同济大学第六版高数第3章第二节ppt课件

1、00 定义定义时时，如如果果当当 ax 函数函数 f (x)、 F (x)都趋于零都趋于零00)()(lim为为称称极极限限xFxfax)( x)( x例如例如,tanlim0 xxx,sinlnsinlnlim0bxaxx )00()( 或都趋于无穷大，或都趋于无穷大， 或或型未定式。型未定式。;)()(,)1(都都趋趋于于零零及及函函数数时时当当设设xFxfax 洛必达法则洛必达法则1：);()()(lim)3(或或为为无无穷穷大大存存在在xFxfax ; 0)()()(,)2( xFxFxfa都都存存在在且且及及点点的的某某去去心心邻邻域域内内在在.)()(lim)()(limxFxfx

2、Fxfaxax 那么那么证证 设设, 0),()(1 axaxxfxf, 0),()(1 axaxxFxFa ax,),(0 xaU内内任任取取一一点点在在 ,为端点的区间上为端点的区间上与与在以在以xa, )(),(11件件满足柯西中值定理的条满足柯西中值定理的条xFxf则有则有)()()()(1111aFxFafxf )()(11 Ff)(之间之间与与在在ax ,aax 时时当当,)()(limAxFxfax ,)()(limAFfa .)()(lim)()(limAFfxFxfaax )()(xFxf)()( Ff例例1 1解解.tanlim)1(0 xxx求求)()(tanlim)1(

3、0 xxx原原式式1seclim20 xx . 1 xeexxxsinlim)2(0 )(sin)(lim)2(1 xeexxx原式原式=2xeexxxcoslim1 30sinlim)3(xxxx )()sin(lim)3(30 xxxx原原式式203cos1limxxx 61 ;)()(,)1(都都趋趋于于零零及及函函数数时时当当设设xFxfax 洛必达法则洛必达法则1：);()()(lim)3(或或为为无无穷穷大大存存在在xFxfax ; 0)()()(,)2( xFxFxfa都都存存在在且且及及点点的的某某去去心心邻邻域域内内在在.)()(lim)()(limxFxfxFxfaxax

4、那么那么都是无穷大都是无穷大洛必达法则洛必达法则2：例例2 2解解.sinlnsinlnlim)1(0bxaxx lim0 x.3tantanlim)2(2xxx axaxsin)(sin )sin(ln)sin(lnlim)1(0 bxaxx原式原式axbxbbxaxaxsincossincoslim0 bxbxsin)(sin axaxbbxbxax coscoslim0axbxxcoscoslim0 . 1 xxx3sec3seclim222 xxx222cos3coslim31 xxxxxsincos23sin3cos6lim312 xxx2sin6sinlim2 . 3 xxx3ta

5、ntanlim)2(2 )3(tan)(tanlim2 xxx0)( lnlim 3 xxx求求极极限限例例11lim lnlim xxxxxx解：解： xx1lim=01)0,( lim 4 aaxxx求求极极限限例例0 解解：因因为为kkk 1, 使使必必存存在在自自然然数数aaxaxxxxxlnlim lim1 aaxxx22ln)1(lim aaxkkxkx1ln)1()1(lim =0, 时时 x的高阶无穷大，的高阶无穷大，是是xxln .的高阶无穷大的高阶无穷大是是 xax)1, 0( a练习题练习题xxxxxx20sincossinlim)2( 4sin1tanlim)1(:4x

6、xx 求求极极限限xxxxxtantanlim)4(20 lnsinlnlim)3(0 xxx 21 30cossinlim)2(xxxxx 原式原式203)sin(coscoslimxxxxxx xxx3sinlim0 31 31130tanlim)4(xxxx 原式原式22031seclimxxx .31 2203tanlimxxx xxxxx22sin2sinlim)5( 型型或或检检验验是是否否为为使使用用洛洛必必达达法法则则，必必须须注注意意： 00 )1(不存在不存在不存在时，不能断言不存在时，不能断言当当)()(lim )()(lim)2(xgxfxgxf 型型 0. 1步骤步骤

7、:,10 .0100 或或)0( 例例5 5).arctan2(limxxx 解解22111limxxx 221limxxx . 1 xxx1arctan2lim)1( 例例6 6解解).1sin1(lim0 xxx 求求)( 0101 .0000 xxxxxsinsinlim0 原原式式20sinlimxxxx . 0 型型 . 2步骤步骤:xxx2cos1lim0 xxx221lim20 步骤步骤:型型00,1 ,0. 3 .0 取对数取对数例例7 7解解.lim0 xxx 求求)0(0 xxxeln0lim 原式原式xxxelnlim0 2011limxxxe 0e . 1 xxxe1l

8、nlim0 例例8 8.)(sinlimtan2xxx 求求)1( 解解.)(sin tan xxy 设设xxysinlntanln 则则xxyxxsinlntanlimlnlim 22 xxxcotsinlnlim2 lim2 xxxsincosx2csc xxxsincoslim2 0 xxxtan2)(sinlim yxeln2lim 02limex 1 例例9 9)0, 0, 0( )3(lim10 cbacbaxxxxx求求解解xxxxcbay1)3( 设设3ln1lnxxxcbaxy 设设xcbaxxx33ln)ln( 00limlnlim xxyxcbaxxx33ln)ln( )(3)(lim0 xxxxxxxcbacba )(3lnlnlnlim0 xxxxxxxcbaccbbaa abcln31 xxxxxcba10)3(lim yxeln0lim 3abc 例例1010解解.)(cotlimln10 xxx 求求)(0 ,)(cot)ln(cotln1ln1xxxex 取对数得取对数得)ln(cotln1lim0 xxx xxxx1sin1cot1lim20 xxxxsincoslim0 , 1 .1 e原