高中数列经典题型_大全

1、6高中数学：递推数列 经典题型全面解析类型 1 an 1 an f (n)解法：把原递推公式转化为例：已知数列an满足a1an 1 anf（n）,利用累加法（逐差相加法）求解11 十一，an 1an-，求 an。2n n类型2 an 1 f(n)an解法：把原递推公式转化为ananf（n）,利用累乘法（逐商相乘法）求解。一一，一一2n例：已知数列an满足a1- , an 1an ,求an3n 1例：已知a13 , an 13n 1;一ran3n 2(n1),求 an类型3 an 1 pan q （其中p, q均为常数,(pq(p 1) 0)例：已知数列an 中，a1 1 , an 1 2an

2、3,求 an.变式：递推式：an 1pan f n。解法：只需构造数列bn ，消去f n带来的差异.类型 4 an 1 pan qn (其中 p , q 均为常数，(pq( p 1)(q 1) 0)(an 1 pan rqn,其中p, q, r均为常数)例:已知数列 an中，a151 J、n1 -二，an 1 二 an (T) ，求 a632类型5递推公式为 an 2pan 1 qan （其中p, q均为常数）解法一（待定系数一一迭加法）:数列 an : 3an 2 5an 1 2an 0(n Qn N),a1 a,a2 b,求数列 an的通项公式。解法二（特征根法）：数列 an ： 3an

3、2 5an 1 2an 0（n 0,n N） , a1 a, a2 b的特征方程是：3x2 5x 2 0。anAxin1Bx2n 1 A B (2)n1。又由 a1 a,a2b,于是3a A Bb A 2B33b3(a2ab)故an3b 2a 3(a b)(2)n 1例：已知数列 an中，a121十-an1an，求an。33类型6递推公式为Sn与an的关系式。(或Sn ”小)解法：这种类型一般利用anSn1(nn白例：已知数列 an前n项和Sn 4 ann5.(1)求an 1与an的关系；(2)求通项公2 n 工式an.类型 7 an 1pan an b (p 1、o, a 0)解法：这种类型

4、一般利用待定系数法构造等比数列，即令an 1 x(n 1) y p(an xn y),与已知递推式比较，解出x, y ,从而转化为an xn y是公比为 p的等比数列。例:设数列 an : a14, an3an 12n1, (n2),求 an.【例】、已知数列an满足a11 , an3n 1an 1(n2),则通项公式an高中数学：递推数列经典题型全面解析类型 1 an1 an f(n)解法：把原递推公式转化为an 1 anf(n),利用累加法(逐差相加法)求解1 1-例:已知数列 an 满足 a1 一，an 1 an ，求 an。2 n n类型 2 an 1 f (n)an解法：把原递推公式

5、转化为曳工 f(n),利用累乘法(逐商相乘法)求解。an例:已知数列 an满足a1 2 , a_n_a求a3 n 13n 1,例：已知 a1 3 an 1 an (n 1),求 an。3n 2类型3 an 1 pan q (其中p, q均为常数，(pq(p 1) 0)。例:已知数列 an中，a11 , an 1 2an 3,求an.变式：递推式：an 1panf n。解法：只需构造数列bn ,消去f n带来的差异.类型 4an 1pan qn (其中 p , q 均为常数，(pq( p 1)(q 1) 0)n(an 1 pan rq，其中p, q, r均为常数)。例:已知数列 an 中，&am

6、p; 5 , an 1 1an (1)n1,求 an。632类型5递推公式为 an 2 pan 1 qan (其中p, q均为常数)。解法一(待定系数一一迭加法)激列 an ： 3an 2 5an 1 2an 0(n Qn N),a1a,a2b,求数列 an的通项公式解法二(特征根法)数列 an ： 3an 2 5an 1 2an 0(n0,n N) , a1a, a2b的特征方程是：3x2 5x 2 0Xi 1, X2 一3a A Bb A 2B 3例:已知数列 an中,anAx1n 1 Bx2n 1 A B (2)n 1。又由 a133b3(a2ab)故an2 n 13b 2a 3(a b)(-)321/-an1-an，求an。33a,a2类型6递推公式为Sn与an的关系式Snf(an)解法：这种类型一般利用anSiSnSni("1)与(n 2)例：已知数列 an前n项和Sn 4 an.(i)求an 1与an的关系；(2)求通项公式an.类型 7 an 1pan an b (p 1、0, a 0)解法：这种类型一般利用待定系数法构造等比数列，即令an 1 x(n 1) y p(anxn y),与已知递推式比较，解出x