参数的区间估计 ppt课件

1、 为了解估计值的精确度，需要对为了解估计值的精确度，需要对的取值估计的取值估计出一个范围；为了解其可靠性，需要知道这个范出一个范围；为了解其可靠性，需要知道这个范围包含参数围包含参数的真值的可靠程度。这样的范围通的真值的可靠程度。这样的范围通常以区间的形式给出，这就是所谓区间估计问题常以区间的形式给出，这就是所谓区间估计问题.设总体设总体X的概率密度为的概率密度为 ，),(xfX1,X2,Xn为为X 的样本，对于事先给定的的样本，对于事先给定的 (01)，若存在统计量若存在统计量),(21nXXX ，)X,X,X(n21 和和，P 1使得使得 ),(则称区间则称区间是参数是参数的置信度为的置信

2、度为1-的置信区间，的置信区间，和和分别称为置信度分别称为置信度为为1-的置信区间的置信下限和置信上限，的置信区间的置信下限和置信上限， 1-称为置称为置信度。信度。),(P 11.不要把不要把理解为理解为落在区间落在区间是统计量，即是统计量，即 是随机区间，而是随机区间，而是一个客观存是一个客观存),(在的未知数在的未知数. .所以确切的理解是随机区间所以确切的理解是随机区间 包含包含),(内的概率为内的概率为1-1-，这种理解不够确切，这种理解不够确切. .由于由于 和和 都都例如：例如： 对总体取对总体取100100个容量为个容量为n n 的样本观察值，可得到的样本观察值，可得到1001

3、00个个95. 0 P),(，其中平均有，其中平均有95%95%个包含了未知参个包含了未知参确定的区间确定的区间数数的真值，还有大约的真值，还有大约5%5%个不包含个不包含的真值的真值. .2.置信区间的长度反映了估计的精确度，置信区间长置信区间的长度反映了估计的精确度，置信区间长度越小，估计的精确度越高度越小，估计的精确度越高. 3.3.置信度置信度1 1反映了估计的可靠度，反映了估计的可靠度， 1 1 越大越越大越可靠可靠. .但是，若提高可靠度就会降低精确度，提高精但是，若提高可靠度就会降低精确度，提高精确度就会降低可靠度确度就会降低可靠度. . 先保证可靠度置信度先保证可靠度置信度1

4、1,再选置信区间中再选置信区间中长度最小的那个以提高精确度长度最小的那个以提高精确度. .1.明确问题，确定要求的是哪一个参数的置信区间，明确问题，确定要求的是哪一个参数的置信区间，置信度是多少置信度是多少.2. 构造一个有确定分布的样本的函数：构造一个有确定分布的样本的函数：它含有待估参数但不含其它未知参数它含有待估参数但不含其它未知参数.),(2XXXgnx4.对不等式对不等式bXXXgan ),(21作等价变形，作等价变形，),(3.根据随机变量的分布，对给定的置信度根据随机变量的分布，对给定的置信度1 ，定出常数定出常数 a , b ,使得使得bXXXgaPn 1),(21得到如下形式

5、得到如下形式: : 得置信区间：得置信区间：，P 11. 方差方差 2已知已知, 的置信度为的置信度为1-的置信区间是：的置信区间是：）（22znX,znX 推导：推导：N(0, 1)nXZ z|nX|P 12对给定的置信水平对给定的置信水平1 1 ，查正态分布表得，查正态分布表得 那么那么,z 2设总体设总体XN (, 2). X1 , X2 , , Xn是取自是取自X的样的样本，本，样本均值样本均值 样本方差样本方差S2S2，X(x)x-z/2z/21 znXznXP 122从而得从而得）（22znX,znX 于是得于是得 的置信区间为：的置信区间为：也可简记为：也可简记为：）（2znX

6、？为何要取为何要取2/z当置信区间为当置信区间为时，区间的长时，区间的长）（22,znXznX 度为度为 达到最短达到最短. .，22zn2. 方差方差 2未知未知, 的置信度为的置信度为1-的置信区间是：的置信区间是：）（nS)n(tX,nS)n(tX1122 )n( tnSXT1 推导：推导：ntnSXP 1)1(|/|2nS)n(tXnS)n(tXP 11122从而得：从而得：）（nSntXnSntX) 1(,) 1(22 于是得于是得 的置信区间为：的置信区间为：也可简记为：也可简记为：）（12 ntnSX对给定的置信水平对给定的置信水平1 1 ，查，查t t分布表得分布表得 那那么么

7、,nt）（12 3. 当当 已知时已知时, 方差方差 2 的置信度为的置信度为1的置信区间是的置信区间是 ），（)n()X()n()X(niinii211221222 标准差标准差 的置信度为的置信度为1-的置信区间是：的置信区间是：），（)n()X()n()X(niinii211221222 推导：推导：)n(Xnii2122 )n()X()n(Pnii 122122122由由)n()X()n()X(Pniinii 12112221222得得所以所以 2 2 的置信度为的置信度为1-1-的置信区间为：的置信区间为： ），（)()()()(211221222nXnXniinii 标准差标准差

8、的置信度为的置信度为1-的置信区间是：的置信区间是：），（)n()X()n()X(niinii211221222 ）（)n(S)n(,)n(S)n(11112122222 4. 当当 未知时未知时, 方差方差 2 的置信度为的置信度为1-的置信区间是的置信区间是 标准差标准差 的置信度为的置信度为1-的置信区间是的置信区间是）（)n(S)n(,)n(S)n(11112122222 )n(S)n(112222 )n(S)n()n(S)n(P 1111121222222得得推导：推导：1)1(1) 1(2222122nSnnP）（由所以，方差所以，方差 2 2 的置信度为的置信度为1-1-的置信区

9、间是：的置信区间是：）（)n(S)n(,)n(S)n(11112122222 标准差标准差 的置信度为的置信度为1-的置信区间是：的置信区间是：）（) 1() 1(,) 1() 1(2122222 nSnnSn例例1. 已知幼儿身高服从正态分布，现从已知幼儿身高服从正态分布，现从56岁岁的幼儿中随机地抽查了的幼儿中随机地抽查了9人，其高度分别为：人，其高度分别为：115, 120, 131, 115, 109, 115, 115, 105, 110cm;假假设标准差设标准差 =7，试求总体均值，试求总体均值 的置信度为的置信度为0.95的置信区间的置信区间.解：解： 已知时，已知时， 的置信度

10、为的置信度为0.95的置信区间是：的置信区间是：）（2znX ，05. 0, 9, 7 n又又，115 x由给定数据算得：由给定数据算得：96102502.zz. 计算：计算：）（22znx,znx ）（9/796. 1115,9/796. 1115 ）（57.119,43.110 所以，总体均值所以，总体均值 的置信度为的置信度为0.95的置信区间是：的置信区间是：）（57.119,43.110例例2.某工厂生产一批滚珠某工厂生产一批滚珠, 其直径其直径 X 服从正态分服从正态分布布解：解： N( 2), 现从某天的产品中随机抽取现从某天的产品中随机抽取 6 件件, 测得测得 (1)求求 的

11、置信区间；的置信区间； (2) 求方差求方差 2的置信区间的置信区间.（置信度均为（置信度均为0.95）直径为：直径为：15.1 , 14.8 , 15.2 , 14.9 , 14.6 , 15.1(1) 由于由于 2未知时未知时, 的置信度为的置信度为0.95的置信区间是：的置信区间是：）（nS)n(tX,nS)n(tX1122 )(t.50250 2258.0 s由给定数据算得：由给定数据算得：，95.14 x又查表得：又查表得：) 1(2 nt计算计算）（ns)n(tx,ns)n(tx1122 )1870.15,7130.14( ）（6/2258. 020570614095,6/2258

12、. 05706. 295.14 57062. )1870.15,7130.14(得得 的置信度为的置信度为0.950.95的置信区间为：的置信区间为：，831058331252097520250.)(,.)(. 查表得：查表得：05102.s （2方差方差 2的置信度为的置信度为0.95的置信区间为：的置信区间为：，）（)n(S)n(,)n(S)n(11112122222 又又)831. 0051. 05,833.12051. 05( ）（)n(s )n(,)n(s )n(11112122222 )3069. 0,0199. 0( 所以，方差所以，方差 2的置信度为的置信度为0.95的置信区间

13、是：的置信区间是：)3069. 0,0199. 0(1,21nXXX为取自总体为取自总体 N ( 1 12 ) 的样本的样本,2,21nYYY为取自总体为取自总体 N ( 2 22 ) 的样的样本本,2221,;,SYSX分别表示两样本的样本均值与样本方差分别表示两样本的样本均值与样本方差1. 方差方差1 2 、 2 2已知时，已知时，1- 2的置信度为的置信度为1-的的置信区间是：置信区间是： ）22212122212122nnzYX,nnzYX( 且两总体相互独立。且两总体相互独立。推导：推导：N(0, 1)22212121nnYXZ 由由znn|YX|P 1222212121解得解得nn

14、zYXnnzYXP 12221212122212122）从而得从而得1- 2的置信度为的置信度为1-的置信区间是：的置信区间是：），22212122212122nnzYXnnzYX( ）2221212(nnzYX 也可简记为：也可简记为：(2) 未知未知 但但 时，时，12的置信度的置信度2221,22221 为为1 的置信区间是：的置信区间是：)2) 1() 1(112,2) 1() 1(112(21222211212121222211212122 nnSnSnnnnntYXnnSnSnnnnntYX）（）（，)nn,(NYX221221 ) 1() 1(122211 nSn)2(2) 1(

15、) 1(11)()(21212222112121 nntnnSnSnnnYX) 2() 1() 1(21222222211 nnSnSn) 1() 1(222222 nSn),(Nnn)()YX(10112121 推导：推导：由由得得由由和和得得从而从而nntnnS)n(S)n(nn| )()YX( |P 1221111212212222112121）（）（2) 1() 1(1122122221121212 nnSnSnnnnntYX解得解得1122的置信度为的置信度为1 1 的置信区间是：的置信区间是：由由2221的置信度为的置信度为1-1-的置信区间是：的置信区间是：2221），（) 1,

16、 1(/) 1, 1(/212- 122212122221nnFSSnnFSS) 1, 1(21 nnF由由2221222122222121/S/S/S/SF nnFSSnnFP 1)1, 1(/) 1, 1(212222122212121解得解得nnFSSnnFSSP 1) 1, 1(/) 1, 1(/2121222122212122221推导：推导：从而得从而得 的置信度为的置信度为1-1-的置信区间是：的置信区间是：2221），（) 1, 1(/) 1, 1(/212122212122221 nnFSSnnFSS），（) 1, 1(/) 1, 1(/212122212122221nnFS

17、SnnFSS即即 的置信度为的置信度为1-1-的置信区间是：的置信区间是：2221例例3.3.某食品加工厂有甲、乙两条加工猪肉罐某食品加工厂有甲、乙两条加工猪肉罐头的生产线，设罐头质量头的生产线，设罐头质量 服从正态分布，服从正态分布，从甲生产线抽取从甲生产线抽取1010只罐头，测得平均质只罐头，测得平均质量量 ，已知标准差，已知标准差 1 =5(g) 1 =5(g)；从；从乙生产线抽取乙生产线抽取2020只罐头，测得平均质只罐头，测得平均质量量 ，已知标准差，已知标准差 2 =4(g) 2 =4(g)，求，求甲、乙生产线的罐头的平均质量差甲、乙生产线的罐头的平均质量差1- 21- 2的置信度

18、为的置信度为0.990.99的置信区间的置信区间)(501 gx )(498 gy 解：解：知知1- 21- 2的置信度为的置信度为1-1-的置信区间是：的置信区间是： ）22212122212122nnzYX,nnzYX( 由由 1 =5(g)， 2 =4(g)，）（gx501 ）（gy498 又又，201021 nn，99. 01 ，01. 0 575. 2005. 02 zz计算计算所以所以1- 21- 2的置信度为的置信度为0.990.99的置信区间是：的置信区间是： ）22212122212122nnzyx,nnzyx( ）204105575. 2498501,204105575.

19、2498501(2222 ）6777. 7,6777. 1( ）6777. 7,6777. 1( 例例4.某食品处理前取样分析其含脂率为：某食品处理前取样分析其含脂率为：0.19，0.12，0.18，0.30，0.21，0.27，0.30，0.42，0.66，0.08；处理后取样分析其含脂率为：；处理后取样分析其含脂率为：0.15，0.04，0.13，0.08，0.00，0.20，0.07，0.12，0.24，0.13，0.24，假如处理前后的含脂，假如处理前后的含脂率均率均 服从正态分布，且方差不变，试求处理服从正态分布，且方差不变，试求处理前后的含脂率期望之差前后的含脂率期望之差1- 2的

20、置信度为的置信度为0.95的置信区间的置信区间.1- 2的置信度为的置信度为1-的置信区间是：的置信区间是：解：解：由由 未知，但未知，但 ，可知，可知，2221,22221 由给定数据算得由给定数据算得，2730.x ，12730.y ，3221006186 .s，0281021.s ；101 n，112 n)2) 1() 1(112,2) 1() 1(112(21222211212121222211212122 nnSnSnnnnntYXnnSnSnnnnntYX）（）（所以，所以，1- 21- 2的置信度为的置信度为0.950.95的置信区间是：的置信区间是： 计算计算）（2111122

21、122221121212 nns )n(s )n(nnnntyx(）19100618. 6100281. 091111010930. 21273. 0273. 0(3 ），2632. 00282. 0( ），2632. 00282. 0(）（190250.t ）（2212 nnt，95. 01 ，05. 0 又又09302. 解：解：），（22211222122221/) 1, 1() 1, 1(/SSnnFnnFSS 例例5.设设XN ( 1 12 )， YN ( 2 22 )，且且X和和Y相互独立，分别在相互独立，分别在X、Y中取容量为中取容量为n1=13， n2=10的样本，测得样本方差

22、分别为的样本，测得样本方差分别为S 12 =8.41， S22 =5.29，求方差比，求方差比 的置信度为的置信度为0.90的置信区间的置信区间.2221/ 的置信度为的置信度为1-1-的置信区间是：的置信区间是：2221/07. 3)9 ,12() 1, 1(05. 0212 FnnF80. 2)129() 1, 1(05. 0122 ，FnnF），（29. 541. 880. 207. 329. 5/41. 8 ），（4514. 45178. 0 ，9001. ），（222112221222211111s/s)n,n(F)n,n(Fs/s 计算计算10. 的置信度为的置信度为0.900.90的置信区间是：的置信区间是：2221所以所以），（4514. 45178. 01 1、大样本场合下概率、大样本场合下概率p p的置信度为的置信度为1-1-的置信区间为的置信区间为）（nnnznnnnznnnnnnn)1(