椭圆离心率求法情况总结

1、椭圆离心率的解法一、运用几何图形中线段的几何意义。基础题目：如图，O为椭圆的中心，F为焦点，A为顶点，准线L交OA于B, P、Q在椭圆上,PC± L于D, QF± AD F,设椭圆的离心率为 e,则e二 1 / e，QF：e=AR I PD| I BF| I BO|J AF| f J FO|e- I BA| e= | AO|评：AQP为椭圆上的点，根据椭圆的第二定义得，。 | AO| =a, | OF| =c, .有；I AO| =a, | BO|题目1：椭圆空一+*一=1(a>b >0)的两焦点为F1 a2b2圆恰好平分正三角形的两边，则椭圆的离心率e?a2，

2、有。 cF2 ,以F1F2为边作正三角形，若椭思路：A点在椭圆外，找a、 已知条件放在椭圆内，构造 解：| F1F2 | =2c | BF1 | c+#c=2ae= a=花-1b、c的关系应借助椭圆，所以取 AF2的中点B,连接BF1 ,把 F1BF2分析三角形的各边长及关系。=c | BF2| M、, x2 y2变形1：椭圆* +会=1(a>b >0)的两焦点为F1、F2 ,点P在椭圆上，使 OPF1为正三角形，求椭圆离心率?解：连接 PF2 ,贝U | OF2| = | OF1 | = | OP| , / F1PF2 =90° 图形如上图,变形2:椭圆当+y2=1(a

3、>b >0)的两焦点为F1、F2 , AB为椭圆的顶点，P是椭圆上一 a2 b2点，且 PF1 LX轴，PF2 /AB,求椭圆离心率？解：| PF1 | =竺 | F2 F1 | =2c | OB| 二b | OA| =a aPF2 / ABI PF1I =| F2 F1 又b= Na2-c2a2=5c2 e=,55a与c的方程点评：以上题目，构造焦点三角形，通过各边的几何意义及关系，推导有关 式，推导离心率。、运用正余弦定理解决图形中的三角形 题目2：椭圆X2 +yb2=1(a>b >0)，A是左顶点，F是右焦点，B是短轴的一个顶点，/ABF=90° ,求

4、e?解：| AO| =a | OF| 二c | BF| =a | AB | =/a2+b2a2+b2+a2 =(a+c)2 =a2+2ac+c2 a2-c2-ac=0两边同除以 a2e2+e-1=0 e= -"J e= :125(舍去)变形：椭圆X22 + yb2=1(a>b >0) , e=-1+y , A 是左顶点，F是右焦点，B是短轴的一个顶点，求/ ABF?点评：此题是上一题的条件与结论的互换，解题中分析各边，由余弦定理解决角的问题。答案：90°引申：此类3=一吴的椭圆为优美椭圆。性质：1、/ABF=90 2、假设下端点为 B1，则ABFB1四点共圆。3

5、、焦点与相应准线之间的 距离等于长半轴长。总结：焦点三角形以外的三角形的处理方法根据几何意义，找各边的表示，结合解斜三角形公式，列出有关e的方程式。题目3:椭圆x2 +y2=1(a>b >0),过左焦点F1且倾斜角为60°的直线交椭圆与 AB两a2 b2点，若 | F1A| =2 | BF1 ,求 e?解：设 | BF1 | 二m 贝U | AF2| =2a-am | BF2 | =2a-m在AFIF2及ABFIF2中，由余弦定理得:a2 - c2=m(2a-c)2(a2-c2)=m(2a+c)两式相除-2a-c2a+ce=223题目 4:椭圆 x2一 +y2；-=1(a

6、>b >0)的两焦点为 F1 (-c, 0)、F2 (c,0) , P 是以 | F1F2 | a2 b2为直径的圆与椭圆的一个交点，且/ PF1F2 =5/ PF2F1 ,求 e?分析：此题有角的值，可以考虑正弦定理的应用。、| F1F2 | F1P | PF2|解：由正弦定理：.匚匚。 = ' Cd COD = - DCdCOsin F1PF2 sin F1F2P sin PF1F2根据和比性质：| F1F2 | F1P| + | PF2|sin F1PF2 = sinF1F2P+sin PF1F2变形得:2c =e2aZPF1F2 =75° / PF2F1s

7、in90e= sin75+sin15 °=15°=不3点评：在焦点三角形中，使用第一定义和正弦定理可知sin F1PF2e=sin F1F2P +sin PF1F2变形1:椭圆x2 +y2=1(a>b >0)的两焦点为F1 (-c, 0)、F2 (c,0) , P是椭圆上一点, a2 b2且/ F1PF2 =60° ,求e的取值范围？ 分析：上题公式直接应用。解：设/ F1F2P=a,贝U/ F2F1P=120° - asin F1PF2sin60e=sin F1F2P +sin PF1F2sin a +sin(120F1F2sin F1PF

8、2| PF2 | + | F1P | sin F1F2P +sin PF1F211；封一2sin( a +30 )2变形2:已知椭圆X2+噂2一 =1 (t>0) F1F2 为椭圆两焦点，M为椭圆上任意一点(M不与长轴两端点重合)设/ PF1F2= a , / PF2F1 = 3若 ；<tan * tan<1,求e的取值范围?322 2分析：运用三角函数的公式，把正弦化正切。解；根据上题结论sin F1PF2e=sin F1F2P +sin PF1F2a + 3 a + 3sin( a+3) 2sin Mcos 丁sin a +sin 3a + 3 a - 32sin 丁co

9、s Mcosa2-cos33.-sin 2cos -2cos -2+sinaBsin 一22a Br sinTa 31- tan -tan 1- tan=ea 3rtan 屋1 1-e1,3<1+e <211-3<e<2以直线与椭圆的位置关系为背景，用设而不求的方法找e所符合的关系式.题目5：椭圆x21 +y2=1(a>b >0),斜率为1,且过椭圆右焦点 F的直线交椭圆于 A、B a2 b2两点，。4。叼a =(3,-1)共线，求e?法一：设 A(x1,y1) ,B(x2,y2)b2x2+a2y2=a2b2y=x-c2a2c-2b2ca2+b2a2+b2(

10、a2+b2)x2-2a2cx+a2c2-a2b2=0x1+x2= 2a2c y1+y2= a2+b2 > 'OA+OB=(x1+x2,y1+y2)与(3, -1 )共线，则(x1+x2) =3(y1+y2)既 a2=3b2 e= J3一L , 一 一法二：设AB的中点N,则2OMOA+OBx12-+a2x22+a2y12 b2y22b2=1=1y1-y2x1-x2四、竽 1；21- 1=- -b2-(-3)既 a2=3b2a2 y1+y2a2 ' )由图形中暗含的不等关系，求离心率的取值范围。e=题目6:椭圆空一+*一=1(a>b >0)的两焦点为 F1 (-

11、c, a2 b2的点M总在椭圆内部，则 e的取值范围？0)、F2 (c,0),满足 MF1 - MF2 =0O分析：思路1,如图F1P与F2M垂直，根据向量垂直，找 a、b、ea2c -c %2, 2 )分析： M，宿丽=0 .以F1F2为直径作圆，M在圆O上，与椭圆没有交点。解：，c<b2 a2=b2+c2 >2c2:.0<e<i-2题目7：椭圆x2 +y2z-=1(a>b >0)的两焦点为F1 (-c, 0)、F2 (c,0) , P为右准线L上 a2 b2一点，F1P的垂直平分线恰过 F2点，求e的取值范围？c的不等关系。思路2:根据图形中的边长之间的

12、不等关系，求解法一：F1 (-c,0) F2 (c,0) P( a2,y0 ) M( c既(詈，yT")则酢1 =-( a2+c，y0 )2c2c丽=-(2b2-c, yO-)pf1 -丽=o,a2 一(+c, y0 )=0/ b2(2r-c，a2-3c2 < 0b2 y022T-c)+ L更W e<13解法 2: | F1F2 | = | PF2 | | PF2 | > a2-c c=2ca2贝U 2c>a-c c3ca2 c3c2 > a2设椭圆的左、右焦点分别为 F1、F2,如果椭圆上存在点 P,使e的取值范围。解法利用曲线范围(x, y),又知将

13、这个方程与椭圆方程联立，消去y,可解得解法2:利用二次方程有实根 由椭圆定义知解法3:利用三角函数有界性记解法4:利用焦半径 由焦半径公式得解法5:利用基本不等式平方后得由椭圆定义，有解法6:巧用图形的几何特性,知点P在以为直径的圆上。又点P在椭圆上，因此该圆与椭圆有公共点P故有离心率的五种求法椭圆的离心率0 e 1,双曲线的离心率 e 1,抛物线的离心率 e 1. 一、直接求出a、c,求解e 已知圆锥曲线的标准方程或 a、c易求时，可利用率心率公式 e c来解决。a例1：已知双曲线2x2a双曲线的离心率为A.y2 1 (a)3B.一20）的一条准线与抛物线y2C.62解：抛物线y26x的准线

14、是x3 1一,即双曲线的右准线 x26x的准线重合，则该D.号c二3,则c 22c2 3c 2 0,解得 c 2, aV3 , e - 空3 ,故选Da 3变式练习1：若椭圆经过原点，且焦点为F1 1,0、3A. 一42B.3F2 3,0 ,则其离心率为（1C.2解：由 F1 1,0、F2 3,0 知 2c 3 1, c 1 ,又二椭圆过原点，a c)1D. 一41, a c3,c 1a 2 , c 1 ,所以离心率e 一 .故选C.a 2变式练习2:如果双曲线的实半轴长为2,焦距为6,那么双曲线的离心率为（）A色 八.2B 6B.2C.解：由题设a 2 ,3,变式练习3:点P (-3, 1)

15、在椭圆2x-2a2 y_ b2(a b 0)的左准线上，过点 P且方向为a 2, 5的光线，经直线y2反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为.3A 3解：由题意知，入射光线为2的反射光线(对称关系)为5x 2y 5 0,则c5c 5解得0底，c 1 ,则e -,故选Aa 31.已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于 22.已知椭圆两条准线间的距离是焦距的2倍,则其离心率为,3.若椭圆经过原点，且焦点为F1 (1,0), F2(3,0)，则椭圆的离心率为4.已知矩形 ABCD AB= 4, BC= 3,则以 A B为焦点，且过 G1D两点的椭圆的离心率为 一2225.若椭圆。

16、4 1,(a b 0)短轴端点为 P满足PF1 a b2e 。2PF2 ,则椭圆的离心率为一，126.已知一 一1(m 0.n 0)则当mn取得取小值时，椭圆22T三1的的离心率为m nx轴的交点分别为M, N ,£122x y7 .椭圆三三1(a b 0)的焦点为F-F2,两条准线与 a b8 .已知Fi为椭圆的左焦点，A B分别为椭圆的右顶点和上顶点，P为椭圆上的点，当PFFiAPO/ AB (O为椭圆中心)时，椭圆的离心率为x2 y29 .P是椭圆+q=i (a>b>0)上一点，F1、F2是腌圆的左右焦点，已知PFF2a bF1PF2 3，椭圆的离心率为e J3 1

17、10 .已知Fi、F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，若 PFi F2 15 , PF2F16椭圆的离心率为一6311 .在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为J2 ,焦点到相应准线的距离为1,则该一2椭圆的离心率为222xy 12.设椭圆 =i (a>b> 0)的右焦点为Fi,右准线为li,若过Fi且垂直于x轴的弦a b1 的长等于点Fi到li的距离，则椭圆的离心率是 一。 2213.椭圆2a2 y b21 (a>b>0)的两顶点为 A (a,0 )B(0,b),若右焦点F到直线AB的距离6则椭圆的离心率是一6。3214.椭圆事a2 y b21 (a>b&g

18、t;0)的四个顶点为 A、B、C D,若四边形ABCM内切圆恰好过焦点，则椭圆的离心率是.5 12215.已知直线L过椭圆 § a2-y71 (a>b>0)的顶点 A (a,0 )、B(0,b),如果坐标原点到直b2线L的距离为a ,则椭圆的离心率是216.在平面直角坐标系中,22椭圆勺当a2b21( a b 0)的焦距为2,以O为圆心，a为半径.2 e=22作圆，过点 ,0作圆的两切线互相垂直，则离心率 c二、构造a、c的齐次式，解出e根据题设条件，借助 a、b、c之间的关系，构造 a、c的关系(特别是齐二次式)，进而 得到关于e的一元方程，从而解得离心率 e。例2：已

19、知Fi、F2是双曲线212 1 ( a 0,b 0)的两焦点, b三角形MF1F2,若边MFi的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（A. 4 2 .3 B. 3 1P 3 1C.2解：如图，设MFi的中点为P,P的横坐标为c ，一，,由焦半径公式2PFiexp解得J3舍去），故选变式练习21 :设双曲线当 a（0 a b）的半焦距为点.已知原点到直线的距离为一 3cc ,4则双曲线的离心率为（A. 2C. 2解：由已知,直线L的方程为bx ay abab .a2b2又c2b2, 4ab 、值c2,两边平方，得3e416e2160,得e22,故选A变式练习2:双曲线虚轴的一个端点为曲线的离心率为

20、（解：如图所示，不妨设M Qb , F1c,0以线段F1F2为边作正L过 a,0 , 0,b 两2 3D.30 ,由点到直线的距离公式，得16a一 4 一 一3c ,整理得2c-2ab2-2 a两个焦点为F1、F2,F1MF2120°,则双MF1 MF2 4cb2,又 F1F2 2c,在 F1MF2中， 由余弦定理，得cosF1MF2MFiMF2F1F22|MFj |MF2|22222c b c b 4c22 c bb2 b22ac 222c a, 3a21 .已知椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列，则椭圆的离心率是2 .以椭圆的右焦点F2为圆心作圆，使该圆过椭圆的中心并且与椭圆交

21、于M N两点，椭圆的左焦点为Fi,直线MF与圆相切，则椭圆的离心率是 J3 13 .以椭圆的一个焦点 F为圆心作一个圆，使该圆过椭圆的中心 O并且与椭圆交于 M N两点， 如果I MFI = I MO ,则椭圆的离心率是3 14 .设椭圆的两个焦点分别为 Fj、F2,过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 巳若1PF2为等 腰直角三角形，则椭圆的离心率是2 15 .已知F1、F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，若4ABF2是正三角形，则这个椭圆的离心率是.3326.设F1、F2分别是椭圆白 a2L 1 b2b 0的左、右焦点，P是其右准线上纵坐标为 73c（c为半焦

22、距）的点，且F1F2F2P ,则椭圆的离心率是-y、采用离心率的定义以及椭圆的定义求解例3：设椭圆的两个焦点分别为 F1、F2，过52作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P,若 F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是解：ec 2c2c2ca 2aPF1 眸 2.2c 2c 2四、根据圆锥曲线的统一定义求解2例4:设椭圆含a2y 1 ( a 0,b b20）的右焦点为Fi,右准线为li ,若过Fi且垂直于x轴的弦的长等于点 F1到l1的距离，则椭圆的离心率是解：如图所示， AB是过F1且垂直于x轴的弦，: AD 卜于D ,AD为Fi到准线1i的距离，根据椭圆的第二定义,AFiAD2ABAD上2，焦点

23、到相应准线的距离为i,变式练习：在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为 则该椭圆的离心率为()J21A 2B C -到 AF22212 22解：e AD|12五、寻找特殊图形中的不等关系或解三角形。0的点M总在椭圆内部，则椭圆离uuuu uuuur1 .已知Fi、F2是椭圆的两个焦点，满足 MFi MF2心率的取值范围是(0,二2)2P是椭圆上一点，且F1PF2 90 ,椭圆离心率e的2 .已知FF2是椭圆的两个焦点,2取值范围为 ,123.已知F1、F2是椭圆的两个焦点,P是椭圆上一点，且F1PF2 60 ,椭圆离心率e的取值范围为1,124.设椭圆? a椭圆离心率e的取值范围为5 .在

24、4ABC 中,ABcosB 工.若以A, B为焦点的椭圆经过点 C ,则该椭 18圆的离心率e6 .设F1, F2分别是椭圆2 x 2 a2-y2 1 (a b 0)的左、右焦点，若在其右准线上存在P,b使线段PF1的中垂线过点F2,则椭圆离心率的取值范围是,13配套练习2 x1.设双曲线 a24 1 (a 0,b 0)的离心率为J3 ,且它的一条准线与抛物线 b24x的准线重合,则此双曲线的方程为(A.2x122L 1242 x B.482匕1962 x C. 32.已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于B.3 .已知双曲线2 x -2 ay b21的一条渐近线方程为则双曲线的离

25、心率为4 .在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为<2,焦点到相应准线的距离为椭圆的离心率为A 25.在给定双曲线中，过焦点垂直于实轴的弦长为<2 ,焦点到相应准线的距离为双曲线的离心率为(D 2, 26 .如图，Fi和F2分别是双曲线2x-2ay b21 (a 0,b 0)的两个焦点，A和B是以O为圆心，以OFi为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且F2AB是等边三角形,则双曲线的离心率为(.5,5C 一27 .设Fi、F2分别是椭圆2 x ""2 a2 y b2(a b 0)的左、右焦点， P是其右准线上纵坐标为J3c （c为半焦距）的点，且F2P ,则椭圆的离心率是（）.3 1A 2.5 1C 228.设Fi、F2分别是双曲线与 -y2 a b1的左、右焦点，若双曲线上存在点A,使2F1AF2 900,且AF1 3AF2 ,则双曲线离心率为（10B -229.已知双曲线 1 （ a 0,b 0）的右焦点为F ,若过点F且倾斜角为600的 b2直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（A 1,2B 1,2C 2,D 2,2x10.椭圆a2 y b21 （a b 0）的焦点为F1、F2,两条准线与x轴的交点分别为 M、2F1F2 ,则