第8节 常系数非齐次线性微分方程

1、1常系数非齐次线性微分方程7.8型一、)()(xPexfmx型二、sin)(cos)()(2)n)1(xxPxxPexflx2)(xfyqypy qp ,(为常数 )通解为Yy *y非齐次方程特解 二阶常系数线性非齐次微分方程的标准形式二阶常系数线性非齐次微分方程的标准形式 解法解法 回顾回顾: : 第六节非齐次线性微分方程解的结构第六节非齐次线性微分方程解的结构( (定理定理3) 3) 借助于第七节内容解决难点问题！3 求特解的方法求特解的方法 根据 f (x) 的特殊形式 , 给出特解*y的待定形式 ,代入原方程比较两端表达式以确定待定系数 .)(xfyqypy qp ,(为常数 )型一、

2、)()(xPexfmx本节主要讨论以下两种类型的微分方程本节主要讨论以下两种类型的微分方程 型二、sin)(cos)()()2()1(xxPxxPexfnlx4( ).*( )xye Q xQ x设特解为，其中，为待定多项式( *)( )( )xyeQ xQ x则2( *)( )2( )( )xyeQ xQ xQx2( )(2)( )(*() ( )()mQxp Q xpq Q xPx( )( )xmf xePx一、型)(次多项式为为实数，mxPm* ( *)( *)yyy将，代入方程，整理得：( )xmypyqyeP x5从而得到特解形式为*( )xmye Qx( )Q xm则必须为次的待定

3、系数多项式20.pq不是特征方程的根，即，( () )1011( ).mmmmmQxb xb xbxb011.(*)mmbbbbx确定出 代入式，比较等式两端 同次 ， ， ，幂，的系数2( )(2)( )(*() ( )()mQ xp Q xpq Q xP x6. 0202pqp且即，.)(次多项式必须是一个待定系数的则mxQ*( ).xmyxQx e此时，特解可设为. 0202pqp且即，2*.( )xmyx Qx e此时，特解可设为是特征方程的单根( () )是特征方程的重根( () ).)(次多项式必须是一个待定系数的则mxQ 7此结论可推广到高阶常系数线性非齐次微分方程！此结论可推广

4、到高阶常系数线性非齐次微分方程！*( )(0,1,2)kxmyx Qxkek当 是特征方程的 重根时，可设非齐次方程的特解为 小结( )xmypyqyeP x02qrpr特征方程：8.13321的一个特解求方程例 xyyy解解: 特征方程0322 rr01*.yb xb设所求特解为01033231b xbbx代入方程得：00133231bbb比较系数得01113bb ，于是所求特解为1*.3yx 0.不是特故征方程的根，. 092256.xyyyxe例求方程的通解解解:2560rr特征方程：，2312xxYC eC e故，对应齐次方程的通解：201*()xyx b xb e设非齐次方程特解为：

5、0012120bbb01112bb ，21*(1).2xyxxe故，特解：1223rr特，征根：01022b xbbx代入方程整理得：2322121().2xxxyC eC exx e因此，所求通解为：. 210.) 1(9633的一个特解求方程例xexyyy :解特征方程0962 rr特征根 321 rr设方程特解 xebaxxy32*)(代入方程比较系数得1162ab，xexxy32*)2161(11321 (0)(0)4(0)0yyyyyy例求解初值问题解解: 特征方程 ,02323rrr设非齐次方程特解为*y代入方程得12b.21*xy 故，0321CCC21322CC,2,1,032

6、1rrr故对应齐次方程通解1CY xeC2xeC23原方程通解x21xxeCeCCy2321由初始条件得0432CC. 0本题,xb 特征根12于是所求解为xeeyxx2141432原方程通解为解得)423(412xxeexx211Cy xeC2xeC2341 143321CCC13.54352的特解形式写出例 xxyy练习练习.)3(262通解形式写出例xexxyy )(*cbxaxxy2xxecbxaxeCCy)(222114解：设解：设 的特解为的特解为2644xyyy *1yxeyyy2844 设设 的特解为的特解为*2y*2y *1*yy 则所求特解为则所求特解为0442 rr特征根

7、特征根22, 1 rCBxAxy 2*1xeDxy22*2 （重根）（重根）*2y *1*yy CBxAx 2.22xeDx .8644722的待定特解的形式写出例xexyyy 15(1)(2)*( )cos( )sin kxmmyx eRxxRxx0,1kik为特征方程的 重复根()(1)(2)( )( )max,.mmRxRxmmn l其中，与是次多项式，上述结论也可推广到高阶微分方程的情形 .(1)(2)( )cos( )sinxlnypyqyePxxPxx(1)(2)( )( )cos( )sinxlnf xePxx Pxx二、型，如xxxf2cos) 1()(2xexfx3sin)(

8、5 结论 方程的特解可设为16.2cos8的一个特解求方程例xxyy 解解:特征方程. 2,0 xdxcxbxay2sin)(2cos)(*不是特征方程的根ii2代入方程得012r,)()1(xxPl,0)()2(xPn1m设特解为特征根irxxxadxcxcbxa2cos2sin)433(2cos)433(比较系数 , 得0 94,31cbda于是求得一个特解13 a043cb03 c043ad.2sin942cos31*xxxy17.3sin303cos1899的通解求方程例xxyy 解解: 特征方程,092r其根为对应齐次方程的通解xCxCY3sin3cos21)3sin3cos(*xb

9、xaxy比较系数 , 得,5a,3b因此特解为)3sin33cos5(*xxxyir32, 1代入方程得xaxb3sin63cos6所求通解为xCxCy3sin3cos21由于 为特征方程的单根 ,因此设非齐次方程特解为i30)3sin33cos5(xxxxx3sin303cos1818例例10. 设出下列高阶常系数线性非齐次方程的特解形式xyyysin2) 1 ()4( 解解: (1) 特征方程,01224rr即,0)1(22r有二重根, ir所以设非齐次方程特解为(*2xy )sincosxbxa(2) 特征方程,024 rr即0)1(22rr有根,04,32, 1irrxexyyxsin3)2()4( 利用叠加原理 , 可设非齐次方程特解为)(*2baxxyxec)sincos(xkxdx19思考与练习思考与练习1. 求方程xaeyyy 44的通解 .提示提示:0442rr221 rr对应齐次方程通解xexCCY221)(1) 当2a时,设特解xaeAy 2) 当2a时, 设特解xaexBy2答案答案: 原方程的通解为y2a,)2(1)(2221xaxeaexCC2a,)21(2221xexxCC202 . (填空填空)