概率课件123及古典概型

1、第二节频率和概率事率件概的 研究随机现象，不仅关心试验中会出研究随机现象，不仅关心试验中会出现哪些事件，更重要的是想知道事件出现现哪些事件，更重要的是想知道事件出现的可能性大小，也就是的可能性大小，也就是事件事件A的概率的概率(probability of A)记为记为P(A)概率一词英文是probabilityo Probable 意指可能o -ility 意指程度(large or small?)o 因此，probability可认为是“可能性的大小”，翻译成中文就是概率，但也有不同时期或者不同的资料翻译成或然率或者几率的。o 而在不同的学科中又有不同的称呼，o 如产品合格率，犯罪率，出生

2、率，离婚率，命中率，成功率，患病率，有效率，痊愈率，及格率等等。一、频率一、频率2. 频率的性质 (1)非负性：0fn(A); (2)规范性：fn( )=1;(3)有限可加性:设A1，A2，. Am两两互不相容，则有 miinmiinAfAf111.频率的定义 在相同条件下，将实验进行了n次，在这n次实验中，事件A发生的次数nA称为事件A的频数，比值nA/n称为事件A发生的频率，并记为fn(A)。问题问题1 1、能否直接用、能否直接用fn(A) 作为作为P(A)？ 不能。不能。P(A):客观，与试验无关。客观，与试验无关。f fn n( (A A): ):与试验有关与试验有关波动性：波动性：问

3、题问题2 2、能否借助、能否借助fn(A）得到得到P(A)？如何得到？如何得到？ 可以可以。fn(A)的统计规律性的统计规律性实例实例 将一枚硬币抛掷将一枚硬币抛掷 5 次、次、50 次、次、500 次次, , 各做各做7 遍遍, , 观察正面出现的次数及频率观察正面出现的次数及频率. .试验试验序号序号5 nHnf1 2 3 4 5 6 7231 5 1 2 4Hnf50 n22252125241827Hn500 n2512492562472512622580.40.60.21.00.20.40.80.440.500.420.480.360.54f0.5020.4980.5120.4940.

4、5240.5160.500.502处波动较大处波动较大在在21波动最小波动最小随随n的增大的增大, 频率频率 f 呈现出稳定性呈现出稳定性处波动较小处波动较小在在21实验者实验者德德 摩根摩根蒲蒲 丰丰nHnf皮尔逊皮尔逊 K皮尔逊皮尔逊 K 204810610.5181404020480.50691200060190.501624000120120.5005( )nf H逐渐增大逐渐增大n.21 经验表明：只要试验是在相同的条件下进行的，则经验表明：只要试验是在相同的条件下进行的，则随机事件出现的随机事件出现的频率稳定于一个固定的常数频率稳定于一个固定的常数，常数是事，常数是事件本身所固有的

5、，是不随人们的意志而改变的一种件本身所固有的，是不随人们的意志而改变的一种客观客观属性属性，它是对事件出现的可能性大小进行度量的客观基，它是对事件出现的可能性大小进行度量的客观基础为了理论研究的需要，从频率的稳定性和频率的性础为了理论研究的需要，从频率的稳定性和频率的性质得到启发，给出如下质得到启发，给出如下度量事件发生可能性大小度量事件发生可能性大小的的概率概率的公理化定义的公理化定义. 此定义是此定义是1933年 ，苏联数学家柯尔莫哥洛夫提出的，给出了概率的严格定义 ，使概率论有了迅速的发展。二、概率二、概率1.1.定义定义 设设E 是随机试验，是随机试验， 是它的样本空间是它的样本空间.

6、 对于对于E 的每一的每一 事件事件A 赋于一个实数，记为赋于一个实数，记为P(A), 称为事件称为事件A的的概率概率, 如果如果 集合函数集合函数 P() 满足下列条件满足下列条件: 1 对于每一个事件对于每一个事件A，有，有 P( (A)0 )0 ； 2 对于必然事件对于必然事件 P( ) = 1= 1；3 设设A1 , A2 , 是是两两互不相容的事件，两两互不相容的事件， 即对于即对于 则有则有 P(A1A2 )=P( A1)+P(A2 )+ , 2 , 1,jiAAjiji(2) (有限可加性有限可加性) 若若A1,A2, ,An是是两两互不相容的事件两两互不相容的事件, 则则 P(

7、A1A2An)= )= P P( (A1)+)+P P( (A2)+ )+ + +P P( (An) )2. 性质性质(1) P()=0)=0（反之？反之？）(3) 设设A, B是两个事件是两个事件, 若若A B, 则有则有 P(B A)=P(B) P(A) ; P(B) P(A). (4) (逆事件的概率逆事件的概率) 对于任一事件对于任一事件A，有，有P(A )=1 P(A).对于任一事件对于任一事件A，有，有P(A)1.对于任意事件对于任意事件A,B有有 P(B A) = P(B) P(AB).(5) 对于任意两事件对于任意两事件A, ,B B 有有 P(AB )=P(A)+P(B)-P

8、(AB) 推论推论1: 设设A1, A2, A3为任意三个事件，则有：为任意三个事件，则有： P(A1A2A3)=P(A1) + P(A2) + P(A3) - - P(A1A2) - - P(A1A3) - - P(A2A3) + P(A1A2A3) 推论推论2: 对于任意对于任意n个事件个事件A1 , A2 , ，An，则有：，则有： P(A1A2 An)=)= njijiniiAAPAP11)()()()1()(2111nnnkjikjiAAAPAAAP . 0)()1( P证明证明), 2 , 1( nAn.,1jiAAAjinn 且且则则 由概率的可列可加性得由概率的可列可加性得 n

9、nAPP1)( 1)(nnAP 1)(nP0)( P. 0)( P概率性质概率性质概率的有限可加性概率的有限可加性证明证明,21 nnAA令令., 2 , 1, jijiAAji由概率的可列可加性得由概率的可列可加性得)(21nAAAP)(1kkAP 1)(kkAP0)(1 nkkAP).()()(21nAPAPAP 则则有有, ,是是两两两两互互不不相相容容的的事事件件若若( (2 2) )nAAA,21).()()()(2121nnAPAPAPAAAP ).()()(),()(,)3(APBPABPBPAPB,ABA 则则且且为两个事件,为两个事件,设设证明证明BA,BA 因为因为).(A

10、BAB 所以所以,)( AAB又又. )()()(ABPAPBP 得得, 0)( ABP又又因因).()(BPAP 故故).()()(APBPABP 于是于是).()()(,B APBPABPBA有有为两个事件为两个事件设设一般的一般的).()(APAPAA1 则则的对立事件,的对立事件,是是设设(5)(5), 1)(, SPAASAA因为因为).(1)(APAP 证明证明)()(1AAPSP 所以所以. )()(APAP ).()()()(,)()(ABPBPAPBAPBA有有对于任意两事件对于任意两事件加法公式加法公式6(4)(4) 对于任一事件对于任一事件A A，有，有0 0 P(A)1

11、.P(A)1.AB),(ABBABA,)( ABBA且且).()()(ABBPAPBAP 故故又由性质又由性质3 得得因此得因此得AB),()()(ABPBPABBP ).()()()(ABPBPAPBAP 由图可得由图可得证明证明推广推广 三个事件和的情况三个事件和的情况)(321AAAP).()()()()()()(321313221321AAAPAAPAAPAAPAPAPAP n 个事件和的情况一般加法公式个事件和的情况一般加法公式)(21nAAAP njijiniiAAPAP11)()().()1()(2111nnnkjikjiAAAPAAAP 右端共有 项.12 n推论推论：概率具有

12、次可加性：概率具有次可加性 .11 niiniiAPAP解解),()()1(BPABP 由图示得由图示得.21)()( BPABP故故)()()()(APBPABP2.613121 .81)()3(;)2(;)1(.)(,2131, ABPBABAABPBA互互斥斥与与的的值值三三种种情情况况下下求求在在下下列列和和的的概概率率分分别别为为设设事事件件BASSAB例例1)()()()(ABPBPABP3.838121 SABAB例例2 2 已知已知P(AB)=P(AB), P(A)=p,求求P(B).解解: P(AB)=P(A B)= P(A B)=1-P(A B) =1-P(A)- P(B)

13、+ P(AB) P(B)= 1-P(A)=1-p()()()()( )()0.50.30.2P ABCP ABP ABCP ABP CABCC由由此此：例例3 3、 ,( )0.7,()0.4,()0.5()AC BC P AP ACP ABP ABC设设，求求()( )()( )( )( )( )()0.70.40.3P ACP AP ACP AP CACCP CP AP AC解解：（）故故：, A B例例4 4 设设 同时发生时，同时发生时，C C必然发生，则：必然发生，则： ( )( )( ) 1P CP AP B()( )ABCP ABP C解解：( )()( )( )()( )( )

14、 1P CP ABP AP BP ABP AP B。()( )( )()P ABP AP BP AB而：第三节 等可能概型（古典概型）o 若试验若试验E E满足满足 （1 1）有限样本空间：样本点总数有限；）有限样本空间：样本点总数有限；o（2 2）等可能性：各基本事件发生的可能性）等可能性：各基本事件发生的可能性 相同相同 则称试验则称试验E E为古典概型（或有限等可能概为古典概型（或有限等可能概型）型）一、古典概型一、古典概型设试验设试验E是是古典概型古典概型, , 其样本空间其样本空间 由由n个样本点组成个样本点组成, ,事件事件A由由m个样本点组成个样本点组成. .则定义事件则定义事件

15、A的概率为：的概率为：称此概率为称此概率为古典概率古典概率. .)(样本点总数样本点总数所包含样本点的个数所包含样本点的个数AnmAP 二、古典概率二、古典概率如何计算如何计算古典概率古典概率?求古典概率的问题实际上就是求古典概率的问题实际上就是计数问题计数问题 .排列组合是计算古典概率的重要工具排列组合是计算古典概率的重要工具 .计算要点：计算要点：1、确定样本点并计算其总数；、确定样本点并计算其总数；2、计算事件所含样本点数。、计算事件所含样本点数。基本计数原理基本计数原理 这里我们先简要复习一下计算古典概率这里我们先简要复习一下计算古典概率所用到的所用到的1. 加法原理加法原理设完成一件

16、事有设完成一件事有m种方式，种方式，第一种方式有第一种方式有n1种方法，种方法，第二种方式有第二种方式有n2种方法种方法,； 第第m种方式有种方式有nm种方法种方法,无论通过哪种方法都可以无论通过哪种方法都可以完成这件事，完成这件事，则完成这件事总共则完成这件事总共有有n1 + n2 + + nm 种方法种方法 .基本计数原理基本计数原理则完成这件事共有则完成这件事共有种不同的方法种不同的方法 .mnnn212. 乘法原理乘法原理设完成一件事有设完成一件事有m个步骤，个步骤，第一个步骤有第一个步骤有n1种方法，种方法，第二个步骤有第二个步骤有n2种方法种方法,； 第第m个步骤有个步骤有nm种方

17、法种方法,必须通过每一步骤必须通过每一步骤,才算完成这件事，才算完成这件事，1、排列、排列: 从从n个不同元素取个不同元素取 k个个（1 k n)的不同排列总数为：的不同排列总数为： k = n时称全排列时称全排列!)(nnnnpAnnn1221排列、组合的几个简单公式排列、组合的几个简单公式)!(!)()(knnknnnnAkn121从从n个不同元素取个不同元素取 k个（允许重复）个（允许重复）（1 k n)的不同排列总数为：的不同排列总数为：knnnn 例如：从装有例如：从装有4张卡片的盒中张卡片的盒中有放回地摸取有放回地摸取3张张3241n=4,k =3123第第1张张4123第第2张张

18、4123第第3张张4共有共有4.4.4=43种可能取法种可能取法!)!(!kknnkACknkn2、组合、组合: 从从n个不同元素取个不同元素取 k个个（1 k n)的不同组合总数为：的不同组合总数为： knC常记作常记作kn，称为组合系数。，称为组合系数。!kCAknkn组合系数组合系数 又常称为二项式系数，因为又常称为二项式系数，因为它出现在下面的二项式展开的公式中：它出现在下面的二项式展开的公式中：kn3、组合系数与二项式展开的关系、组合系数与二项式展开的关系knknknbaknba0)(4、n个不同元素分为个不同元素分为k组，各组元素数目组，各组元素数目分别为分别为r1,r2,rk的分

19、法总数为的分法总数为nrrrrrrnkk2121,!r1个个元素元素r2个个元素元素rk个个元素元素n个个元素元素kkrrrrnrnCCC211!21krrrn因为因为解解.,TTTTTHTHTHTTTHHHTHHHTHHHS 则则.,1 TTHTHTHTTA 而而.83)(1 AP得得.)(TTTA 2 2. .因此因此87)(2 AP).(,)2().(,)1(.2211APAAPA求求次出现正面”次出现正面”“至少有一“至少有一为为设事件设事件求求”次出现正面次出现正面为“恰有一为“恰有一设事件设事件将一枚硬币抛掷三次将一枚硬币抛掷三次., )1(为出现反面为出现反面为出现正面为出现正面

20、设设TH1例例古典概型的典型例题古典概型的典型例题:例例2：取：取球问题球问题(1) 无放回地摸球无放回地摸球( (不放回抽样不放回抽样) )问题问题1 设袋中有设袋中有5个白球和个白球和3个黑球个黑球, , 现从袋中无现从袋中无放回地依次摸出放回地依次摸出3个球个球, ,求恰有求恰有2个球是白球的概率个球是白球的概率. .解解基本事件总数为基本事件总数为, 678NSA 所包含基本事件的个数为所包含基本事件的个数为, 34523NANNAPSA)(故故.54. 0336180,恰恰好好取取得得两两个个白白球球设设A(2) 有放回地摸球有放回地摸球问题问题2 设袋中有设袋中有4个红球和个红球和

21、6个黑球个黑球, ,现从袋中有放现从袋中有放回地依次摸球回地依次摸球3次次, ,求前求前2次摸到黑球、第次摸到黑球、第3次摸到红次摸到红球的概率球的概率. .解解3,2次摸到红球次摸到红球第第次摸到黑球次摸到黑球前前设设 A第第1 1次摸球次摸球10种种第第2次摸球次摸球10种种第第3次摸球次摸球10种种6种种第第1 1次摸到黑球次摸到黑球 6种种第第2次摸到黑球次摸到黑球4种种第第3次摸到红球次摸到红球基本事件总数为基本事件总数为,101010103 A 所包含基本事件的个数为所包含基本事件的个数为, 466 310466)( AP故故.144. 0 (3) 一次取一次取球球问题问题3 设袋

22、中有设袋中有5个白球和个白球和3个黑球个黑球, , 现从袋中任现从袋中任取取3球球, ,求恰有求恰有2个球是白球的概率个球是白球的概率. .解解,恰恰好好取取得得两两个个白白球球设设A基本事件总数为基本事件总数为,38NS,1325NAA 所包含基本事件的个数为所包含基本事件的个数为NNAPSA)(故故.54. 05630例1 抽签问题 箱中有a根红签，b根白签，除颜色以外，签没有区别。现有a+b个人依次不放回地去抽签，求第k个人抽到红签的概率。解法：记kAk 第 个人抽到红签(1)!()()!kaabaP Aabab在在 N 件产品中抽取件产品中抽取n件件, ,其中恰有其中恰有k 件次品的取

23、法件次品的取法共有共有,种种 knDNkD于是所求的概率为于是所求的概率为. nNknDNkDp解解在在N件产品中抽取件产品中抽取n件的所有可能取法共有件的所有可能取法共有,种种 nN?)(,件次品的概率是多少件次品的概率是多少问其中恰有问其中恰有件件今从中任取今从中任取件次品件次品其中有其中有件产品件产品设有设有DkknDN 练练习习：这是无放回取球（一次取球）模型这是无放回取球（一次取球）模型.这在第二章中称为超几何分布这在第二章中称为超几何分布 在在1 120002000的整数中随机地取一个的整数中随机地取一个数数, ,问取到的整数能被问取到的整数能被6 6整除的概率是多少整除的概率是多

24、少 ? ? 取到的取到的整数既能被整数既能被6 6整除整除, , 又能被又能被8 8整除的概率是多少整除的概率是多少 ? ? 设设 A 为事件为事件“取到的数能被取到的数能被6整除整除”, ,B为事件为事件“取到的数能被取到的数能被8整除整除”，则所求概率为，则所求概率为解解,33462000333 因因为为,2000333)( AP所所以以例例3 3（取数问题）（取数问题）,8424200083 由于由于.200083)( ABP得得 将将15 名新生随机地平均分配到三名新生随机地平均分配到三个班级中去个班级中去, ,这这15名新生中有名新生中有3名是优秀生名是优秀生. .问问 (1) 每每

25、一个班级各分配到一名优秀生的概率是多少一个班级各分配到一名优秀生的概率是多少? ? (2) 3 名优秀生分配在同一个班级的概率是多少名优秀生分配在同一个班级的概率是多少? ? 例例4（分组问题）（分组问题）解解 15名新生平均分配到三个班级中的分法总数名新生平均分配到三个班级中的分法总数: : 55510515.! 5! 5! 5!15 (1) 每一个班级各分配到一名优秀生的分法共有每一个班级各分配到一名优秀生的分法共有.) ! 4! 4! 4() !12! 3(种种 因此所求概率为因此所求概率为! 5! 5! 5!15! 4! 4! 4!12! 31 p.9125 (2)将将3名优秀生分配在

26、同一个班级的分法共有名优秀生分配在同一个班级的分法共有3种种, ,对于每一种分法对于每一种分法, ,其余其余12名新生的分法有名新生的分法有.! 5! 5! 2!12种种因此因此3名优秀生分配在同一个班级的分法共有名优秀生分配在同一个班级的分法共有,) ! 5! 5! 2() !123(种种 因此所求概率为因此所求概率为! 5! 5! 5!15! 5! 5! 2!1232 p.916 设有 k 个不同的球, 每个球等可能地落入 N 个盒子中（ ）, 设每个盒子容球数无限, 求下列事件的概率:Nk （1）某指定的 k 个盒子中各有一球；（4）恰有 k 个盒子中各有一球；（3）某指定的一个盒子没有

27、球；km （2）某指定的一个盒子恰有 m 个球( )（5）至少有两个球在同一盒子中；（6）每个盒子至多有一个球.例例5 5 （分球（分球 模型）模型）解解kNn 设 (1) (6)的各事件分别为61AA 则!1kmAkANknmAP!)(11kkNNkCAP!)(4kkNNAP) 1()(3kmkmkNNCAP) 1()(2kkNkNkCNAP!)(5)(14APkANm) 1(3mkmkANCm) 1(2!4kCmkNA!5kCNmkNkA!6kCmkNA)()(46APAP例例5 5的的“分球模型分球模型”可应用于很多类似场合可应用于很多类似场合“球”可视为人“盒子”相应视为房子信封信钥匙

28、门锁女舞伴生日人男舞伴人人房房人人任一天任一天 （实际推断原理）某接待站在某一周曾接待过（实际推断原理）某接待站在某一周曾接待过 12次来访次来访, ,已知所有这已知所有这 12 次接待都是在周二和周次接待都是在周二和周四进行的四进行的, ,问是否可以推断接待时间是有规定的问是否可以推断接待时间是有规定的. . 假设接待站的接待时间没有规定，且各来访者假设接待站的接待时间没有规定，且各来访者在一周的任一天中去接待站是等可能的在一周的任一天中去接待站是等可能的. .解解周一周一周二周二周三周三周四周四周五周五周六周六周日周日.712种种12341277777 故一周内接待故一周内接待 12 次来

29、访共有次来访共有例例6.212种种121272 p.3000000.0 小概率事件在实际中几乎是不可能发生的（小概率事件在实际中几乎是不可能发生的（实际推实际推断原理断原理） , , 从而可知接待时间是有规定的从而可知接待时间是有规定的. .周一周一周二周二周三周三周四周四周五周五周六周六周日周日周二周二周四周四12341222222 12 次接待都是在周二和周四进行的共有次接待都是在周二和周四进行的共有故故12 次接待都是在周二和周四进行的概率为次接待都是在周二和周四进行的概率为定义 当随机试验的样本空间是某个区域，并且任意一点落在度量 (长度、 面积、体积) 相同的子区域是等可能的，则事件

30、 A 的概率可定义为.)(SSAPA 几何概型.),(几何概型几何概型定的概率称为定的概率称为量来合理规量来合理规这样借助于几何上的度这样借助于几何上的度区域的度量区域的度量的子的子是构成事件是构成事件是样本空间的度量是样本空间的度量其中其中ASSA例1. 公共汽车站每隔5min有一辆公共汽车到站，乘客到达汽车站的时刻是任意的，求一个乘客候车时间不超过3min的概率。例2.一长度为a的线段任意截成3段，求构成三角形的概率。 那么.0,0TyTx 两人会面的充要条件为, tyx 例 甲、乙两人相约在 0 到 T 这段时间内, 在预定地点会面. 先到的人等候另一个人, 经过时间 t( tT ) 后离去.设每人在0 到T 这段时间内各时刻到达该地是等可能的 , 且两人到达的时刻互不牵连.求甲、乙两人能会面的概率.会面问题解,x