微专题函数基本性质教师版

1、函数基本性质真题自测考向速览考点1函数的单调性及其应用1.课标全国m201911设f（x）是定义域为R的偶函数，且在（0,+oo）单调递减，则（）A.小股十）"（2力C/2山>«2力必1幅十）y）>/2I）|）j（2-t）>/（2T）小哂y）【解折】：4）是定义域为R的偶函数，且1%+=-log,41丁/匕八十）=/（|口拈4）旦卜咽4>L又二y=2=在（-00,38）上单调递增，/.0<2-<2<1.又丫八M）在（0,+B）单调递减,且0<2<2-t<I<1/4,）>/U'f）=小呻）【答案】

2、C2.北京20175已知函数4幻=3工-（/，则义以（）A.是奇函数,且在R.是增函数凡是偶函数，且在R上是增函数C.是奇函数，且在K上是减函数D,是偶函数，且在R上是减函数【般析】函敦fG）的定义域为R.四为"-,|丑3-（十）"（十）-'1卜=（：）=所卬&）是夺函数.因为函数13,在R上是增函敷门=（：）在心也是增函救，所以f（x）在R上是增西敕.【等聿JA3.北京2019T3设函数/（*）=/+-（a为常数）.若f（x）为奇函数,则a=;若f（x）是R上的增函数，则a的取值范围是【脾析】:千&）的定义域为R且为奇的数，二R0）=0.e

3、6;+ae0=0.a=L丁Rx）是R上的增函薮，巨0时VxER恒成立，印«'-3三0对午工wR恒成立.，二打3尸恒成立:（"）>。,二宅0.【答复】1（一0°.ol4.天津201613已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(8,0)上单调递增.若实数a满足>/(一，),则a的取值范围是.【解析】：口幻在(一8,0)上至调递增，:Rx)在(0,+8)上单调递减.A)>/(-在)=/(在).1ill3-<(I1<-T-，/+-T-<(J<-T-*£Jhi工考点2函数的奇偶性及其应用5 .山东2020模函数

4、f(x)定义域为R,且f(x+1)与f(x+2)都为奇函数，则()A.f(x)为奇函数B.f(x)为周期函数C.f(x+3)为奇函数D.f(x+4)为偶函数【解析】由f(x+1)与f(x+2)都为奇函数知函数f(x)的图像关于点(1,0),(2,0)对称，所以f(x)+f(2x)=0,f(x)+f(4x)=0,所以f(2x)=f(4x),所以f(x)=f(x+2),所以f(x)是以2为周期的函数.所以f(x),f(x+3)均为奇函数.故选ABC.6 .课标全国H201914已知f(x)是奇函数,且当x<0时,f(x)=-若f(ln2)=8,则a=.【解析】设1则-I<o.rtix&

5、lt;o时/*)=/1知汽-X)=-二:乂函数为奇雨散则-/(x)-fl-x)-即时XIn2>0./同In2)=中L二=之=甘，故"=-3.【快解】口时小了)=卡即(公有国蠹际2>叽2)="/(-h1)2/J-4TQ1一'e=l匕)=Z=8§J*m=-3.考点3函数的周期性、图像的对称性及应用7 .课标全国H201811已知f(x)是定义域为(8,+oo)的奇函数，满足f(1x)=f(1+x).若f(1)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+f(50)=()A.-50B.0C.2D.50【解析】曲或1K)=f(l+x)得用一冷=或乂+2),又贝

6、K)为寺的数，则口一冗)二«X),I所以我式)=-H?c+2)=t也+4),所以«制是周期为4的眼鼓.由"1)=2知-1)=-2T所以10)=2,未加0为寺函敕，xE(-g,+g).所以RQ)=O北固为f(-x)=fU+K),令x=L所以口0)=M2)=。1f<4)=0,-以Kl)+fl2)+fp)=fU)=&fl49)s=fll)=2IfK50)=f(2)=0t所以31)+R2)+fl(3)+3+H49)+fl：50)=12XHl)+f(2)+fO)+K4)+fK1)-|-f(2)=12X0+2=2.8 .课标全国II2()1612已知函数/(工)

7、(工巨R)满足/(-x)=2-/(、)，若函数y二与，二/(戈)图像的交点为(支*)叼,m力)，,3则£(阳+尤)=()1 =IA.0B.mC,2mD.4m方法二二由八-x)=2-/(上)知)=fx)的图像关于点1)对称.乂知y-山的图像也关于点.M对称.所以令Y=/(*)=1+1,解方程组“二五1得广二%;二;'即尸/U)与尸金In=u.i方=上.x的图像宥两个交点(-1.0,(1,2).则有必备知识整合提升1,函数的单调性(1)增、减函数的概念几何惹文F在向川科他的士的增函的睡福祉一般电，一周数1m的定，豌为区修。匚j.的rifjH的、fH当*v七时.梯有a当时k/陆都右

8、_,解必就说函效力了J在区间即么就说由苞/U)在KP卜是增函粒闻口上是她丽效(2)单调区间如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间.函数单调性定义中的x1,x2具有任意性.求函数的单调区间或讨论函数的单调性时，必须先求函数的定义域一个函数的同一种单调区间用“和"或连接，不能用连接.f(乂)一ff¥)VxlT,则->0(Xix,>fkJf(x,)>0)«X,xff鼠)在D上单调递增：,士)二匚(F)Y0«(>-叩:f(XJTrJ<0

9、)ofg在Xi-X2(3)关于函数单调性的几个常用结论f(x)与m-f(x)在m>0时具有相同的单调性，在m<0时具有相反的单调性.若f(x),g(x)均为增(减)函数，则f(x)+g(x)亦为增(减)函数.当/(工)恒不为。时，函教70)与六单调性相反.j与？a当人寓)非负时，函数双的与/Zur单调性相同.(4)复合函数y=f(g(x)的单调性设u=g(x),则y=f(u),若u=g(x刖y=f(u)单调性相同，则y=f(g(x)为增函数;若u=g(xy=f(u)单调性相反，则y=f(g(x)为减函数.复合函数的单调性规律如表：简记为“同增异减”.u=g(x)y=f(u)y=f(

10、g(x)增增增增减减减增减减减增(5)函数y=#+工(30)的单调性X分两种情况；当k>0时，在(-国和凡+%)匕单调递增;在(-麻,0)和(0/)上单调递减.图像如图.当*<0时，在(-X)和(0,+8)L单调递增.图像如阳2).is(n图2 .函数的奇偶性(1)奇函数、偶函数的概念及性质函数前提1必要条件)充要条件图像特征特殊性质单调性奇函数:函数的定义域将m小郎对定义域中任意的寡都有龙于对杵.如果定之域中包含0.那么:h若函数力在关于泵点对称的区间1有最值,则十代工)厮=0在关于原点对称的区间上单调性相同偶函数对定义域中任意的，都在美于岳对称加)-fIjtI)在美于原点对称的

11、区间一单调性相反偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值,取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数.当两个函数的定义域相同时，两个奇(偶)函数的和与差仍是奇(偶)函数；两个奇(偶)函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数.复合函数的奇偶性若f(x)为定义在R上的奇函数，g(x)为定义在R上的偶函数，则f(g(x)为偶函数,g(f(x)为偶函数.无论f(x)是奇函数还是偶函数，只要g(x)是偶函数，则g(f(x)为偶函数.3 .函数的周期性与函数图像的对称性周期函数的定义对于函数f(x),若存在非零常数T,使彳3当

12、x取定义域内的每一个值时，都f(x+T)=f(x),则函数f(x)就叫做周期函数，T叫做f(x)的周期.若f(x)的所有周期中存在一个最小正数，则称这个最小正数为最小正周期.(注:若不加说明，周期都是指函数的最小正周期)(2)关于函数周期性的几个常用结论若T为函数f(x)的一个周期，则kT也是函数f(x)的周期(k为非零整数)，有f(x+kT)=f(x)(kCZ,且kw0),一个函数如果有周期，就有无数多个.若f(x)满足f(x+a)=f(x+b)恒成立，其中a,b均为常数，且awb,则T=ab是函数f(x)的一个周期.函数图像的对称性设a,b均为常数，若函数f(x)满足f(ax)=f(b+x

13、)恒成立，则f(x)的图像关于直线x±2上对称.特别地，当a=b时，函数f(x)的图像关于直线x=a对称.更特殊地，当a=b=0时，函数f(x)满足f(x)=f(x)包成立，其图像关于直线x=0(即y轴)对称，这正是偶函数的重要性质.周期函数定义的实质是存在一个非零常数T,使f(x+T)=f(x)为恒等式，即自变量x每增加一个T后，函数值就会重复出现一次.函数的周期性与其图像的对称性都是针对整个定义域而言的，即为函数的整体性质.4 .函数的最值前提设函数G的定义域为人如果存在实数M满足对于任意的都|粤于任意的条件有；存在,e；使存在所三人使得_产仔任林£匚便得结论IM为函数

14、的最大值|M为函数的最小值考点精析考法突破考点1函数的单调性及其应用1.函数单调性的判定、单调区间的求解；判定函数单调性的方法有如下几种：(1)定义法.图像法.从左向右，图像上升即为增函数，图像下降即为减函数.(3)导数法.先求导数，利用导数值的正负确定函数的单调性.(4)性质法.对于由基本初等函数的和、差构成的函数，根据各基本初等函数的增减性及“增函数+增函数=增函数，增函数一减函数=增函数，减函数十减函数=减函数，减函数一增函数=减函数”的性质进行判断.对于复合函数，先将函数f(g(x)加解成f(x)和g(x),再讨论(判断)这两个函数的单调性，最后根据复合函数单调性的规则进行判断.例1.

15、下列函数在(0,+8)上是减函数的是()Ah/(x)=Inxx)=e-'C.Ax);GD./Xx)=-x【解析】对于A.f(x)=lnx»为对教函数，其底数在(0.十°°)上是熠函数，不符合题意:对于RJIG=产=(：)”为梢数函数,其底数仆隹(必+8)上是城函数.带合题意；对于0.，)一衣=*,为短用教.在(64<»)上是增园数，不符合题意：对于二?，为反比例函数，在+8)上延增留数，不苻合题京.【卷案】B例2.求函数马吗(32-的单调递增区间.【解】寸殳"=3-2工一二=-(,v-+2x+I)+4=(x+I)*+4.由>

16、0得3<工<1,即原函数的定义域为(-3,1).+/y=logj_rz对打而言为减,函数，只需寻求U=3-2x-?的单调递减区间，vu=3-Ix-x1在-1,1)上单调递减，/.原函数的单调递增区间为一/)，2,函数单调性的应用(1)利用函数单调性比较函数值的大小比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质转化到同一个单调区间上进行比较.(2)利用函数的单调性解不等式对函数f(x)定义域上的任意两个自变量x1,x2,且x1<x2,增函数满足"x1<x2?f(x1)<f(x2)”，减函数满足"x1<x2?f(x1)

17、>f(x2)”，这是运用函数单调性解不等式的依据.根据函数的单调性(单调区间)求参数的取值(范围)根据函数的单调性构建含参数的方程(组)或不等式(组)进行求解，或先得到图像的升降情况，再结合图像求解；讨论分段函数的单调性时，除注意各段的单调性外，还要注意分段点处的函数值.例3.四川2019联测促改已知函数f（x）为定义在区间2,2上的增函数.若,/（I阳川）弋如式涮+2）成立,则实数m的取值范围是（）A.十,2）民51,4D,2A【解析】不等式即为/（阳,）<KI%（m+2）.m>0.m<nt+2,；工时但4.4立阳+2应16,16/函敷/门）在区间-2,2上单调递增,

18、m>0,<1也（“I+2）,-2鼻1。乳甘i鼻2*-2Wl唯（所+2）W2,二实数制的取值范围是十,2）【答案】A对点练习1.辽宁师大附中2019模拟下列函数中，既是偶函数又在区间（0,1）上单调递减的是（）【洛案】C解析V二入士是奇函数=eJ是非奇把偶雨数，=Ml才是他雨黝.但久在区间（凯|）|：单阚递增,二O是偶函数，在国可（。/）上单调递陵.Z函数/（算）二Imo式2-*）+1-$（2+工）的单调递增区间是（）A.2,+=）B,（一g,-2）C.2）D.（一2.0）I解折】要使函敕有意义，则；：；：得；：>2,即即甬数的定义域为（一乙2）.八1）吗/2幻+（2+Jt）=

19、lo&$+x）Um式47'）,设f=4一/如</<4）,则i=1“人/茂或函敷.要求函敷的£）的单调递增区间，辱价为求属数/二4-的津调速城国间.国为曲数二4-的单通递减区间为（Q,2）,所以Kx）的单胃速增区间为（Q,2）.3.定义在R上的偶函数f（x）满足f（x）+f（x+1）=0,且在1,0上单调递减，则（）AJ16）</（万）<一/（后）B.一/（乃）</（万）</（万）C./（A）</（5）<-/（。）D,-/（乃）”（</（#）解析定员在R匕的偶雨数/U）满足JO）+/（*+1）=。,"（工+

20、1）=-/）,I/U+2）=），'函数（4的周期T=2.在-1.0上单明递减/门）在0/上单谓递增.乂-贝也）=/（。-1）/4）=吁-2）=八2-/）J（行）=/（仔-2）.且。万-2<2-1<U后-2）</（2-A）</（A-l,即“（<小唐）【等案】Ar(3n-1)x+4(i,x<11是(-工+s）上的减函数，那么实数力的取值范用是（A-(O.l)B.(O,yjC,，片)【解析】由题意知厂1<0,4IJ0<<7<1t即所以WhE.(3u-I)xl+4口1%，I)【答案】c5.东北三省三校2019模拟若函数）=在（-b,+

21、-）LFJU+m-1Q<U上单调递增，则实数m的取值范围是.解析】丁函数/（工）='-1在区间（-*Q）上为增函数，在（-8,+8）卜单调递增,，函数,=+IIIr口、解得0<巾宣3,二实数穆的取值范国是（0.3.m-I宅2+1=2.I答案】（0,3考点2函数的奇偶性及其应用1 .判定函数的奇偶性(1)定义法工首先考虑定义域是否关于原点对称，若不对称.则此函数为非奇非偶函数；若对称，再计算f(一五)与fG)之间的关系.若f(-x)=f(K)，或f(X)fGO=O,或£】(/(.*"().则f为偶函数手若f(-x)=-fGO,或f(x)+f(x)=0,或&

22、quot;屋；=j(f(x)R0),JS!|f(x)为奇函数.(2)图像法：f&)为奇函数的图像关于原点对称；fix)为偶函数of3)的图像关于y轴对称.性质法：一般情况下，在相同定义域内，有下列结论成立.奇函数土奇函数=奇函数，偶函数土偶函数=偶函数；偶函数X偶函数=偶函数，奇函数X奇函数=偶函数，奇函数X偶函数=奇函数.例4.下列函数是偶函数的是()A./(x)=jrsinxR./(x)=x2+44+4(/"(x)=sinx+cosxI)./"(x)=(J+1+x)【解析】选项A.B.C,D中函数的定义域均为R.对于选项A,/(-x)-(-x)sin(一工)=(

23、一二)(sinjt)-rtsinx-所以函数是偶函数；对于选项BJ(-x)=/-4.、+4光/仃)，所以函数不是偶函数；对于选项CJ(一算)=sin(一戈)+(bos(一上)=sin宜十rns上关/()，所以函教不是偶函教；对于选项l>,/(-X)=1哗式/£+1-1)=lng31二£+1+T-log.(g+14-A)=-/(幻，所以函数是奇函数，不是偶函数.2 .函数奇偶性的应用(1)利用函数的奇偶性求值求参数值时，在定义域关于原点对称的前提下，利用“f(x)为奇函数？f(x)=f(x),f(x)为偶函数？f(x)=f(x)”列式求解.也可利用特殊值法求解，对于定义

24、在R上的奇函数f(x),可考虑列式f(0)=0求解.求函数值时，若已知f(x0)的值，可利用奇函数满足“f(x0)=f(x0)”，偶函数满足“f(x0)=f(x0)”求f(x0)的化(2)利用函数的奇偶性与单调性解不等式一种是利用函数的奇偶性先将不等式转化到已知区间上(该区间单调性已知)，再求解；另一种是先求在已知区间上的解集，再利用奇偶性求解.解题时可画出函数的大致图像来辅助求解.例5.已知函数y=f(x)+x是偶函数，且f(2)=1,则f(2)=()A.-1B.1C.-5D.5【解析】设F(x)=f(x)+x,由已知函数y=f(x)+x是偶函数，得F(x)=F(-x),即f(x)+x=f(

25、x)x,.f(x)=f(x)+2x,.f(2)=f(2)+2X2=5.选D例6.已知函数y=f(x)是定义在R上的偶函数，且在0,+8)上是增函数.若f(a+1)<f(4),则实数a的取值范围是:【解析】函数y=f(x)是定义在R上的偶函数，且在0,+8)上是增函数，可得f(x)=f(|x|),则f(a+1)&f(4),即为f(|a+1|)&f(4),可得|a+1|04,即一4&a+104,解得一5&a&3,则实数a的取值范围是5,3.对点训练6.安徽合肥七中、合肥十中2019联考改编下列函数中是偶函数的是()t解析】国数¥二一炉是奇苗鼓

26、，不满足条件；函数y=2|x|是偶函款，满足条件：函羲y=x2,定义域为R,f(x)=-x2/f(x),不是偶函数*不满足某件:函敝'=|惘(-a)的定义域为0),定义域不关于原点对称,为非奇非偶禹致，不满足条件.t寄案】B7.侈选)设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中不正确的是()A.f(x)g(x)是偶函数B.|f(x)|g(x)是奇函数C.f(x)|g(x)|是奇函数D.|f(x)g(x)|是奇函数【解析】f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，|f(x)|为偶函数，|g(x)|为偶函数.根据两个奇函数的积是偶函数，两个偶函数的积

27、还是偶函数，一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数，可得ABD均不正确，只有C正确.【答案】ABD&吉林2019调研已知/(二)是定义在R上的奇函数，当工>0时/(元)=1脸则力()A.1B.-I"(L2D.-2【解析】因为西教f(x)是定其在R上的务函数，所以(一十)二一/()由当,>°时,/(，)=1喂¥44'可知/(十)=1隼工；+4：=-I+2=1.所以/(-十)三)-L答案】B9.四川成都2019月考已知函数y=f(x)是R上的偶函数，且在(一,0上是减函数.若f(a)>f(2),则实数a的取值范围是()A.(8,2B,(8

28、,-2U2,+8)C.2,+oo)D.-2,2【解析】二,函数y=f(x)是R上的偶函数，且在(一°°,0上是减函数，函数在(0,+8)上是增函数.=f(a)>f(2),.|a|/2,aw2或a>2.【答案】B10.广东深圳外国谙学校21H9模拟函数片*)=1-十1哈!1空为奇函数.xI则实数a二.【解析】二函数/三十十叱后手为奇函数,"(r)+/(1)=。.irrt11-(tx1i*依.、./I+atI-ax,141+k唱-+卜黑1-=0.EJlog,(:=0>X1+XT,I一工'-x+X)1+<tx(txIILi.*.22.22

29、kan«*=I*-ux=I-%«=I."=±LI-XI+X1K*当n=-1时J(=+log2；-,则/(1)的定义域为IxxWO且>11,XIx此时定义域不关于原点对称，为非奇非偶函数，不满足题意；当E-I时=-+心和宙，定义域为-1且父*0满足题JX11Jl意h=L【答案】1J东济甫章丘2020届期中已知/(W是定义在R上的奇函数，当工<0时,M=北+1,则JV)的解析式为的解集为.【解析】设则7<0.由函数/口)为奇函数*可得，()=-/(-1人则2+1tx<Ot0,1=0.-Itx>0.当#4)时入)<1.(1-

30、”所以/(幻弋(十/(工><(-的解集为(0,1)，综上./(C<(打”的解集为(X，1).当1>U时，设力(1)=/(*)-.则函数，”口为增函数.又Ml)=2x1二。.所以以工)<0的解集为(0J).所以考点3函数的周期性、图像的对称性及应用1 .函数的周期性判断函数的周期性，只需证明f(x+T)=f(x)(Tw0)可知是周期函数且周期为T.常见周期的表达形式：对函数y=f(x)定义域内任意实数x(a为常数，且a>0),若f(x)=f(x+a),则f(x)的周期T=a；若f(x+a)=f(x),则f(x)的周期T=2a；若f(x+a)=土“,则f(x)的

31、周期T=2a；若f(x+a)=f(xa),则f(x)的周期T=2a；若f(x+a)=f(x+b)(awb),则f(x)的周期T=|ab|.2 .常见函数的图像的对称性(1)函数y=f(x),若其图像关于直线x=a对称(a=0时，f(x)为偶函数)，则f(a+x)=f(ax)；f(2a+x)=f(x)；f(2ax)=f(x).(2)函数y=f(x),若其图像关于点(a,0)中心对称(a=0时，f(x)为奇函数)，则f(a+x)=f(ax)；f(2a+x)=f(x)；f(2ax)=f(x).(3)函数y=f(x),若其图像关于点(a,b)中心对称,则f(a+x)+f(ax)=2b;f(2a+x)+

32、f(x)=2b;f(2ax)+f(x)=2b.例7.定义R的函数f(x)满足下列各条件，不能得出函数f(x)具有周期性的是()+=2018氏/(#)=/(4-)C./(r+l)=/+/(4+2)./为奇函数且人工)=/(2-x)【解析】A选项中=产%界-=/1+4),故周期为4；jX+ZJZUIn/(x+4)C选项中J(工+1)(*)+代工+2)=/U)+/(+1)+以工+3),松/(工)=-/(x+3)=八克+,故周期为6:D选项中)=/(2-x)=-fix-2)=/(dr-4).故周期为4；B选项中，函孰=1工-21满足以3)工人4-、)，但函数/(=田-21不是周期函裁，故其不能将出函数是周期函裁.【答案】B安徽皖中地区2019拽底改编已包奇函数“QCwRi满足/(3+k)=/(3-*八且当-3工3时J3)=In(