高等数学随堂讲义多元函数微分学的应用习题课

1、第十一讲第十一讲 多元函数微分学的应用习题课多元函数微分学的应用习题课多元函数微分学应用习题课多元函数微分学应用习题课一、内容小结一、内容小结二、题型练习二、题型练习多元函数微分学应用习题课多元函数微分学应用习题课一、内容小结一、内容小结二、题型练习二、题型练习一、内容小结一、内容小结（一）几何应用（一）几何应用（二）方向导数和梯度（二）方向导数和梯度（三）极值和条件极值（三）极值和条件极值一、内容小结一、内容小结（一）几何应用（一）几何应用（二）方向导数和梯度（二）方向导数和梯度（三）极值和条件极值（三）极值和条件极值1. 一元向量值函数一元向量值函数 1)概念概念Dttftftftfr )

2、(),(),()(321以三维向量为例以三维向量为例2) 图形图形终端曲线为一空间曲线终端曲线为一空间曲线3) 极限极限 )(lim),(lim),(lim)(lim3210000tftftftftttttttt4) 连续连续 )(),(),()(lim0302010tftftftftt 5) 导数导数)(),(),()(0302010tftftftf )(0tf 导向量导向量的几何意义的几何意义向量值函数向量值函数Dttfr ),(的终端曲线的终端曲线一个切向量一个切向量,其指向与其指向与t 的增长方向一致的增长方向一致.在点在点M处的处的2. 空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面

3、1) 参数式情况参数式情况.)(),(),(:tztytx 切向量切向量)(, )(, )(000tttT2) 一般式情况一般式情况.特例特例)(),(:xzxy 切向量切向量)(, )(,(001xxT 0),(0),(:zyxGzyxF切向量切向量 zyxzyxGGGFFFkjiT),(000zyx0),(:zyxF1) 隐式情况隐式情况 .法向量法向量),(, ),(, ),(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx),(:yxfz 2) 显式情况显式情况.法向量法向量) 1 ,(yxffn一、内容小结一、内容小结（一）几何应用（一）几何应用（二）方向导数和梯度（二）方向导数和

4、梯度（三）极值和条件极值（三）极值和条件极值一、内容小结一、内容小结（一）几何应用（一）几何应用（二）方向导数和梯度（二）方向导数和梯度（三）极值和条件极值（三）极值和条件极值1. 方向导数方向导数 ttztytxflftzyx)cos,cos,cos(lim0000),(000 000(,)coscoscosxyzuuuxyz( , , )uf x y z (cos,cos,cos )l 单侧极限单侧极限分子分子: 射线射线l方向上两点的函数值之差方向上两点的函数值之差分母分母: 射线射线l方向上两点的距离方向上两点的距离l注注2. 梯度梯度 ,uuugrad uxyz ( , , )uf

5、x y z 方向方向:大小大小:方向导数取得最大值的方向方向导数取得最大值的方向l注注梯度是一个向量梯度是一个向量方向导数的最大值方向导数的最大值几何意义几何意义与曲线的一个法向量方向一致与曲线的一个法向量方向一致,由数值低的等值面指向数值高的等值面由数值低的等值面指向数值高的等值面一、内容小结一、内容小结（一）几何应用（一）几何应用（二）方向导数和梯度（二）方向导数和梯度（三）极值和条件极值（三）极值和条件极值一、内容小结一、内容小结（一）几何应用（一）几何应用（二）方向导数和梯度（二）方向导数和梯度（三）极值和条件极值（三）极值和条件极值. 0),(,0),(0000 yxfyxfyx定理

6、定理1 1设函数设函数z=f(x,y)在点在点(x0,y0)存在偏导数存在偏导数,且在该点取得极值且在该点取得极值 ,则有则有:令令则则: 1) 当当ACB20时时,具有极值具有极值A0 时取极小值时取极小值.),(, ),(, ),(000000yxfCyxfByxfAyyyxxx定理定理2 2设函数设函数z=f (x,y)在点在点(x0,y0)的某邻域内具有一阶和二阶连的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数续偏导数,又又0),(,0),(0000yxfyxfyx 2) 当当ACB20时时,没有极值没有极值 3) 当当ACB2=0时时,不能确定不能确定,需另行讨论需另行讨论.多元函数微分学应用习

7、题课多元函数微分学应用习题课一、内容小结一、内容小结二、题型练习二、题型练习多元函数微分学应用习题课多元函数微分学应用习题课一、内容小结一、内容小结二、题型练习二、题型练习二、题型练习二、题型练习（一）几何应用（一）几何应用（二）极值和最值（二）极值和最值二、题型练习二、题型练习（一）几何应用（一）几何应用（二）极值和最值（二）极值和最值u例例1 求椭球面求椭球面12222 zyx上平行于平面上平行于平面02 zyx的切平面方程的切平面方程. .u例例2 在曲面在曲面xyz 上求一点，使这点处的法线垂直于平面上求一点，使这点处的法线垂直于平面093 zyx并写出这法线的方程并写出这法线的方程.

8、 .u例例3 试证曲面试证曲面)(0 aazyx上任何点处的切平面上任何点处的切平面在各坐标轴上的截距之和等于在各坐标轴上的截距之和等于a.u例例4 证明螺旋线证明螺旋线btztaytax ,sin,cos上任一点处的切上任一点处的切 线与线与oz轴交成定角轴交成定角. .u例例5 证明曲面证明曲面0 ),(mznylznxF上任一点的切平面平行上任一点的切平面平行于直线于直线.321nzmylx u例例6 证明曲面证明曲面0),(nyzmyxF的所有切平面恒与的所有切平面恒与定直线平行定直线平行. .u例例7 使证所有切于曲面使证所有切于曲面 xyxfz的平面都相交于一点的平面都相交于一点.

9、 .u例例8 试证锥面试证锥面322 yxz的所有切平面都通过锥面的所有切平面都通过锥面顶点顶点. .二、题型练习二、题型练习（一）几何应用（一）几何应用（二）极值和最值（二）极值和最值二、题型练习二、题型练习（一）几何应用（一）几何应用（二）极值和最值（二）极值和最值u例例9 求由方程求由方程0222222 zyxyzxzzyx所确定的隐函数所确定的隐函数z= =z( (x, ,y) )的极值的极值. .u例例10 求函数求函数xyyxz 22在区域在区域最大值和最小值最大值和最小值. .1 yx上的上的u例例11 求函数求函数32233xyxz 在区域在区域最大值和最小值最大值和最小值. .1622 yx上的上的u例例12 求函数求函数)sin(sinsinyxyxu 在区域在区域 200 yxyx,上的最大值上的最大值. .u例例13 求点求点( (a, ,b, ,c) )到平面到平面0 DCzByAx的距离的距离. .u例例14 求内接于半径为求内接于半径为a的球，且有最大体积的长方体的球，且有最大体积的长方体. .u例例15u例例16 已知三角形的周长为已知三角形的周长为2p，求出这样的三角形，求出这样的三角形当它绕着自己的一边旋转时所生成的立体体积最大当它绕着自己的一边旋转时