数字电路、圈卡诺图、最大项最小项

1、第第2 2章章 数字电路基础数字电路基础 2本节主要内容本节主要内容1 1、逻辑函数表达式、逻辑函数表达式 基本形式基本形式: :与与- -或或, ,或或- -与与 标准形式标准形式: :最小项最小项, ,最大项最大项2 2、逻辑函数的转换逻辑函数的转换 代数法和真值表法代数法和真值表法3 3、逻辑函数的化简逻辑函数的化简 代数法和卡诺图法代数法和卡诺图法 卡诺图卡诺图: :构成、表示、合并规律、步骤构成、表示、合并规律、步骤31 1、 最小项与最大项最小项与最大项（1 1）最小项）最小项n n个变量可以构成个变量可以构成2 2n n个最小项。例如个最小项。例如,3,3个变量个变量A A、B

2、B、C C可组可组成成? ?个最小项个最小项: :ABCCABCBACBABCACBACBACBA、通常用符号通常用符号m mi i来表示最小项。来表示最小项。逻辑函数表达式的标准形式逻辑函数表达式的标准形式43 3个变量个变量A A、B B、C C的的8 8个最小项可以分别表示为个最小项可以分别表示为: :ABCmCABmCBAmCBAmBCAmCBAmCBAmCBAm76543210、逻辑函数表达式的标准形式逻辑函数表达式的标准形式真值表真值表?5b) 任意两个不同的最小项之积必为任意两个不同的最小项之积必为0 。最小项性质最小项性质 a) 任意一个最小项任意一个最小项,只有一组变量取值使

3、其为只有一组变量取值使其为1 。c) n个变量所有最小项之和为个变量所有最小项之和为1。d) n个变量构成的每一个最小项都有个变量构成的每一个最小项都有n个相邻最小个相邻最小项。项。逻辑函数表达式的标准形式逻辑函数表达式的标准形式6（2 2）最大项）最大项n n个变量可以构成个变量可以构成2 2n n个最大项。例如个最大项。例如,3,3个变量个变量A A、B B、C C可组可组成成8 8个最大项个最大项: :CBACBACBACBACBACBACBACBA、通常用符号通常用符号M Mi i来表示最大项。来表示最大项。逻辑函数表达式的标准形式逻辑函数表达式的标准形式7b) 任意两个不同的最大项之

4、和必为任意两个不同的最大项之和必为1。最大项性质最大项性质 a) 任意一个最大项任意一个最大项,只有一组变量取值使其为只有一组变量取值使其为0 。c) n个变量所有最大项之积为个变量所有最大项之积为0。d) n个变量构成的每一个最大项都有个变量构成的每一个最大项都有n个相邻最大项。个相邻最大项。逻辑函数表达式的标准形式逻辑函数表达式的标准形式8（3 3）最小项与最大项之间的互补关系）最小项与最大项之间的互补关系例如例如： m3 = ABC = A+B+C = M3M3 = A+B+C = ABC = m3mi= Mi 或者 mi = Mi逻辑函数表达式的标准形式逻辑函数表达式的标准形式92 2

5、、 逻辑函数表达式的标准形式逻辑函数表达式的标准形式（1 1）标准与）标准与- -或表达式或表达式 由若干个最小项相或构成的由若干个最小项相或构成的, ,也称为最小项表达式。任何一也称为最小项表达式。任何一个逻辑函数都可以表示成唯一的最小项表达式。个逻辑函数都可以表示成唯一的最小项表达式。逻辑函数表达式的标准形式逻辑函数表达式的标准形式例如例如, ,F（A,B,C）=AB C+ABC+ABC+ A B C最小项表达式可以简写为最小项表达式可以简写为 形式。形式。（）m例如上式可以例如上式可以）（742 , 1,m10例如上式可以例如上式可以 写成为写成为F F（A,B,CA,B,C）= M=

6、M0 0M M5 5M M7 7（2 2）标准或）标准或- -与表达式与表达式F（A，B，C）=（A+ B+C）（）（A+B+ C）（）（A+B+C）)7,5 ,0(M 由若干个最大项相与构成的由若干个最大项相与构成的, ,也称为最大项表达式。任何也称为最大项表达式。任何一个逻辑函数都可以表示成唯一的最大项表达式。例如一个逻辑函数都可以表示成唯一的最大项表达式。例如=逻辑函数表达式的标准形式逻辑函数表达式的标准形式111 1、 代数转换法代数转换法 利用逻辑代数公理、定理和三大规则进行逻辑利用逻辑代数公理、定理和三大规则进行逻辑变换将逻辑函数转变为其标准形式。变换将逻辑函数转变为其标准形式。

7、将逻辑函数转变为最小项表达式的步骤分为两步将逻辑函数转变为最小项表达式的步骤分为两步: : （1 1）将函数转变为与）将函数转变为与- -或表达式或表达式; ; （2 2）反复使用公式）反复使用公式X=X X=X （Y+YY+Y）= XY+XY= XY+XY逻辑函数表达式的转换逻辑函数表达式的转换12第一步第一步: :将函数表达式转换为与将函数表达式转换为与- -或表达式。即或表达式。即例例 将逻辑函数将逻辑函数F F（A,B,CA,B,C）= =（A B+B CA B+B C）AB AB 转换为标准的与转换为标准的与- -或表达式。或表达式。F（A,B,C）=（A B+B C）AB = (A

8、+B)(B+C)+AB= A B + A C + BC + AB= AB+BC+AB逻辑函数表达式的转换逻辑函数表达式的转换13可以简写为:F（A,B,C）=m0+m1+m3+m6+m7 =m（0,1,3,6,7）( , ,)()()()()F A B CAB CCA C BBAA BCAB CCA B CA B CA B CA BCA BCABCAB CABCA B CA B CA BCAB CABC逻辑函数表达式的转换逻辑函数表达式的转换第二步第二步: :将所有非最小项的与项扩展为最小项。将所有非最小项的与项扩展为最小项。142 2、 真值表转换法真值表转换法 真值表中每一个对应函数值为真

9、值表中每一个对应函数值为1 1的输入变量实际上就是一个的输入变量实际上就是一个函数包含的最小项函数包含的最小项, ,例如三变量例如三变量ABC=111,ABC=111,函数函数F=1,F=1,就对应最就对应最小项小项 m m7 7。如果列出了函数的真值表如果列出了函数的真值表, ,则只要将函数值为则只要将函数值为1 1的那些的那些最小项取出相加最小项取出相加, ,便是函数的最小项表达式。便是函数的最小项表达式。逻辑函数表达式的转换逻辑函数表达式的转换最小项表达式最小项表达式15例例 将函数将函数2456( , , )(2,4,5,6)F A B Cmmmmm转换为最小项表达式。转换为最小项表达

10、式。CBBACBAF),(CABm 6CBAm 5CBAm 4CBAm 2逻辑函数表达式的转换逻辑函数表达式的转换16 真值表中每一个对应函数值为真值表中每一个对应函数值为0 0的输入变量实际上就是一个的输入变量实际上就是一个函数包含的最大项函数包含的最大项, ,例如三变量例如三变量ABC=111,ABC=111,函数函数F=0,F=0,就对应最就对应最大项大项 M M7 7。如果列出了函数的真值表如果列出了函数的真值表, ,则只要将函数值为则只要将函数值为0 0的那些的那些最大项取出相与最大项取出相与, ,便是函数的最大项表达式。便是函数的最大项表达式。逻辑函数表达式的转换逻辑函数表达式的转

11、换最大项表达式最大项表达式17)7 , 6 , 5 , 2 , 0(76520MMMFMMMCBAM0CBAM2CBAM5CBAM6CBAM7逻辑函数表达式的转换逻辑函数表达式的转换例例 将函数将函数CBACACBAF),(转换为最大项表达式。转换为最大项表达式。18 一个逻辑函数的最小项表达式和最大项表达式之间有互一个逻辑函数的最小项表达式和最大项表达式之间有互补的关系。补的关系。)7 , 3 , 1 ,0()6 ,5 ,4,2(),(MmCBAF逻辑函数表达式的转换逻辑函数表达式的转换19逻辑函数化简的意义逻辑函数化简的意义:逻辑表达式越简单逻辑表达式越简单,实现它的实现它的电路越简单电路

12、越简单,电路工作越稳定可靠。电路工作越稳定可靠。1 1、与、与- -或表达式的化简或表达式的化简最简与最简与- -或式应满足两个条件或式应满足两个条件: : 表达式中的与项最少表达式中的与项最少; ; 在满足的条件下在满足的条件下, ,每个与项中的变量个数最少。每个与项中的变量个数最少。实现最简与实现最简与- -或式逻辑功能对应的电路所需要的与门最少或式逻辑功能对应的电路所需要的与门最少, ,并且并且与门总的输入引脚最少与门总的输入引脚最少, ,因而电路的连线最少。因而电路的连线最少。逻辑函数化简逻辑函数化简代数化简代数化简20逻辑函数的公式化简法就是运用逻辑代数的基本公式、定逻辑函数的公式化

13、简法就是运用逻辑代数的基本公式、定理和规则来化简逻辑函数。理和规则来化简逻辑函数。（1 1）并项法）并项法 利用公式利用公式 将两个与项合并成一个与将两个与项合并成一个与项项, ,合并后可以消去一个变量。合并后可以消去一个变量。ABAAB（2 2）吸收法）吸收法 利用公式利用公式 , ,消去多余的项。消去多余的项。例如例如: :AABABAFEDCBABA)(逻辑函数化简逻辑函数化简代数化简代数化简21（3 3）消去法）消去法利用公式利用公式 ,消去多余的项。消去多余的项。BABAA（4 4）配项法）配项法 利用公式利用公式 化简。化简。11AAAA及逻辑函数化简逻辑函数化简代数化简代数化简2

14、2例例 化简化简EBBDCADEEBBDCAADEEBBDCAABADEEBBDCAABDAADF逻辑函数化简逻辑函数化简代数化简代数化简并项并项吸收吸收消去消去冗余项冗余项23思考题思考题 化简化简ADEDBDBCBCBCAABF逻辑函数化简逻辑函数化简代数化简代数化简242 2、或、或- -与表达式的化简与表达式的化简最简或最简或- -与式应满足两个条件与式应满足两个条件: : 表达式中的或项最少表达式中的或项最少; ; 在满足的条件下在满足的条件下, ,每个或项中的变量个数最少。每个或项中的变量个数最少。逻辑函数化简逻辑函数化简代数化简代数化简 实现最简或实现最简或-与式逻辑功能对应的电

15、路所需要的或门最与式逻辑功能对应的电路所需要的或门最少少,并且或门的输入引脚最少并且或门的输入引脚最少,因而电路的连线最少。因而电路的连线最少。25例例 化简化简)()( )()( )(CBACBBABADCBCBBABAF逻辑函数化简逻辑函数化简代数化简代数化简261 1、卡诺图的构成、卡诺图的构成也称为图形化简法也称为图形化简法,是将逻辑函数用卡诺图来表示是将逻辑函数用卡诺图来表示,利用卡利用卡诺图来化简逻辑函数。诺图来化简逻辑函数。将逻辑函数真值表中的最小项重新排列成矩阵形式将逻辑函数真值表中的最小项重新排列成矩阵形式,并且使并且使,这样构成的图形就是卡诺图。这样构成的图形就是卡诺图。所

16、谓循环码所谓循环码, ,即相邻的两个码只有一位取不同的值。即相邻的两个码只有一位取不同的值。例如例如, ,两位码的循环码依次为两位码的循环码依次为:00:00、0101、1111、10,10,逻辑函数化简逻辑函数化简卡诺图化简卡诺图化简27下图显示的是三变量（下图显示的是三变量（A A、B B、C C）的卡诺图。格中标出相应的卡诺图。格中标出相应的最小项的最小项m mi i。 AB C 00 01 11 10 0 m0 m2 m6 m4 1 m1 m3 m7 m5 3 变量卡诺图 三变量的每个最小项有三个相邻的最小项三变量的每个最小项有三个相邻的最小项, ,图中图中m m2 2有三个相有三个相

17、邻最小项邻最小项: :m m0 0、m m3 3 、m m6 6逻辑函数化简逻辑函数化简卡诺图化简卡诺图化简284 4变量的最小项有变量的最小项有4 4个最小项与它相邻个最小项与它相邻同一行最左列的最同一行最左列的最小项与最右列的最小项与最右列的最小项也是相邻的小项也是相邻的同一列最上面一行同一列最上面一行的最小项与最下面的最小项与最下面一行的最小项也是一行的最小项也是相邻的相邻的 ABCD0001111000m0m4m12m801m1m5m13m911m3m7m15m1110m2m6m14m10 4 变量卡诺图逻辑函数化简逻辑函数化简卡诺图化简卡诺图化简292 2、逻辑函数在卡诺图中的表示、

18、逻辑函数在卡诺图中的表示（1 1）逻辑函数是以真值表或者以最小项表达式给出）逻辑函数是以真值表或者以最小项表达式给出: :在卡诺在卡诺图上那些与给定逻辑函数的最小项相对应的方格内填入图上那些与给定逻辑函数的最小项相对应的方格内填入1,1,其余其余的方格内填入的方格内填入0 0。例。例)7 , 32 , 1 (),(，mCBAF AB C 00 01 11 10 0 0 1 0 0 1 1 1 1 0 逻辑函数化简逻辑函数化简卡诺图化简卡诺图化简30 （2 2）逻辑函数以一般的逻辑表达式给出）逻辑函数以一般的逻辑表达式给出: :先将函数变换为先将函数变换为与或表达式（不必变换为最小项之和的形式）

19、与或表达式（不必变换为最小项之和的形式）, ,然后再填入逻然后再填入逻辑值。辑值。逻辑函数化简逻辑函数化简卡诺图化简卡诺图化简 将将“与项与项”填入卡诺图的方法填入卡诺图的方法: :与项中变量为原变量对应与项中变量为原变量对应该变量所在行（或列）取值为该变量所在行（或列）取值为1 1的行（或列）的行（或列）, ,与项中变量为反与项中变量为反变量对应该变量所在行（或列）取值为变量对应该变量所在行（或列）取值为0 0的行（或列）的行（或列）, ,这些行这些行与列共同覆盖的格子里填与列共同覆盖的格子里填1,1,其余格子里填其余格子里填0 0。31与项与项ABAB覆盖的覆盖的4 4个格子个格子逻辑函数

20、化简逻辑函数化简卡诺图化简卡诺图化简例如例如 与项与项AB对应对应AB=11一列所覆盖的一列所覆盖的4个格子里填个格子里填1;323 3、卡诺图上最小项的合并规律、卡诺图上最小项的合并规律（1 1）任何两个（）任何两个（2 21 1个）标个）标1 1的相邻最小项的相邻最小项, ,可以合并为一项可以合并为一项, ,并并消去一个变量（消去互为反变量的因子消去一个变量（消去互为反变量的因子, ,保留公因子）。保留公因子）。 AB C000111100100110110CBACBACBABCBCABC逻辑函数化简逻辑函数化简卡诺图化简卡诺图化简33（2 2）任何）任何4 4个（个（2 22 2个）标个

21、）标1 1的相邻最小项的相邻最小项, ,可以合并为一项可以合并为一项, ,并消去并消去2 2个变量。个变量。 A B C000111100111110110CCBAABBABACBACABCBACBA)(逻辑函数化简逻辑函数化简卡诺图化简卡诺图化简BBACCACACAABCCABBCACBA)(34 ABC D00011110000110011001111001100110BD逻辑函数化简逻辑函数化简卡诺图化简卡诺图化简35（3 3）任何）任何8 8个（个（2 23 3个）标个）标1 1的相邻最小项的相邻最小项, ,可以合并为可以合并为一项一项, ,并消去并消去3 3个变量。个变量。逻辑函数化

22、简逻辑函数化简卡诺图化简卡诺图化简36 D错误的圈法逻辑函数化简逻辑函数化简卡诺图化简卡诺图化简374 4、图形法化简的基本步骤、图形法化简的基本步骤（1 1）几个术语）几个术语蕴涵项蕴涵项: :在与在与- -或表达式中（不一定是最简表达式）每一项与项或表达式中（不一定是最简表达式）每一项与项称为蕴涵项。称为蕴涵项。质蕴涵项质蕴涵项: :若函数的一个蕴涵项不是该函数中其它蕴涵项的子若函数的一个蕴涵项不是该函数中其它蕴涵项的子集集, ,则此蕴涵项称为质蕴涵项则此蕴涵项称为质蕴涵项, ,简称质项。简称质项。必要质蕴涵项必要质蕴涵项: :若函数的一个质蕴涵项包含的最小项不被函数若函数的一个质蕴涵项包

23、含的最小项不被函数中其它的质蕴涵所包含中其它的质蕴涵所包含, ,则则 此质蕴涵项被称为必要质蕴涵项此质蕴涵项被称为必要质蕴涵项, ,简称必要质项。简称必要质项。逻辑函数化简逻辑函数化简卡诺图化简卡诺图化简38例如例如,上面函数的卡诺图中上面函数的卡诺图中,圈出的卡诺图圈都圈出的卡诺图圈都是蕴涵项。其中红色圈、兰色圈都是质蕴涵项是蕴涵项。其中红色圈、兰色圈都是质蕴涵项,而只有红色圈是必要质蕴涵项。而只有红色圈是必要质蕴涵项。 A BC D0 00 11 11 00 000110 101101 111111 00000必要质蕴涵项必要质蕴涵项CD必要质蕴涵项必要质蕴涵项BD蕴涵项蕴涵项CDA质蕴涵

24、项质蕴涵项CAB必要质蕴涵项必要质蕴涵项DCA逻辑函数化简逻辑函数化简卡诺图化简卡诺图化简39（2 2）求逻辑函数的最简）求逻辑函数的最简“与与- -或或”表达式的步骤表达式的步骤 将函数读入卡诺图将函数读入卡诺图, ,作出函数的卡诺图。作出函数的卡诺图。从全部质蕴涵项中找出所有的必要质蕴涵项。从全部质蕴涵项中找出所有的必要质蕴涵项。若函数的全部质蕴涵项尚不能覆盖卡诺图中所有的若函数的全部质蕴涵项尚不能覆盖卡诺图中所有的“1”方格（即最小项）方格（即最小项）,则从剩余的质蕴涵项中找出最少的质蕴则从剩余的质蕴涵项中找出最少的质蕴涵项以覆盖剩余的涵项以覆盖剩余的“1”方格。例用卡诺图化简函数方格。例用卡诺图化简函数:），（1513111076530),(mDCBAF逻辑函数化简逻辑函数化简卡诺图化简卡诺图化简40），（1513111076530),(mDCBAY逻辑函数化简逻辑函数化简卡诺图化简卡诺图化简作出卡诺图作出卡诺图41CDBD ),(CBABCADCBADCBAF逻辑函数化简逻辑函数化简卡诺图化简卡诺图化简圈卡诺图圈卡诺图圈越大越好圈越大越好,但每个圈但每个圈中只能包含中只能包含2i个方格个方格,且为矩形且为矩形42例例 用卡诺图化简函数用卡诺图化简函数: :DCABDB