考点5函数的单调性与最值、函数的奇偶性与周期性

1、考点5函数的单调性与最值、选择题1.(2014湖北高考文科T9)已知g(x)=f(x)-x+3的零点的集合为(A.1,3B.-3,-1,1,3C.2一7,1,3f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时,f(x)=x2-3x.则函数)D._2_.7,1,3【解题提示】考查函数的奇偶性、零点及函数的方程思想.首先根据f(x)是定义在R上的奇函数，求出函数在R上的解析式，再求出g(x)的解析式，根据函数零点就是方程的解，问题得以解决.【解析】选D.由f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时,f(x)=x-3x,2x-3x,x_0所以f(x)=2I x-3x,x：0x-4x3,x一0所以g

2、(x)2-x-4x+3,xc0由存0,x2-4x3=0(X：0解方程组可得-X2-4x3=02.(2014湖北高考理科T10)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x_01f(x)S(|x-a21|x-2a21-3a2)，若-R，f(x-1)乞f(x)，则实数a的取值范围为(11"6B.J兰c.663.3】T【解题提示】【解析】选B.考查函数的奇函数的性质、分段函数、最值及恒成立卢22x3a,x=2a依题意，当xO时，f(x)=«a2,a2cxE2a2，作图可知,f(x)的最小值为-a2,2-x,0二x二ax都有，f(X-1)三f(X)，因为函数f(x)为奇函数，所以当x

3、：0时f(x)的最大值为a2，因为对任意实数所以，4a2-(-2a2)叮，解得-故实数a的取值范围是3. (2014湖南高考理科T3)已知f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)-g(x)=x3X21,则f(1)g(1)=()A.3B1C.1D.3【解题提示】由奇函数和偶函数的定义，把x=-1代入即可。【解析】选C把x=-1代入已知得f一1-g-1=1,所以f1g1=1。4. (2014湖南高考文科4)下列函数中，既是偶函数又在区间(_：:,0)上单调递增的是()123xA.f(x)2B.f(x)=x21C.f(x)=x3D.f(x)=2x【解题提示】根据基本初等函数函数

4、的奇偶性和单调性解答。【解析】选Bo选项具体分析结论A幕函数f(x)=x*是偶函数，且在第二象限是增函数。正确B二次函数f(X)=X2+1是偶函数，且在第二象限是减函数。错误C幕函数f(x)=x3是奇函数，且是增函数。错误D指数函数f(x)=2=卩|"是非奇非偶函数，且是减函数。12丿错误5.(2014广东高考文科T5)下列函数为奇函数的是()A.2x-B.x3sinxC.2cosx+1D.x2+2x2x【解题提示】奇函数满足函数关系式f(-x)=-f(x).当在原点处有定义时,f(0)=0.【解析】选A.几个函数的定义域都关于原点对称，原点处有定义，故应满足f(0)=0,此时2co

5、sx+1和x2+2x1 1不符合题意；又2x-满足f(-x)=-f(x),但x3sinx满足f(-x)=f(x),所以只有f(x)=2x-是奇函数.2 26. (2014上海高考理科18)(x-a)2,x_0,设f(x)=1若f(0)是f(x)的最小值，贝ya的取值范围为().+a,x>0.LxA.1,2】B.I-1,0】C.1,2】D.b,2】【解题提示】本题需对a分类讨论，若a<0,二次函数的最小值应在对称轴时取，若a>0,f(0)是f(x)的最小值，应有f(0)=a2乞2a,即得.【解析】若a：0,f(x)=(x-a)2的最小值应为f(a)而非f(0),不符合题意.若a

6、一0,f(x)=(x-a)2的最小值为f(0)=a2,f(x)=xa的x最小值为2+a,若f(0)为最小值，应有a2乞2+a,即0乞a乞2.所以a的取值范围为0,21.答案：D.7. (2014浙江高考文科7)与(2014浙江高考理科6)相同32(2014浙江高考文科T7)已知函数f(x)=Xaxbxc且0Vf(-1)=f(_2)=f(-3)<3，则()a.c3b.C.D.丄一1a-bc=-84a-2bc【解析】选C.由f(-1)=f(-2)=f(-3)得，I-1+a-b+c=-27+9a-3b+ca=6i32解得2=11，所以f(x)=x+6x+11x+c，由0vf(1丘3，得Ov1+

7、611+CW3解得6vc<9328、(2014浙江高考理科6)已知函数f(x)=XaxbxC且0vf(-1)=f(-2)二f(-3)W3，则()A.cW3b.3cc兰6c.6ccW9d.c>9【解题指南】由等式关系求a,b的值，由不等关系求C的范围.-1a-bc-84a-2bc【解析】选C.由f(-1)=f(-2)=f(-3)得，“a-bc一279a-3bca=6'32解得也二11，所以f(x)=x+6x+11x+c，由0vf(1斥3，得ov1+611+CW3解得6vC<9f(xh9.(2014辽宁高考文科10)已知f(x)为偶函数，当XO时，、fx1乞12的解集为,

8、XE|0,丄12J2x-1,x,；：COS),x，则不等式,7(4,3431,3Io(D)卜3,-1U',143一34,11【解题提示】借助偶函数的性质，先解不等式f%2，再利用图像的平移知识解不等式f2'【解析】选A.0,1cos»1dxJ-2时，2得32；（1x,:2j2x1兰1时，2得213:x<4;1所以不等式fx込"0)的解为13-:x<4,由于偶函数的图像关于y轴对称，则在函数的定义域内,不等式1f%込的解为3 .1x-4函数fx1的图像可以看作由fx的图像向右平移f(x)兰丄1个单位得到的，故不等式2的解为i4IM3,42 4.7x

9、-3或34，即解集为10. （2014山东高考文科T9）对于函数f(x)，若存在常数a=0,使得x取定义域内的每一个值，都有f(x)=f(2a-x),则称f(x)为准偶函数.下列函数中是准偶函数的是()A、f(x)=一xB、f(x)=x2C、f(x)=tanxD、f(x)=cos(x1)【解题指南】本题为新定义问题，准确理解准偶函数的概念再运算【解析】选D由f(x)二f(2a-x)可知fx关于x=a对称，准偶函数即偶函数左右平移得到的.二、填空题11. (2014湖南高考文科T15)若f(x)=|n(e3x+1片ax是偶函数，则a=【解题提示】利用偶函数的定义求解。【解析】由偶函数的定义得f-

10、x=fx，即lne"x1-ax=lne3x1Lax，33x二2ax,a二2。3 答案:-32三、解答题2x+a12.(2014上海高考理科20)设常数a_0,函数f(x)-2a(1)若a=4，求函数y=f(x)的反函数y=(2)根据a的不同取值，讨论函数y=f(x)的奇偶性，并说明理由.【解题指南】(1)根据反函数定义可得原函数的反函数，但要注意定义域。(2)根据奇偶函数的定义分类讨论，可得【解析】(1)：a=4,.f(x)=,2-4_x4y4.4y4.2,x=log2-y-1y-14x4一一.调换x,y的位置可得y=f二(x)=log2,(X(：，一1)_.(1,：)x-1若f(x)为偶函数，贝Vf(x)=f(-x)对任意X均成立，.,整理可得a(2x-2)=0,