空间向量在立体几何中的应用sxzppt课件

1、(一一)证明两直线平行证明两直线平行ab空间向量在立体几何中的运用空间向量在立体几何中的运用baCDABbDCaBA ,;,ABCD一一.平行问题平行问题明两向量平行。得到两向量，转化为证分别取不同的两点方法思路：在两直线上bayxyxyxCDyxAB ),(),(12212211则有知a(二二)证明线面平行证明线面平行 AB0AB , . 1ABnnnaBAa若，的法向量为面面线aa1e2e . 2221121aeeaeeaa），若组基底（不共线的向量的一是平面、，的方向向量为外的直线已知面则可得线面平行。即证明数量积为这一向量与法向量垂直得一向量，证明量，在直线找不同两点方法思路：求面的法

2、向，0)(nAB.,从而证线面平行外的线平行则可得面内一直线与面相等）内存在一向量与方向向底线性表示（即在平面组基方向向量可用平面的一方法思路：证明直线的(三三)面面平行面面平行mn . 1nmnm，和分别是的法向量与不重合的两平面mABCDO , . 2mm若，的法向量为面与不重合的两平面 00mOCDABCDmABmOCDABCDmABm即则两平面平行。为证明两法向量平行法向量，转化方法思路：求两平面的,两面平行。（即都垂直），则可得量积为的不共线的两向量的数法向量与另一面平面的法向量，再证该方法思路：求出其中一0(一一)证明两直线垂直证明两直线垂直ab二二.垂直问题垂直问题abbabab

3、aba0 ，则有和分别为的方向向量和直线不重合的直线则可证两直线垂直。两向量的数量积为，证明两向量在两直线上各取两点得分别方向向量方法思路：找两直线的, 0)(二二)证明线面垂直证明线面垂直llmamal . 1则有，的方向向量为平面，的方向向量为直线am可证线面垂直。需证明两向量平行，则只及平面的法向量上取两点得一向量在两直线向向量方法思路：找直线的方,)(二二)证明线面垂直证明线面垂直laeaeaeeal00 , , . 22121且则有共线的向量）的一组基底（不是平面，的方向向量为直线1e2eam线面垂直。（即都垂直），则可证量积都为的数与平面内两不共线向量取两点得一向量在两直线上方向向

4、量方法思路：证明直线的 0)(三三)证明面面垂直证明面面垂直mn0 . 1nmnm，则有和为的法向量分别和不重合的平面1e2en221121n . 2eeeen则有向量），的一组基底（不共线的是平面，的法向量为平面则可证明两平面垂直。两向量数量积为为法向量，只需证明方法思路：找两平面的0,线性表示。不共线的向量面的一组基底即法向量可以用另一平向量与另一平面平行面的法向量，证明该法方法思路：找其中一平)(三三.处置角的问题处置角的问题(一一)求异面所成的求异面所成的角角abABCD|,cos|cos,CDABCDABCDABbabDCaBAba则有所成的角为是两异面直线。夹角相等或互补直线所成的

5、角与向量的但要理解异面套公式。为向量的夹角问题转化线的方向向量方法思路：找两异面直)(,l(二二)求线面角求线面角ABm|,cos|sin, mABmlBAl的法向量，则有是面若，所成的角为与面的斜线设平面互余）与两向量所在直线夹角注意线面角再套公式。转化为向量的夹角问题，向向量与平面的法向量方法思路：找直线的方(,l(三三)求二面角求二面角nml 与的法向量分别为，若面，的大小为设二面角mn|,cos|cos )2, 0() 1 (nm则有即若二面角为锐二面角，|,cos|cos )2()2(nm，则有即若二面角为钝二面角，。（钝）二面角，套公式，并结合图形判断是锐为大小的法向量，设二面角的

6、方法思路：找两半平面lab，已知的大小为设二面角bDCaBAlblabal, |CD,ABcos|cos CD,AB, )2, 0() 1 (，故有相等或互补即与的夹角与等于直线，则即若二面角为锐二面角，baABCD|CD,ABcos|cos CD,AB, )2()2(，故有相等或互补即与的夹角互补与等于直线，则，即若二面角为钝二面角，ba公式处理。是锐（钝）二面角，套角问题，结合图形判定为向量的夹垂线所成的角，再转化二面角问题转化这两条垂直于公共棱，则可把在两半平面各找一直线方法思路:四四.处置间隔问题处置间隔问题(一)点到面的间隔dPQm) (| P: , 的投影的长度在法向量向量的距离面

7、到点的法向量，则有是平面得任取一点mPQmmPQdmPQQ套公式。在法向量的投影的长度转化为得一向量与点在面内任取一点组可求方程任一法向量方法思路：求出平面的,PQPQ),(m(二二)求两异面直线的间隔求两异面直线的间隔dabABCD|m|mAC ,则两异面直线的距离，都垂直的向量找一向量与两异面直线，是两异面直线，知dmbDCaBAba|m|mACd,mAB ,CA,m距离上的投影的长度在向量就是则其距离异面直线上各任取一点然后分别在两向量与两异面直线都垂直的的距离，先找一向量方法思路：求异面直线d的坐标，可用方程组求出都垂直，、与异面直线向量 mbam五五.如何建立适当的坐标系如何建立适当

8、的坐标系OABC三线两两互相垂直有公共顶点的不共面的. 1锥等等。侧棱垂直于底面的三棱三角形且过直角顶点的是直角是矩形的直棱柱、底面正方体、长方体、底面2.有一侧棱垂直底面有一侧棱垂直底面OABCOABOC底面是等边三角形）（OAB1为斜边的直角三角形是以）（OBOAB2PABCD是菱形，且四边形底面ABCDABCDPA 的菱形是，且四边形底面60ABCABCDABCDPA直棱柱的底面是菱形3.有一侧面垂直于底有一侧面垂直于底面面.60ADCABCD 2 PCDABCDP的菱形是底面垂直，的正三角形，且与底面长为是边中，侧面四棱锥32SCSAABCSAC4ABC,ABCS且，底面平面的正三角形

9、，是边长为中在三棱锥两平面垂直的性质定理两平面垂直的性质定理:假设两面垂直假设两面垂直,那么在其中那么在其中一面一面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一平面,转化转化为有一线垂直于底面的问题为有一线垂直于底面的问题.正四棱锥正四棱锥正三棱锥正三棱锥侧面是正三角形另一且的斜边是公共是全等的直角三角形、侧面中在三棱锥如图1,CDBD, 3AD,AD,ACDABD,BCDA,ABDC223112的距离。到平面求点的大小的正切值；求二面角；平面求证：且面的中点分别是、的正方形是边长为例：如图，GMNB)3(CMNG)2(GMN BD) 1 (2ABCDCG,AD,A

10、BNM, 4 ABCDCGAMBCDGNxyZ )0 , 4 , 4()0 , 4 , 2()2 , 0 , 0()0 , 0 , 4()0 , 4 , 0()0 , 2 , 4()0 , 0 , 0(GMNBDN, 2)0 , 2, 2(),0 , 4, 4() 1 (面又建系略略解：MBDMNBDMNBDGMNBDGMNMN面面又 ),( )(zyxmGMN个法向量为的一设平面法二AMBCDGNxyZ)0 , 4 , 4()0 , 4 , 2()2 , 0 , 0()0 , 0 , 4()0 , 4 , 0()0 , 2 , 4()0 , 0 , 0(0200242)2, 4 , 2(),

11、(022)0 , 2, 2(),(zyxyxzyxzyxGMmyxzyxMNm) 3 , 1 , 1 ( , 3, 1 , 1 mzxy故则取GMNBDGMNMN面面又 GMNBDmBDBD面又而, 0)0 , 4, 4()2 , 0 , 0()2(CGCMN的一个法向量为易得半面)20 （的大小为设二面角CMNG32tan,3111126|cosmCGmCG)0 , 0 , 2( ),3 , 1 , 1 ( ) 3(MBmGMN又的一个法向量为面11112311030121| 222mmMBdGMNB的距离到面故点ECABDxyZ1A1B1C1DOF的大小。求二面角的坐标试求点上且在若点；平

12、面求证：如图建立空间直角从标系为原点的中点，以为棱，交于与且的棱长为例：正方体 )3(F,)2(BO) 1 (,A,ADDEOBDAC2 DCBAABCD11111111CAEBAEFBAEFEACxyz) 1 ,02(),0 , 1 , 1 ()2 , 2 , 0(),2 , 2 , 2(),2 , 0 , 2(),02, 0()0 , 2 , 0(),0 , 2 , 2(),0 , 0 , 2(),0 , 0 , 0(111EODCBADCBA), 0(zyF的距离。到平面求点的大小的正切值；求二面角；面求证：底面中，例：四棱锥PCDBAPCDPACBCACB)3()2() 1 (90,

13、3PA,120BAD1,CDADCD, ABABCD,PAABCDPBzyx),3, 0 , 0(),0 ,21,23(),0 ,21,23(),0 , 0 ,23(),0 , 2 , 0(),0 , 0 , 0(PDCEBAEECD的中点取Bzyx大小的正切值求二面角面APCDPACBC)2() 1 (3 1310,0,0 ,0,0, 3 ,0 ,02222APCD（建系略）)2()3,21,23(),0 , 1, 0(),0 , 2 , 0(DPDCB，则有的一个法向量为设面),( PDCzyxm 03212300)3,21,23(),(0)0 , 10(),.(00zyxyzyxzyxD

14、PmDCm) 1 , 0 , 2( m则可取)20(A-PC-D., PAC0 ,23,23) 1 (的大小为设二面角的一个法向量是平面知由BC51|533|,cos|cosBCmBCmBCm52sin2tan的一个法向量是面知由又PCDmPBB) 1 , 0 , 2( )2(),3, 2 , 0(),0 , 2 , 0() 3(515|530220|mmPBdPCDB的距离到平面点的距离到平面点 )3(PCDB的距离。到平面求点的余弦值；求二面角；平面求证：。平面且上的点为的正方形是边长为四边形中直二面角如图 )3( )2() 1 (, 2 ,ACEDEACBBCEAEACEBFCEFEBA

15、EABCDEABD以线段以线段AB的中点为原点的中点为原点O，OE所在直线所在直线为为x轴轴,AB所在直线为所在直线为y轴，过轴，过O点平行于点平行于AD的直线为的直线为z轴轴,建立空间直角坐标系建立空间直角坐标系Oxyz,如图如图.ABEBCABBCABABEABCD面故为正方形，交线为面由已知得面,ABCD)2 , 0 , 0(),2 ,01(),0 , 1 , 0(),0 , 1, 0(),0 , 0 , 0(DCBAO)0 , 0 , 1 (,EBEAEBCEAEAEBCAEBFACEBF点面又面xyzO3331|cos),20EACBnmnm（的平面角为设二面角；平面求证BCEAE

16、:) 1 (的余弦值；求二面角 )2(EACB的距离。到平面求点 )3(ACED的距离。到平面求点的大小；求二面角；证明：的中点分别为面面的正三角形是边长为中例：在三棱锥 )3( )2( ) 1 (., 32., 4 ,CMNBBCMNSBACSBABNMSCSAABCSACABCABCSxyz)( ,如图建立空间坐标系面交线为面面连结的中点取xyzOBOSOABCSOACABCSACACBOACSOBCABSCSAOBOSOAC)2, 3, 0(),0 , 3, 1 (),22 , 0 , 0(),0 , 0 , 2(),0 , 32 , 0(),0 , 0 , 2(),0 , 0 , 0(

17、NMSCBAOOxyz),2, 3, 0(),0 , 3, 1 (),22 , 0 , 0(),0 , 0 , 2(),0 , 32 , 0(),0 , 0 , 2(),0 , 0 , 0(NMSCBAOBCMN 2) 1 (）求二面角（证明：SBAC O),0 , 0 , 4(AC)22, 32 , 0(SBSBACSBAC0) 1 ,6,2 n31|22322|OS|n|OSncos),2(0则有设二面角的大小为31arccos 的大小为二面角BCMN的距离到面）点（CMNB3的一个法向量是平面 ) 1 ,6,2(),0 , 3, 1() 3(CMNnMB324324| nnMBdCMNB

18、的距离到平面点ABDC明理由。的位置；若不存在，说角？若存在，确定成与面，使上是否存在一点在线段的大小；求二面角；求证：另一侧面是正三角形且是公共的斜边形是全等的直角三角、侧面中在三棱锥如图例： 30)3( )2() 1 (.1,CDBD, 3AD,AD,ACDABD,BCDA)(EBCDEDEACDACBBCAD223112., 1 示的空间直角坐标系建立如图所正方体中的锥放置在一棱长为解析：依题意可把三棱)111(),0 , 1 , 0(),0 , 0 , 1 (),0 , 0 , 0(ACBD), 1 ,(, 1, 0,AC),(xxEyzxzyxE即则上一点是线段设BCADBCDABC

19、DA0)0 , 1 , 1(),1 , 1 , 1 (6arccos31CEEAC点且上存在线段则有和的法向量分别是与面设面),(),()2(cbanzyxmDACBAC) 1, 1 , 1 ( 1,0) 1 , 0 , 1 (),(0)0 , 1 , 1(),(mxzxzyxCAmyxzyxBCm，则取) 1, 0 , 1 ( nDAC的一个法向量同理可求得平面)20( DACB的大小为设二面角36arccos,3623101|cos所求二面角的大小为nmnm), 1 ,(, 1, 0,AC),(xxEyzxzyxE即依题意可知上一点是线段设)120(60,30),1 , 0 , 0(或则成

20、与面要使的一个法向量为易知平面pDEBCDEDpBCD说明理由。若不存在的位置确定？若存在成与面使是否存在一点上在线段的大小求二面角,30,)3( )2(EBCDEDEACDACB12|222121|,cos22xCExxxpDEpDEpDE角。成与面时，点且上存在故线段30 1BCDEDCEEACyxz，轴建立空间直角坐标系分别为为原点以解析 , ,) 1 ( :1zyBABBB),0 , 2 , 0(),2, 0 , 0(),0 , 0 , 0(,3,2, 2, 1111BABBCCABBBBC得由于)0 ,23,23(),0 ,21,23(1CC)0 ,21,23(),(23210)2(

21、43)0 ,2 ,23()2,23(Eaaaaaa故舍去或即., 04343)02323()0 ,21,23(11EBBEEBBE即BEABBBCCAB故面又,111 , 14143|,1故距离为而的公垂线段是异面直线故BEEBABBE的夹角与为直线的平面角锐二面角11111111,)2(ABEAAEBAEBABEBEA.22tan,32|cos),2,21,23(),2, 0 , 0(111111即故而ABEAABEAEABAAB的平面角的正切值。求二面角的距离；与求异面直线如图已知的一点、上异于为棱侧面中在三棱柱例1111111111111)2() 1 ()( ,3, 12,2,:AEBAEBABBCCBCBBABEBEACCCCECCBBABCBAABC0)0 ,23(11EBEAEBEAaE，得