.621.913.234.75.917.910.911.046.311.911.9(2)企业外购产品的流量矩阵rij(t)rj(t)=RX=(0.0250.0050.00600)219000004390000011560000118000001170=(5.52.26

20、.900)4.计算计划期固定资产折旧（D）工资（V）和利税值（M）。（1）先计算出折旧系数、工资系数、利税系数的行向量，并假设这些系数在计划期内其值不变。折旧系数行向量为：DiD2D3D4D5D=21XiX2X3X4X55183452|l_2004001000100100=0.0250.0450.0340.050.02工资系数行向量为：7?1V2V3V4V51V=（22）XX2X3X4X5_405010052|_2004001000100100=0.200.1250.100.050.02利税系数行向量为：M1M2M3M4M5,、M12（23）”1X2X3X4X55070150104|12004

21、001000100100=0.250.1750.150.100.04（2）计算度划期的折旧、工资、利税值总量。一2190000一-Dt1-D1-0.0250.0450.0340.050,020439000Vt=V尺=0,200,1250.100.050.0200115600JMt-M0.250,1750.150.100.04000118010000117-5.519.839.35.92.443,854.9115.65.92.4_54.876,8173.411.84,7_5.根据计算所得Xi“t),rj,Dt,Vt,Mt等计划期的数据，编制计划的新的投入产出表,如表6所不。表6新的投入产出表单位

22、：万元中间产品最终产品总产值12345自声121.643.911.65.96.0130219210.9109.634.711.911.9260439)产343.8109.8693.659.259.61901156品421.913.234.75.317.925118510.911.046.312.111.725117外购产品5.52.2P6.9001024.6固定资产折旧5.519.339.35.92.5新创VP44.0P54.0P115.65.92.5价值M54.976.0P173.311.84.9总产值219P439P1156118117注意：在汇总投入产出表时，要注意自产产品产值的横行与纵

23、行的平衡，即各项总产品值应相等,表6是经过微调后平衡的。上述编制计划的方法叫最终产品法，即预先经过预测给出计划期的最终产品产值。也可以给出计划期的总产值，来编制计划期的投入产出表，称之为总产值法。(二)投入产出模型在经济分析中的应用企来投入产出模型可以全面反映各类产品之间的流向和流量，可以确定企业产品的生产结构、部门比例和各项经济指标。1 .关于生产结构分析如表3所示的企业价值型投入产出表，横行表明企来各类自产产品和外购产品的按用途分配使用情况，表的第一类，(第一行)产品总产值为200万元，其中用于本企业中间消耗达80万元，最终产品为120万元，如果再细致分析，最终产品还可以划分为外销和增加库

24、存等，这样横行数据就可以确定分配结构。表的纵列表明了各类产品的生产消耗构成(C+V+M如表的第3类(第3歹U)产品生产总值为1000万元，其中物质消耗为750万元，占75%而活劳动消耗与纯收益为250万元，占25%通过表3(也可以用实物型投入产出表)计算出来的直接消耗系数(表4)和通过表5计算出来的完全消耗系数B=(I-A)-1-I,两种系数是企业重要技术经济指标：它反映企业各类产品间直接和间接生产联系与消耗结构；还反映出企业各部门的生产能力和协调关系。对于研究部门的比例关系及各部门的技术进步状况都具有重要作用，为编制计划和组织生产提供可靠数据。2 .关于计算与分析各项经济指标利用价值型投入产

25、出表的数据，可以计算和分析企业的经济效益，计算各项经济指标，如下列各个指标：物耗率=C/(C+V+M)净产值率=(V+M)/(C+V+M)产值盈利率=M/(C+V+M)等等。(三)投入产出模型在测算技术进步方面的应用投入产出表中不同时期直接消耗系数的变化，可以说是由于技术进步的结果。消耗系数的变化会导致产出量的变化，因此，不同年代产出量的变化在某种意义上应反映出技术进步的贡献，所以通过不同总产出的变化就可以求得这一期间技术进步变化的定量描述O已知：Xt=(I-At)-1Yt其中，X、A、Y均可随时期t的变化而变，现假设t=1,2,分别为前(t=1)后(t=2)两个年代，则两个年代的产出量的变化值为：X2-Xi=(I-A