数控车床数学处理

1、手工编程工作中，数学处理不仅占有相当大的比例，有时甚至成为零件加工成败的关键。它不仅要求编程人员具有较扎实的数学基础知识，还要求掌握一定的计算技巧，并具有灵活处理问题的能力，才能准确和快捷地完成计算处理工作。5. 1数学处理的内容数学处理的内容主要包括数值换算、尺寸链解算、坐标值计算和辅助计算等。5.1.1 数值换算在很多情况下，因其图样上的尺寸基准与编程所需要的尺寸基准不一致，故应首先将图样上的尺寸基准尺寸换算为编程坐标系中的尺寸，再进行下一步数学处理工作。(1)直接换算指直接通过图样上的标注尺寸，即可获得编程尺寸的一种方法。进行直接换算时，可对图样上给定的基本尺寸或极限尺寸的中值，经过简单

2、的加、减运算后即可完成。(2)间接换算指需要通过平面几何、三角函数等计算方法进行必要解算后，才能得到其编程尺寸的一种方法。用间接换算方法所换算出来的尺寸，可以是直接编程时所需的基点坐标尺寸，也可以是为计算某些基点坐标值所需要的中间尺寸。5.1.2 尺寸链解算如果仅仅为得到其编程尺寸，只须按上述方法即可。但在数控加工中，除了需要准确地得到其编程尺寸外，还需要掌握控制某些重要尺寸的允许变动量，这就需要通过尺寸链解算才能得到。5.1.3 坐标值计算编制加工程序时，需要进行的坐标值计算工作有：基点的直接计算、节点的拟合计算、刀具中心轨迹的计算及辅助计算等。(1)基点坐标的计算：零件的轮廓曲线一般由许多

3、不同的几何元素组成，如直线、圆弧、二次曲线等组成。通常把各个几何元素间的连接点称为基点，如两条直线的交点，直线与圆弧的切点或交点，圆弧与圆弧的切点或交点，圆弧与二次曲线的切点和交点等。(2)节点坐标的计算：对于平面轮廓是直线和圆以外的非圆曲线，如渐开线、阿基米德螺线等，采用直线或圆弧逼近它们。即将这些非圆曲线按等间距或等弧长分割成许多小段，用直线或圆弧逼近这些小段，从而取代非圆曲线。逼近直线或圆弧小段与曲线的交点或切点称为节点。编程时要根据所允许的误差计算出各线段的长度和节点的坐标值。节点拟合计算的内容节点拟合计算的难度及工作量都较大，故宜通过计算机完成；必要时，也可由人工计算完成，但对编程者

4、的数学处理能力要求较高。拟合结束后，还必须通过相应的计算，对每条拟合段的拟合误差进行分析。(3)刀具中心轨迹的计算：全功能的数控系统具有刀具补偿功能，编程时只要计算出零件轮廓上的基点或节点坐标，给出有关刀具补偿指令及其相关数据，数控装置可自动进行刀具编移的计算，算出所需的刀具中心轨迹坐标，控制刀具运动。5.1.4 辅助计算辅助计算：包括增量计算，脉冲数计算，辅助程序的数值计算等。本章主要介绍数控加工的坐标值计算。5.2数控加工的数值计算根据零件图，按已确定的走刀路线和允许的编程误差，计算数控系统所需输入的数据，称为数控加工的数值计算。数值计算根据加工表面的几何形状、误差要求、刀刃形状及所用数控

5、机床具有的功能(坐标轴数、插补、补偿、固定循环)等诸因素的不同，有不同的计算内容。5.2.1 直线和圆弧组成的工件轮廓数值计算直线和圆弧组成的工件轮廓数值计算比较简单，由零件图上已知尺寸数值就可以计算出基点坐标，如若不能，可利用几何元素间的三角函数关系或联立方程组来求解，这里不再赘述。5.2.2 用数学方程描述的非圆曲线的轮廓数值计算数控加工中把除了直线与圆弧之外用数学方程式表达的平面轮廓曲线称为非圆曲线。非圆曲线的节ULW点就是逼近线段的交点。一个已知曲zYilu线yf(X)的节点数目主要取决于所。|!1_!一X”3r用逼近线段的形状(直线或圆弧)、曲线方程的特性以及允许的拟合误差。图5-1

6、等间将这三个方面利用数学关系来求解，即可求得相应的节点坐标。下面简要介绍常用的直线逼近节点的计算方法。5.2.2.1 等间距直线逼近的节点计算(1)基本原理等间距法就是将某一坐标轴划分成相等的间距，然后求出曲线上相应的节点。如图5-1所示，已知曲线方程为yf(x),沿X轴方向取4x为等间距长。根据曲线方程，由为求得yi,Xi+1=Xi+x,yi1f(Xix),如此求得的一系列点就是节点。(2)误差校验方法由图5-1知，当x取得愈大，产生的拟和误差愈大。设工件的允许拟合误差为S,一般S取成零件公差的1/51/10,要求曲线yf(x)与相邻两节点连线间的法向距离小于5。实际处理时，并非任意相邻两点

7、间的误差都要验算，对于曲线曲率半径变化较小处，只需验算两节点间距最长处的误差，而对曲线曲率变化较大处，应验算曲率半径较小处的误差，通常由轮廓图形直接观察确定校验的位置。其校验方法如下：设需校验mn曲线段。谊口n的坐标分别为(xm,ym)和(xn,yn),则直线mn的方程为：xxnxmxnyynymyn令A=ymyn,B=xnXm,C=ymXnMmYn,则上式可改写为Ax+By=C。表示公差带范围的直线mn与mn平行，且法向距离为S。mn直线方程可表不为：AxByC.A2B2式中，当直线mn在mn上边时取“+”号，在mn下边时一号。联立求解方程组：yfxAxByCA2B2上式若无解，表示直线mn

8、不与轮廓曲线yf(x)相交，拟合误差在允许范围内；若只有一个解，表示直线mn与yf(x)相切，拟合误差等于；若有两个解，且xmWxWxn,则表示超差，此时应减小x重新进行计算，直到满足要求为止。5.2,2,2等步长直线逼近的节点计算这种计算方法是使所有逼近线段的长度相等，从而求出节点坐标。如图3,2所示，计算步骤如下:(1)求最小曲率半径心所yf(x)上任意点的曲率半径为：2.3/2R(y取dR/dx0,即：3yy2(1根据yf(x)求得y、y、y,并代入上式得x,再将x代入前式求得Rmin(2)确定允许的步长l由于曲线各处的曲率半径不等，等步长后,最大拟合误差max必在最小曲率半径Rmin处

9、。因此步长应为:(3)计算节点坐标以曲线的起点线。，打)为圆心，步长为半径的圆交yf(x)于b点，求解圆和曲线的方程组:(xxa)2(yya)2l2yf(x)求得b点坐标(xb，yb)。顺序以b、c为圆心，即可求得c、d各节点的坐标。图5-3等误差直线段逼由于步长l决定于最小曲率半径，致使曲率半径较大处的节点过密过多，所以等步长法适用于曲率半径相差不大的曲线。5.2,2,3等误差直线逼近的节点计算等误差法就是使所有逼近线段的误差相等。如图5-3所示，其计算步骤如下：(1)确定允许误差的圆方程以曲线起点a(Xa,ya)为圆心，为半径作圆，此圆方程式为：(XXa)2(yya)22(2)求圆与曲线公

10、切线PT的斜率kkpXtXp其中Xt、Xp、丫1、yp由下面的联立方程组求解：(圆切线方程)(圆方程)(曲线切线方程)yVtypXpXaXtXpypyayp2(XpXa)2VaVf(XT)XtXpYtf(XT)(曲线方程)(3)求弦长ab的方程过a作直线PT的平行线，交曲线于b点,ab的方程为：YYak(XXa)(4)计算节点坐标联立曲线方程和弦长方程即可求得b点坐标(Xb,Yb)。YYak(xXa)Yf(X)按上述步骤顺次求得c、d、e各节点坐标。由上可知，等误差法程序段数目最少，但计算较复杂，可用计算机辅助完成。在采用直线逼近非圆曲线的拟合方法中，是一种较好的方法。5.2.3列表曲线的数学

11、处理上述零件轮廓曲线基点或节点的计算方法，都是基于轮廓曲线的方程已知的情况下得到的，如直线、圆、椭圆、抛物线以及二次、三次曲线等。在航天、航空、汽车及其它机器制造工业中，有许多的零件轮廓曲线，如飞机机翼、整流罩、螺旋桨、凸轮样板、各种模具及叶片等，其轮廓形状是通过实验或测量的方法得到。这些通过实验或测量得到的数据，常以列表坐标点的形式给出，而不给出方程，这样的零件轮廓曲线称为列表曲线。在对列表曲线进行数学处理时，用数学拟合的方法逼近零件轮廓，即根据已知列表点(也称型值点)来推导出用于拟合的数学模型。目前，通常采用二次拟合法对列表曲线进行拟合。第一次先选择直线方程或圆方程之外的其它数学方程来拟合

12、列表曲线，如采用牛顿插值法、三次样条曲线拟合、三次参数样条函数拟合等。然后根据编程允差的要求，在已给定的各相邻列表点之间，按照第一次拟合时的数学方程进行插值加密求得新的节点。插值加密后相邻节点之间，可采用前面介绍的非圆曲线的数学处理方法。对于用方程式给出的描述零件轮廓的列表曲线，应满足如下要求：(1)用方程式描述的零件轮廓的列表曲线必须通过列表点；(2)用方程式描述的零件轮廓曲线与列表点给出的曲线凹凸一致，不应在列表点的凹凸性之外再增加新的拐点；(3)拟合曲线在方程式的两连接处有连续的一阶或二阶导数，保证曲线光滑。列表曲线的拟合方法尽管很多，但经过实践及综合分析各种方法后，目前倾向于采用三次参

13、数样条函数对列表曲线进行第一次拟合，然后使用双圆弧样条进行二次逼近的拟合方法。下面仅对常用的几种方法作概要介绍：5.2.3.1 牛顿插值法一般用相邻三个列表点建立二次方程拟合。此法计算简单，但曲线段连接处一阶导数不连续，用于列表曲线比较平滑的拟合。5.2.3.2 三次参数样条拟合所谓“样条”，是指用压铁对一根弹性细梁加压，使梁通过给定的型值点而模拟出具有力学特性的曲线。在两个支点间的样条函数是一个以二阶导数为系数的三次样条函数，且具一阶导数和二阶导数都是连续的。将分段的三次样条曲线递推到整个型值点范围，便可拟合出整条三次样条曲线(处理过程从略)。有了样条函数，即可用直线或圆弧插值加密的方法计算

14、各节点坐标值。三次样条具有一阶、二阶连续，是一种较好的拟合方法。但由于三次样条函数是建立在小挠度梁(d2y/d2x)曲线的基础上的，处理大挠度时会产生较大的误差，甚至会出现多余的拐点；另外所拟合的曲线随坐标的变化而变化，不具备几何不变性的要求。解决这些缺陷的一个有效方法是采用三次参数样条拟合方法。三次参数样条也是分段的三次多项式，且一阶、二阶导数连续，整体光滑，所不同的是用参数方程描述。图5-4(a)所示，在平面上给出点1,2,3,，n,则有(n-1)个三次参数样条段。每个三次参数样条段一般形式为：R(t)B4t3B3t2B2tB1这是一个矢量方程，t为无量纲。为简化计算，取值范围为0wt1o

15、如图5-4(b)所示，型值点P与R+1两点间为一个三次参数样条曲线段。其中：R(t)为三次参数样条曲线段上任一点的位置矢量，其端点坐标分量x(t),y(t)可看成是位置向量的坐标值；R为切向矢量。图5-4三次参数样条曲线拟合当样条段参数t的每个三次参数样条段的边界条件为两个端点的位置矢量及切向矢量。取值范围为0Wtw1时，可求得Pj与Pj+1曲线段两个端点的边界条件及系数BiB4关于Rj、Ri、Rj、Rji的关系式，从而可得任意三次样条段以位置矢量和切向矢量为系数的矢量方程。为使各曲线段光滑连接，各相邻两曲线段公节点处的曲率必须一致（二阶导数相等）的条件，以及整体曲线两端的端点条件，即可求解各

16、样条段的三次参数样条曲线方程，且整体光滑。三次参数样条曲线与坐标系的选择无关，具有几何不变性，而且能对大挠度甚至封闭曲线进行拟合，被广泛应用。有了三次参数样条方程（即列表曲线的第一次拟合），还必须进行插点加密，常用双圆弧方法进行逼近计算。并求出所有节点的编程坐标值。5.2.3.3 双圆弧法所谓双圆弧拟合方法是指在每两个型值点间用两段彼此相切的圆弧来拟合一个给定的列表曲线；或对已知的三次样条曲线进行第二次逼近计算。该法数学处理简单，节点数少，分段曲率相等，总体上为一阶光滑，可满足数控加工要求，是一种较好的方法。（1）用双圆弧拟合列表曲线当用双圆弧拟合列表曲线时为一次逼近法。取相邻四个列表点，当头

17、尾两列表点处图5-5用双圆弧逼近样条于中间两个列表点同侧（无拐点）或异侧（有拐点）时，拟合方法相同，只有圆参数计算略有差异。（2）用双圆弧法逼近三次参数样条函数曲线列表曲线用三次参数样条函数第一次拟合后，由于各型值点及其切矢（斜率）都已知，这就给采用双圆弧法进行第二次逼近计算带来方便，且是一种有效方法。为求解方便，采用u、v局部坐标系，计算完成后再换算成x、y坐标系。如图3.5,以Pj建立u、v坐标系。已知相邻两型值点Pj、Pj+i和切矢m、mi+i。过Pj和Pj+i分别作切矢mj与mj+i相交于M,联接Pj、Pj+i,从而构成三角形4PjPj+iMo过Pj作PjM相切圆Cj及过Pj+i作Pj

18、+iM相切圆Cj+i,并使两圆相切。由于两圆切点的轨迹是一个圆，取三角形的内心N切点，计算简单，实际应用效果也较好。PjN与PjiN分别为j与ji的角平分线交于N。过N作PjPji的垂线分别与过Pj作PjM的垂线交于Oj及过Pj1作Pj1M的垂线交于Oj。以Oj为圆心、“为半径的圆和以Oji为圆心、Rji为半径的圆即为三次样条曲线的两个逼近圆。过N作ED/PjPji,不难证明二次逼近圆相切于N点并分别在Pj、Pji点与已知切矢相切。根据已知型值点、切矢，利用几何、三角关系，或者用直线方程求交等方法，不难求得两圆的圆心、半径及公切点在局部坐标系中的坐标值。再根据图示局部坐标系与整体坐标系成角度关

19、系与Pj至x、y原点的距离即可求得圆心、半径、公切点在整体坐标系中的数据。同理，用以上方法处理其余各样条段，即可得整个样条函数曲线的全部数据。5.2.3.4 圆弧样条拟合列表曲线圆弧样条是我国发展的一种较简单的拟合方法。过每一型值点作一段圆弧，使相邻两段圆弧在相邻两型值点连线的中垂线上的一点相切。所构成的圆即圆弧样条曲线，它在总体上为一阶光滑，分段为等曲率的圆弧。如图5.6所示，取Pji、Pj两型值点采用局部坐标系。DT为Pji与Pj连线lj的中垂线,Cji与Cj分别为过Pji与Pj并相切于T点的圆弧，且分别与PjiM、PjM相切，弦切角分别为ji与j。不难求得切点T及Pj处的半径与圆心的坐标

20、：UtVtRjijjicos4j一sin3jjiu%ijRjsin同理,可求得Pji处圆心OjRjij4jicos4vojRji坐标与半径LsinjuOjivOjicosjRji:3jij)Rj1sinRjicosjiij2lj*jitan24参照三次样条函由以上可知，公切点与圆心的坐标及半径都取决于弦切角数求各型值点处切线的方法，利用圆弧样条型值点两侧为同一个圆弧（即曲率相等）连续的条件及整个曲线两端的端点条件，可求得弦切角j1与j（求解过程从略）。从而可求出分切点与圆心的坐标和半径，并转换成整体坐标系的数据。当曲线曲率较大或型值点较稀时，可能会出现拐点，所以应限制i13,或在Pj1与Pj中

21、间加留一点。关于双圆弧样条拟合列表曲线方法，也是在局部坐标系下，采用两内切圆的半径差与角的关系求得圆心坐标与半径。与圆弧样条一样，要用三次样条方法求出弦切角的关系式。圆弧样条与双圆弧的共同点是：总体上一阶光滑，分段为等曲率的圆弧；圆弧几何特性不随坐标而变，具有几何不变性；可处理大挠度曲线；都是用圆弧一次性逼近列表曲线，节点数少，计算简单。不同点是：圆弧样条由n段圆弧组成，而双圆弧由2（n-i）段圆弧组成，拟合精度高于前者；当列表曲线有拐点时，圆弧样条的圆弧要按型值点分开成两段圆弧处理，而双圆弧法不予分段，处理简单。圆弧样条与双圆弧法应用较广，但由于二阶不连续，适用于曲率变化不大，比较平坦的列表曲线的拟合处理。5.2.4空间曲面的数学处理当空间曲面可以用方程zfx,y来描述，如球面、锥面、直纹鞍形面等，这类曲面在数控机床上加工时，无论是用行切法还是用多坐标加工，都可以根据曲面方程来计算其加工轨迹。但是大量的空间曲面，如飞机机体、汽车车身、模具的型腔等，这些曲面只有模型、实物或实验数据，没有描述它们的解析方程。这类曲面在数控加工时，第一步工作就是建立曲面的数学模型。为了建立曲面的数学模型，首先在工件模型或实物的表面上划出横向和纵向两组特征线，这两组特征线在工件表面上构成网格，这些