第6章定积分的应用

1、1第六章第六章 定积分的应用定积分的应用2第一节第一节 定积分的元素法定积分的元素法ab xyo)(xfy iinixfA )(lim10 分析分析 xxfAd)(lim.d)( baxxfxdxx Ad面积元素面积元素回顾回顾 曲边梯形求面积的问题曲边梯形求面积的问题曲边梯形由连续曲线曲边梯形由连续曲线)(xfy )0)( xf、x 轴与轴与两条直线两条直线ax 、bx 所围成。所围成。 若若 用用A 表表示示典典 型型小小区区间间,xxx 上上的的窄窄曲曲边边梯梯形形的的面面积积，则则xxfAAd)(d , , 3设设U U是可用定积分表达的量，则计算量是可用定积分表达的量，则计算量U U

2、的步骤为：的步骤为：定积分的元素法定积分的元素法 选择函数选择函数 f (x) ,并确定自变量并确定自变量 x 的变化区间的变化区间a, b; 在在a, b内考虑典型小区间内考虑典型小区间x, x+dx, 求出相应于这求出相应于这个小区间的部分量个小区间的部分量U的近似值的近似值 f(x)dx, 记为记为 计算计算.d)( baxxfU应用方向：应用方向： 平面图形的面积、立体的体积、平面曲线的平面图形的面积、立体的体积、平面曲线的弧长；功、水压力、引力和平均值等弧长；功、水压力、引力和平均值等.d)(dxxfU 4第二节第二节 定积分在几何学上的应用定积分在几何学上的应用一、平面图形的面积一

3、、平面图形的面积,d)(dxxfA 1.1.直角坐标情形直角坐标情形面积元素面积元素:(1) 由连续曲线由连续曲线 y = f (x), 直线直线 x=a, x=b (ab)及及x轴轴所围成的平面图形的面积所围成的平面图形的面积)(xfy byoxaxxx baxxfAd)(面积面积5若若f (x)有正有负有正有负,则曲边梯形面积为则曲边梯形面积为.d)( baxxfA)(xfy )(xfy xyoab6 (2) 由连续曲线由连续曲线 y=f(x), y=g(x), 直线直线 x=a, x=b (ab)所围成的平面图形的面积所围成的平面图形的面积cxxx xyoab)(xfy )(xgy ba

4、xxgxfAd)()(,d)()(dxxgxfA 面积元素面积元素:7特别，特别， 时时,)()(xgxf xyoab)(xfy )(xgy baxxgxfAd)()(xxx ,d)()(dxxgxfA 面积元素面积元素:8 dcyyAd)( ( (3 3) ) 由由曲曲线线)(yx 、直直线线)(,dcdycy 及及y轴轴 dcxyo)(yx 围成的平面图形的面积为围成的平面图形的面积为 ,0)(时时若若特特别别， y .d)( dcyyA )(yx xyodc9 dcyyyAd)()( ( (4 4) ) 由由曲曲线线)(yx 、)(yx 直直线线)(,dcdycy 及及y轴轴围成的平面图

5、形的面积为围成的平面图形的面积为 ,)()(时时若若特特别别，yy .d)()( dcyyyA dcxyo)(yx )(yx dcxyo)(yx )(yx 10计算由两条抛物线计算由两条抛物线xy 2和和2xy 所围成的所围成的图形的面积图形的面积. 解解先求两曲线的交点先求两曲线的交点)1 , 1()0 , 0(面积元素面积元素，xxxAd)(d2 选选x为积分变量为积分变量,1 , 0 xxxxAd)(210 103)332(23xx .31 2xy 2yx 例例1 1 1122xy 211xy 例例2 2 求求曲曲线线22xy , ,211xy 与与直直线线3 x所所 围成的平面图形的面

6、积围成的平面图形的面积. . xoy33 1 1解解 由对称性由对称性, 1022d)211(2xxxA.3233 交点交点,1 x 3122d)112(2xxx12计计算算由由曲曲线线xy22 和和直直线线4 xy所所围围成成的的图图形形的的面面积积. 解解两曲线的交点两曲线的交点).4 , 8(),2, 2( 422xyxyxy22 4 xy 20d)2(2xxxA例例3 3 .18 82d)4(2xxx13此题选此题选y为积分变量比较好为积分变量比较好, 422d)24(yyyA.18 20d)2(2xxxA 82d)4(2xxx选择积分变量的原则：选择积分变量的原则： (1)(1)积分

7、容易；积分容易；(2)(2)尽量少分块尽量少分块. . 14有时需要把边界函数有时需要把边界函数参数化参数化.由由参参数数曲曲线线 )()(tyytxx, , t及及直直线线 ax , ,bx 和和x轴轴围围成成的的平平面面图图形形面面积积为为： ；则则 ttxtyAd)()(，若若0 x.d)()( ttxtyA则则，若若0 x15求求椭椭圆圆12222 byax的的面面积积. 解解椭圆的参数方程椭圆的参数方程 tbytaxsincos由对称性知总面积等于第一象限部分面积的由对称性知总面积等于第一象限部分面积的4倍倍, axyA0d4 02)cos(dsin4 tatbttabdsin420

8、2 .ab 例例4 4 16 的奇数的奇数为大于为大于为正偶数为正偶数1 , 3254231 , 22143231dsin20nnnnnnnnnnxxn 求求星星形形线线 taytax33sincos围围成成的的面面积积. . 解解例例5 5 345345页页 2/023dsincos3sin4 tttataA 2/0242d)sin1(sin12 ttta)221436522143(122 a.832a 17 设由曲线设由曲线 )( r及射及射线线 、 围成一曲边扇围成一曲边扇形，求其面积这里，形，求其面积这里，)( 在在, 上连续，且上连续，且0)( xo d d 面积元素面积元素， d)

9、(21d2 A曲边扇形的面积曲边扇形的面积.d)(212 A2.2.极坐标情形极坐标情形)( r扇形面积公式扇形面积公式 ， 221RA 18求求阿阿基基米米德德螺螺线线 ar )0( a第第一一圈圈2 , 0 与与极极轴轴所所围围图图形形的的面面积积. . 解解例例6 6 202d)(21aA.3432 a 求求心心脏脏线线)cos1( ar所所围围面面积积. . 解解例例7 7 022d)cos1(212aA.232a 19求求双双纽纽线线 2cos22a 所所围围平平面面图图形形的的面面积积. ，14AA 2cos22a 1A解解例例8 8 4/02d2cos214 aA.2a 20 旋

10、转体旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做直线旋转一周而成的立体这直线叫做旋转轴旋转轴圆柱圆柱圆锥圆锥圆台圆台二、体积二、体积1. 1. 旋转体的体积旋转体的体积21一般地一般地, 如果旋转体是由连续曲线如果旋转体是由连续曲线)(xfy 、直线直线ax 、bx 及及 x 轴所围成的曲边梯形绕轴所围成的曲边梯形绕 x轴旋转一周而成的立体，体积为多少？轴旋转一周而成的立体，体积为多少？ abox y)(xfy xxxd 2)()(xfxA 体积元素体积元素:xxfVd)(d2 旋转体的体积为旋转体的体积为 baxxfVd)(2 22连

11、接坐标原点连接坐标原点 O 及点及点),(rhP的直线、直线的直线、直线hx 及及x轴围成一个直角三角形 将它绕轴围成一个直角三角形 将它绕x轴轴旋转构成一个底半径为旋转构成一个底半径为r、高为、高为h的圆锥体，的圆锥体，计算圆锥体的体积计算圆锥体的体积 xhry yrhPxo直线直线OP的方程为的方程为解解例例1 1 hxxhrV02d)( .32hr 23求求椭椭圆圆12222 byax绕绕x轴轴旋旋转转而而成成的的旋旋转转体体( (称称旋旋转转椭椭球球体体) )体体积积. . 例例2 2 x yOab22xaaby 解解 axaxbV0222d)1(2 .342ab 特特别别, ,ba

12、时时, ,得得到到球球体体的的体体积积为为334R . . 24求求圆圆)0( )(222 ababyx绕绕x轴轴旋旋转转而而成成的的旋旋转转体体体体积积. 例例3 3 解解 aaxxabVd)(222 axxab022d8 .222ba aaxxabd)(222 xy利用圆面积利用圆面积25 类似地类似地, 如果旋转体是由连续曲线如果旋转体是由连续曲线 )(yx 、直线直线cy 、dy 及及y轴所围成的曲边梯形绕轴所围成的曲边梯形绕y轴轴旋转一周而成的立体，体积为旋转一周而成的立体，体积为 xyo)(yx cd bayyVd)(2 26求由抛物线求由抛物线22xy , ,直线直线1 x及及x

13、轴所轴所围图形围图形, ,绕绕x轴及轴及y轴旋转而成的旋转体的体积轴旋转而成的旋转体的体积. . 例例4 4 解解 1022d)2(xxVx .54 202d221yyVy . 下面再补充介绍一个方法下面再补充介绍一个方法.27由由平平面面图图形形)(0,0 xfybxa 绕绕y轴轴旋旋转转而而成成的的旋旋转转体体的的体体积积为为 bayxxxfVd)(2 .d22102 xxxVy上例上例:套套筒筒法法28求求由由摆摆线线 )cos1()sin(tayttax一一拱拱)20( t绕绕x轴轴及及y轴轴旋旋转转而而成成的的旋旋转转体体体体积积. . 解解 axxxyV 202d)(.532a a

14、 2a )(xy例例5 5 绕绕 x 轴旋转的旋转体体积轴旋转的旋转体体积 2022d)cos1()cos1(ttata 2033d)cos1(tta 2063d2sin8tta 2063dsin32 xxa2214365323 a29yyxyyxVaayd)(d)(22022012 oyxa 2ABCa2)(2yxx )(1yxx 0222dsin)sin()(ttatta 2023dsin)sin(tttta.633a 绕绕 y 轴旋转的旋转体体积轴旋转的旋转体体积: :可看作平面图可看作平面图OABC与与OBC分别绕分别绕 y 轴旋转构成旋转体轴旋转构成旋转体的体积之差的体积之差. 最最

15、高高点点对对应应 t, , 30oyxa 2ABCa2)(2yxx )(1yxx 绕绕 y 轴旋转的旋转体体积轴旋转的旋转体体积: :可看作平面图可看作平面图OABC与与OBC分别绕分别绕 y 轴旋转构成旋转体轴旋转构成旋转体的体积之差的体积之差. 或用或用“套筒套筒法法”: ayxxyV 20d2 20d)cos1()cos1()sin(2ttatatta 2023d)cos1)(sin(2xttta.633a 31.d)( baxxAV2. 2. 平行截面面积为已知的立体的体积平行截面面积为已知的立体的体积一一个个立立体体, ,夹夹在在平平面面ax 和和bx 之之间间, ,被被垂垂直直于于

16、x轴轴的的平平面面所所截截的的截截面面积积为为)(xA, ,则则该该立立体体的的体体积积为为 xx x+dxA(x)ab32一平面经过半径为一平面经过半径为 R 的圆柱体的底圆中的圆柱体的底圆中心心, 并与底面交成角并与底面交成角 ,计算这平面截圆柱体所计算这平面截圆柱体所得立体的体积得立体的体积. RR xyo解解 建立坐标系如图建立坐标系如图,x截面面积截面面积,tan)(21)(22 xRxA 所以立体体积所以立体体积xxRVRRdtan)(2122 .tan323 R 例例6 6 垂直于垂直于 x 轴的截面为直角轴的截面为直角三角形三角形, , 33xoy0MA nMB 1M2M1 n

17、M设设A、B是是曲曲线线弧弧上上的的两两个个端端点点，在在弧弧上上插插入入分分点点BMMMMMAnni ,110三、平面曲线弧长三、平面曲线弧长，记记iiniMM11max ，存存在在若若 niiiMM110lim 并依次连接相邻分点得一内接折线，并依次连接相邻分点得一内接折线， 则称此极限为曲线弧则称此极限为曲线弧AB的的弧长弧长. 此时称弧为此时称弧为可求可求长的长的.34若若曲曲线线段段l的的方方程程是是)(xfy , ,bxa , ,且且)(xf 连连续续, ,则则弧弧长长为为 设设曲曲线线段段l的的方方程程为为)(),(tyytxx , , t, ,并并设设)(),(tytx 连连续

18、续, ,则则l是是可可求求长长的的, ,且且弧弧长长为为 定理定理( (弧长公式弧长公式) ) .d)()(22 ttytxs证证在第三章在第三章“导数的应用导数的应用”中弧微分一节中弧微分一节知知, , ，tyxyxsttd)(d)d(d2222 即得证即得证. . 推论推论1 1 .d)(12 baxxfs35若若曲曲线线段段l的的方方程程是是极极坐坐标标形形式式)( , , , ,且且)( 连连续续可可导导, ,则则弧弧长长为为 ， ttytxsd)()(22.d)(12 baxxfs推论推论2 2 .d22 s证证， sincosyx， sincosdd x， cossindd y.)

19、dd()dd( 2222 yx36解解例例1 1 计计算算悬悬链链线线cxcych 介介于于,bb 的的一一段段弧弧的的弧弧长长. . ，cxysh ，cxcxychsh1122 bbxcxsdchbcxc0sh2 .sh2cbc 37例例2 2 求求2xy 在在10 x的的一一段段弧弧长长. . 解解 ， 102d41xxs，令令txtan2 2arctan02dsec21sec ttts则则. )25ln(21 例例3 3 求求星星形形线线)20( sincos33 ttaytax的的周周长长. . 解解 2/022d4 tyxs 2/0dcossin34 ttta 2/0)ind(sin

20、12 tsta.6)(sin62/02ata 38例例4 4 解解 求求阿阿基基米米德德螺螺线线 a 第第一一圈圈)20( 的弧长的弧长. . 2022ds 20222daa 202d1a.)412ln(412222 a39练习：练习：P279 习题习题6-21. 2.(1)(3) 3. 5.(1)(2) 6. 7. 8.(1)12. 13. 14. 15.(1)(3) 18. 20.22. 26. 28. 30.40 将弹簧一端固定将弹簧一端固定, ,另一端从平衡位置拉长另一端从平衡位置拉长s, ,问克服弹性需做多少功？问克服弹性需做多少功？ 第三节第三节 定积分在物理学上的应用定积分在物理

21、学上的应用如如果果是是恒恒力力, ,则则sfW ; ; 如果是变力如果是变力, , ，xxfWd)(d .d)( baxxfW例例1 1 解解 弹弹力力kxf , , 拉拉力力kxxg )(, , ，xkxWdd .21d 02 sksxkxW势能势能一、变力沿直线所作的功一、变力沿直线所作的功41例例2 2 两物体之间的万有引力为两物体之间的万有引力为 ，221rmmGF 地球对地表外物体的引力为地球对地表外物体的引力为 ，2rMmGf 当物体在地球表面时当物体在地球表面时, , ，mgRMmG 2，MgRG2 把物体从把物体从A A点提升到点提升到B B点点, ,需克服引力做功需克服引力做

22、功 BARRrrMmGWd2)11(BARRGMm . )11(2BARRmgR 42. )11(2BARRmgRW 如果要求物体飞离地球引力范围如果要求物体飞离地球引力范围, , 取取，RRA ， BR，则则mgRW 发射时物体的动能为发射时物体的动能为 2021mv，mgR gRv2 . )km/s(2 .11 称为第二宇宙速度称为第二宇宙速度. . 43 一圆柱形蓄水池高为一圆柱形蓄水池高为5米米, 底半径为底半径为3米米, ,池池内盛满了水内盛满了水. 问要把池内的水全部吸出问要把池内的水全部吸出, , 需作多需作多少功？少功？ 建立坐标系如图建立坐标系如图,xoxxx d 5解解例例

23、3 3 ，xxWd3d2 . )/(8 . 93mkN 其中其中 50d9xxW 259 .)kJ(3462 功元素功元素注：若水不装满注：若水不装满, ,如何求？如何求？ 44一个横放着的圆柱形水桶一个横放着的圆柱形水桶, 桶内盛有半桶水桶内盛有半桶水, 设设桶的底半径为桶的底半径为R，水的比重为，水的比重为 ,计算桶的一端面计算桶的一端面上所受的压力上所受的压力 二、水压力二、水压力压压强强hp , ,压压力力pSF . . 例例4 4 解解 在端面建立坐标系如图在端面建立坐标系如图,xoxxxd 压力元素压力元素xxRxPd2d22 端面上所受的压力为端面上所受的压力为 xxRxPRd2

24、220 .323R 45 水库的闸门是等腰梯形水库的闸门是等腰梯形, ,上底上底6 6米米, ,下底下底4 4米米, ,高高1010米米, ,水面与上底齐平水面与上底齐平, ,求闸门所承受的压力求闸门所承受的压力. . 例例5 5 解解6m4mx01mxx 10建立坐标系如图建立坐标系如图,细长条长度细长条长度压力元素压力元素，56x ，xxxFd)56(d 100d)56(xxxF )151000300(8 . 9 . )ton(233.3or )kN(2287 46质质量量为为21,mm、距距离离为为 r的的两两个个质质点点之之间间的的引引力力大大小小为为 三、引力三、引力，221rmmG

25、F 其其中中 G为为引引力力系系数数, 引引力力的的方方向向沿沿着着两两质质点点的的连连线线方方向向 设有一长度为设有一长度为l、线密度为线密度为的均匀细直棒的均匀细直棒, ,在在其中垂直线上距棒其中垂直线上距棒a处有一质量为处有一质量为m的质点的质点M. . 求该求该棒对质点的引力棒对质点的引力. . 例例6 6 解解建立坐标系如图建立坐标系如图,2l2l xyoMaryyyd ,22yar ,d22yaymGF 472l2l xyoMarydyy ，yyaamGFxd)(d2/322 2/2/2/322d)( llxyyaamGF .41222laalGm ,d22yaymGF 水平方向的

26、分力元素水平方向的分力元素由对称性知，引力在铅直方向分力为由对称性知，引力在铅直方向分力为.0 yF48练习：练习：P287 习题习题6-33. 5. 第第n次呢次呢? 6. 8. 9. 11. 12.49习题课习题课50为为旋转而成的旋转体体积旋转而成的旋转体体积所围平面图形绕直线所围平面图形绕直线及及则曲线则曲线为常数为常数且且续续上连上连在在设设mybxaxxgyxfymmxfxgbaxgxf ,),(),(),()()(,)(),( 例例1 1 解解xxfmxxgmVd)(d)(d22 体积元素为体积元素为y=f(x)y=g(x)abxx+dxy=mxyo所以所求旋转体体积为所以所求旋

27、转体体积为 baxxfmxgmVd)()(22 .d)()()()(2 baxxgxfxgxfm 51求求由由622 xy与与xy 32 作作草草图图如如下下: : .16d)321()3(2222 yyyA例例2 2 解解所围成的图形的面积所围成的图形的面积. 关于关于y积分较方便，积分较方便，52求求由由xyx222 ,xyx422 和和直直线线xy ,0 y 所所围围成成的的图图形形的的面面积积. 作草图如下作草图如下,化为极坐标计算化为极坐标计算,例例3 3 解解 d)cos2()cos4(212402 A dcos6402 .2343 ,cos2222 rxyx,cos4422 rx

28、yx53求求抛抛物物线线12 xy在在) 1 ,0(内内的的一一条条切切线线,使使它它与与两两坐坐标标轴轴和和抛抛物物线线12 xy所所围围图图形形的的面面积积最最小小. 设设切切点点为为),(00yx, 由于曲线由于曲线21xy 下的曲边梯形的面积是一个固定值下的曲边梯形的面积是一个固定值， 即即 12200 xxxy， 所以所以,)10( ,4)1(00220 xxxAOB 例例4 4 解解则则切切线线方方程程为为 )(2)1 (0020 xxxxy ， 54在在 ( 0 , 1 ) 内内 , 31 x 为为唯唯一一驻驻点点 . 即即310 x时时, 所求面积最小所求面积最小. 故故所所求

29、求切切线线为为 : 3432 xy . ，令令xxy22)1( ，则则222)1)(13(xxxy 导数左负右正，故为极小值点，导数左负右正，故为极小值点，又由又由唯一性知是最小值点，唯一性知是最小值点，55a aoyx求星形线求星形线323232ayx )0( a绕绕x轴旋转轴旋转 构成旋转体的体积构成旋转体的体积. ,323232xay ，332322 xay,aax xxaVaad33232 .105323a 例例5 5 解法解法1 1旋转体的体积旋转体的体积为为用用直角坐标，直角坐标，56.105323a ， taytax33sincos 02/2d2 xyV 2/0262dsinco

30、s3sin2 tttata 2/0273d)sin1(sin6 tttaa aoyx求星形线求星形线323232ayx )0( a绕绕x轴旋转轴旋转 构成旋转体的体积构成旋转体的体积. 例例6 6 解法解法2 2 参数化，参数化，57求求由由曲曲线线24xy 及及0 y所所围围成成的的图图形形绕绕直直线线3 x旋旋转转构构成成旋旋转转体体的的体体积积. 取取积积分分变变量量为为y,4 , 0 y体积元素为体积元素为2)43(dyV ,d412yy yyVd41240 .64 3yd例例7 7 解解yyd)43(2 58 求求由由曲曲线线)2)(1( xxy和和x轴轴所所围围平平面面图图形形绕绕

31、y轴轴旋旋转转一一周周而而成成的的旋旋转转体体体体积积. . 由由平平面面图图形形)(0 ,0 xfybxa 绕绕y轴轴旋旋转转而而成成的的旋旋转转体体的的体体积积为为 若若平平面面图图形形为为,0bxa 例例8 8 解解(91(91六六9)9) 用用“套筒套筒法法”： ； bayxxxfVd)(2 .d)(2 bayxxxfV 本题：本题：.2d)2)(1(221 xxxxVy0)( yxf，则则 59.d332的的全全长长求求曲曲线线ttyx ，的的定定义义域域为为33)( xxy解解,3)( 2xxy 332d1xys全长全长ttdcos42302 .334 tt d)2cos1(430 ,4122xy 例例9 9 302d42xx 332d4xx60求心脏线求心脏线 r = a (1+cos ) 的全长的全长.心脏线全长对应心脏线全长对应222222)cos1(sin aarr d2022 rrs， 20 ，2cos422 a d2cos220 a d2cos40 a.8a 例例1010 解解61 用铁锤把钉子钉入木板，设木板对铁钉的阻用铁锤把钉子钉入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板的深度成正比，铁锤在第一次锤力与铁钉进入木板