两角和与差的三角函数

1、 第四讲两角和与差的三角函数第四讲两角和与差的三角函数1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式.3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式.4.熟悉公式的正用、逆用、变形应用.1.若cos（）,cos（）,则tntn的值为()A.B.C.D.1535151213115选A.因为cos（）coscossinsin,cos（）coscossinsin,3得2coscos4sinsin，即tntn.1535122.已知，sin,则tn等于()A.B.7C.D.7,23541717选A.因为，sin,所以cos,所以tn.所以.,

2、235453431tan114tan()341tan714a 3.的值为()A. 0B.C.2D.sin3cos121222选B.13sin3cos2sincos12122122122sin2sin21234 两角和与差的三角公式及其应用（2010四川卷）（1）证明两角和的余弦公式C（）：cos（）coscossinsin；由C（）推导两角和的正弦公式S（）：sin（）sincoscossin.（2）已知431cos,tan,5232 ,求cos( + )（1）证明：在平面直角坐标系xOy内作单位圆O，以Ox为始边作角，它们与单位圆O的交点分别为A，B.则OA（cos，sin），OB（cos，

3、sin）.所以OAOBcoscossinsin.设OA与OB的夹角为，由图（1）和（2）可知2k，所以cos（）cos，所以OAOBOAOBcoscoscos（），于是，对任意角，有cos（）coscossinsin.cos（）cos-（）coscos（）sinsin（）coscossinsin.所以cos（）coscossinsin.由易得，cossin,sincos ,22sin()cos2cos2coscossinsinsincoscossin22 故有sin（）sincos+cossin.（2）因为，cos,所以sin，因为，tn,所以3,24535,2133 1010cos,sin.

4、1010cos()coscossin43 103103 1051051010sona 熟练掌握两角和与差的三角公式是公式应用的基础.考纲要求会用向量数量积推导两角和的余弦公式，并由此得到其他公式.掌握公式的推证及公式之间的相互联系是公式记忆的有效方法.在应用公式时，要注意：(1)求三角函数值时，要明确变形目标和方向.(2)注意角的变换，如等.(3)利用同角关系求三角函数值时，要注意根据角的象限确定函数值的符号.(4)已知三角函数值求角时，要注意分析角的范围.,33a1.已知,cos（）,且0.（1）求tn的值；（2）求的值.1314231cos7（1）由,0,得,1cos722214 3sin

5、1 cos177 sin4 37tan4 3cos71所以,于是3133tantantantantan11353341334（2）由0,得0,又因为cos（）,所以,所以coscos（）coscos（）sinsin（）,因为0,所以.2213142133 3sin()1 cos ()114141134 33 31714714223公式的逆用与变用（1）化简：.（2）求值：tn20+tn40+tn20tn40.2sin6cos44xx3（1）原式132 2sincos24242 2 cossinsincos34342 2sin4372 2sin12xxxxxx(2)原式=tan(20+40)(1

6、-tan20tan40)+tan20tan40=(1-tan20tan40)+tan20tan40=-tan20tan40+tan20tan40=.3333333（1）辅助角公式实质是两角和的正弦公式的逆用，这一公式应用广泛，应熟练掌握.（2）两角和与差的正切公式联系了tntn与tntn，涉及tntn与tntn的有关问题，常常要对正切公式进行如下变用：tn+tntn（）（1tntn）.tantantan1tantan)sin(cossinxbaxbxa222.（1）要使有意义，则m的取值范围是.（2）在ABC中，已知A、B、C成等差数列，则的值为.1364cossin225mtan3tanta

7、n2222ACAC（1）填；（2）填.（1）因为，所以-11，所以.（2）因为A、B、C成等差数列，又ABC，所以AC,故,所以11144m364sin65m645m11144m23tantan3tantantan(1 tantan)3tantan22222222233tantan3tantan32222ACACA CACACACAC32CAtan公式的综合应用（2011广东卷）已知函数f(x）=，xR（1）求f( )的值；（2）设,求cos(+)的值6312xsin562313102320)(,)(,ff54本题主要同角关系、诱导公式及两角和与差的三角函数的求值，考查综合运用知识的能力及运算

8、求解能力.2.25cos()1 sin (),223 24 5sin()1 cos (),229 0.2 212330,141( )3 02.2 已已知知 、 是是的的内内角角 且且, ,求求（）35,cossin.513cos.ABABCABAB 解解：, ,3cos05A 21cos.2243由由, ,得得AA24sin1 cos.5AA 51sin,132B 5(, ),6若若B ,则则A B 1 1yxO0.50.5656222512cos1sin1().1313BB为锐B必必角角. .cos(coscossinsin）ABABAB3516124.513513655(0,)(, ).66B 【1】解解：, , 为为的的内内角角，4cos05BBABC由由，得得2cos1045 .2BB 2234sin1cos1( ).55BB31212sin,1,13213A 已已知知 , , 是是的的内内角角 且且, ,则则（）412,cossin.513cos()A BABCBAAB(60 ,90 )(90