大学物理：10-5-6 磁场对载流导线的作用

1、1磁场对载流磁场对载流导线的作用导线的作用2B 描写电流元在磁场中受安描写电流元在磁场中受安培力的规律。培力的规律。大小：大小：lIdsinIdlBdF 用矢量式表示：用矢量式表示：BlIdFdFdlIdBFd一、安培定律一、安培定律1. .内容内容安培定律：安培定律：一个电流元在磁场中所受磁场力为电流一个电流元在磁场中所受磁场力为电流元元 与磁感应强度与磁感应强度 的矢量积。的矢量积。lIdB方向：方向：从从 右旋到右旋到 ，大拇指指向，大拇指指向lIdB 垂直由垂直由 和和 构成的平面。构成的平面。FdlIdB3 计算一段电流在磁场中受到的安计算一段电流在磁场中受到的安培力时，应先将其分割

2、成无限多培力时，应先将其分割成无限多电流元，将所有电流元受到的安电流元，将所有电流元受到的安培力矢量求和培力矢量求和-矢量积分。矢量积分。FdFBlIdlIdB 均匀磁场中曲线电流受的均匀磁场中曲线电流受的安培力，等于从起点到终点安培力，等于从起点到终点的直线电流所受的安培力。的直线电流所受的安培力。baFdFbaBlIdBl dIba)(由于由于 ，Lldba,BLIFsinILBF abI2. .一段电流在磁场中受力一段电流在磁场中受力3. .均匀磁场中曲线电流受力均匀磁场中曲线电流受力LBBlIdFd（1）4结论结论 （1）：）： 均匀磁场中载流曲线导线所受的安培力，等于电流从均匀磁场中

3、载流曲线导线所受的安培力，等于电流从起点流到终点的直线导线所受的安培力。起点流到终点的直线导线所受的安培力。结论结论 （2）：）： 均匀磁场中任意闭合载流导线所受安培力的合力为零。均匀磁场中任意闭合载流导线所受安培力的合力为零。Bl dIL)(0Lld0F对闭合回路对闭合回路LBlIdF（2）对图示均匀磁场中的任意平面载流曲导线，所受磁场力为对图示均匀磁场中的任意平面载流曲导线，所受磁场力为ILB5例例1：在无限长载流直导线在无限长载流直导线 I I1 旁，旁，平行放置另一长为平行放置另一长为L的载流直导线的载流直导线 I I2 ,两根导线相距为两根导线相距为 a，求导线，求导线 I I2所受

4、到的安培力。所受到的安培力。解：解：由于电流由于电流 I I2 上各点到电流上各点到电流 I I1 距离相同，距离相同，I I2 各点处的各点处的 B B 相同，相同，La 1I 2IF1BI2 受到的安培力方向如图所示，受到的安培力方向如图所示，sin12LBIF其中其中,2101aIB2sin12LBIF 2sin2102aILIaLII2210 I I2 受到受到 I I1 的引力。的引力。同理同理 I1 也受到也受到 I I2 2 的引力。的引力。安培力大小：安培力大小：BlIdFd6例例2：在无限长载流直导线在无限长载流直导线 I1 旁，旁，垂直放置另一长为垂直放置另一长为 L 的载

5、流直导线的载流直导线 I2 , I2 导线左端距导线左端距 I1 为为 a，求导线，求导线 I2 所受到的安培力。所受到的安培力。解：解：La 1I 2I建立坐标系建立坐标系,坐标原点选在坐标原点选在 I1上，上，oxxFddx1B电流元受安培力大小为：电流元受安培力大小为：sin12dxBIdF其中其中,2101xIB2dFFdxBILaa2sin12LaaxdxII2102aLaIIln2210分割电流元，分割电流元， 长度为长度为 dx , , BlIdFd7将平面载流线圈放入均匀磁场中将平面载流线圈放入均匀磁场中， 电磁系列电表指针转动：在永电磁系列电表指针转动：在永久磁铁的两极之间的

6、空气隙内放久磁铁的两极之间的空气隙内放一个可绕固定轴转动的线圈，载一个可绕固定轴转动的线圈，载流线圈在磁场中受力矩的结果。流线圈在磁场中受力矩的结果。1l2looabcdIBn 1. .载流线圈在磁场中受到的力矩载流线圈在磁场中受到的力矩规定：规定：与电流满足右手定则的法线方向为正向。与电流满足右手定则的法线方向为正向。da边受到安培力边受到安培力:)2sin(2BIlFdabc边受到安培力边受到安培力:)2sin(2BIlFbcbcFdaF F Fda 与与 F Fbc大小相等方向相反，作用在一条直线上，大小相等方向相反，作用在一条直线上，相互抵消。相互抵消。（P. 31， 图图10-39）

7、cos2BIlcos2BIl二、磁场对载流线圈的作用二、磁场对载流线圈的作用8abFcdFab边受到安培力边受到安培力:2sin1BIlFabcd边受到安培力边受到安培力:2sin1BIlFcd Fab与与Fcd大小相等方向相反，大小相等方向相反，不在一条直线上，不能抵消，不在一条直线上，不能抵消，为一对力偶，产生力矩。为一对力偶，产生力矩。1l2looabcdIBn bcFdaF作俯视图作俯视图,sin22labFcdF)(ba)(cdI2lnBo FrMlFMab sin222sin21BlIl线圈受到的力矩大小为：线圈受到的力矩大小为：sin2221lBIl9如果为如果为N匝平面线圈匝平

8、面线圈：sin21BlNIlM sinNISBS 闭合电流所包围的面积！闭合电流所包围的面积！大小：大小：NISPm单位单位：安培安培米米2方向方向:线圈正法线方向；线圈正法线方向；nNISPm 定义：定义：磁矩磁矩：法线方向的单位矢量。：法线方向的单位矢量。nsinBPm考虑方向：考虑方向：BPMmsinNISBM 力矩方向为：力矩方向为：四指从四指从 右旋右旋到到 ，大拇指指向。大拇指指向。mPB上述结论具有普遍上述结论具有普遍意义意义（也适用于带电（也适用于带电粒子沿任意闭合回路粒子沿任意闭合回路的运动或自旋磁矩在的运动或自旋磁矩在磁场中受的力矩）磁场中受的力矩） 。abFcdF1l2l

9、ooabcdIBnbcFdaFMmP10B B1. . = 0 时，时， 线圈处于线圈处于稳定平衡态稳定平衡态。这时如果。这时如果外界的扰动使线圈稍有偏离，磁场的外界的扰动使线圈稍有偏离，磁场的力矩会使它回到平衡位置。力矩会使它回到平衡位置。FmPoIFB Bo ImPFFM2. . = 90 时：时：线圈受力矩最大。线圈受力矩最大。3. . = 180 时：时： 线圈处于线圈处于非稳定平衡态非稳定平衡态。这时如。这时如果外界的扰动使线圈稍有偏离，磁果外界的扰动使线圈稍有偏离，磁场的力矩会使它继续偏转。场的力矩会使它继续偏转。线圈受力矩为线圈受力矩为0。B BoImPFFsinNISBM 2.

10、 .讨论讨论sinBPmBPMm, 0M,NISB线圈受力矩为线圈受力矩为0。, 0M11例例1：一半径为一半径为 R 的薄圆盘的薄圆盘, ,放在磁感应强度为放在磁感应强度为 B B 的均的均匀磁场中匀磁场中, , B B 的方向与盘面平行的方向与盘面平行, ,如图所示如图所示, ,圆盘表面的圆盘表面的电荷面密度为电荷面密度为 s , ,若圆盘以角速度若圆盘以角速度 w 绕其轴线转动绕其轴线转动, ,试求试求作用在圆盘上的磁力矩。作用在圆盘上的磁力矩。 BwsRdr解：解：取半径为取半径为 r, , 宽为宽为dr的圆环。的圆环。圆环带电量：圆环带电量：rdrdqs2转动形成电流转动形成电流磁矩

11、：磁矩：方向沿轴线向上方向沿轴线向上, ,所受磁力矩：所受磁力矩：方向为方向为 2dqdqdITwdIrdPm2drr3swrdrws2sinBdPdMmBdPmdrBr3swRdrBrdMM03sw44RBws2Tw12B B(),AF aaF dadaBILF ABIL daIBL da01II IcdababIFabF FcdF F)(ba)(cdI2ln nB Bod约定：约定：顺时针方向为顺时针方向为角坐标角坐标正方向，则有正方向，则有dsinISBMddA)(cosIBSd)cosBS(Id Id10IIIIdA011 . .载流导线在磁场中运动时磁力的功载流导线在磁场中运动时磁力

12、的功2 . .载流线圈在磁场中转动时磁力矩的功（载流线圈在磁场中转动时磁力矩的功（P. 34，图，图10 - 43）三、磁力的功三、磁力的功13例例4：在无限长载流直导线旁，在无限长载流直导线旁，距离距离a 处放置一半径为放置一半径为 R 、通通有电流为有电流为 I 的圆环，求载流圆的圆环，求载流圆环受到的环受到的Ampere力。力。解：解：分析：分析： I2 电流上各点距电流上各点距 I1 的距离不同，各点的电流的距离不同，各点的电流方向不同，所以各点受力大方向不同，所以各点受力大小和方向也不同。小和方向也不同。 1IaR 2I（ 课本课本P.30，例题，例题10-10 ，磁场不均匀），磁场

13、不均匀）例：例： P.32，例题10-11，计算磁力矩计算磁力矩（ 磁场均匀磁场均匀 ） P.35，例题10-12，计算磁力矩和磁力矩的功计算磁力矩和磁力矩的功 14建立图示柱标系，建立图示柱标系，在在I1电电流激发的流激发的磁场中磁场中，任一关，任一关于于x轴对称的电流元轴对称的电流元Idl 和和 Idl 所受力所受力 dF和和 dF必然必然关于关于x轴对称。轴对称。因此因此，圆环，圆环电流电流I2所受所受Ampere力沿力沿x轴正向。轴正向。22yxFFFxFxdlIIdlBIdF221012cos2cos21012xdlIIdlBIdFxF Fdl ldx 2I 1IaRoydFxdF1

14、B Bl ldF FdydFxdFd15Rddl dF Fdl ldx 2I 1IaRoydFxdF1B B建立图示柱标系，建立图示柱标系，在在I1电电流激发的流激发的磁场中磁场中，任一关，任一关于于x轴对称的电流元轴对称的电流元Idl 和和 Idl 所受力所受力 dF和和 dF必然必然关于关于x轴对称。轴对称。因此因此，圆环，圆环电流电流I2所受所受Ampere力沿力沿x轴正向。轴正向。xdlIIdlBIdF221012cos2210 xdlIIdFxxdFF FdydFl ldcosRaxdRaRIIdFxcoscos221016iRaaIIF 222101 dRaRIIdFxcoscos

15、221020210coscos2dRaRIIdFFx17例：例：一半径为一半径为R的半圆形闭合线圈，通有电流的半圆形闭合线圈，通有电流I，线圈，线圈放在均匀外磁场放在均匀外磁场B中，中，B的方向与线圈平面成的方向与线圈平面成300角，角，如右图，设线圈有如右图，设线圈有N匝，问：匝，问：B060（1）线圈的磁矩是多少？）线圈的磁矩是多少？ （2）此时线圈所受力矩的大小和方向？）此时线圈所受力矩的大小和方向？ （3）由图示位置转至平衡位置时，）由图示位置转至平衡位置时， 磁力矩作功是多少？磁力矩作功是多少？解：（解：（1）线圈的磁矩）线圈的磁矩nNISpm 的方向与的方向与B成成600夹角夹角n

16、RNI22 +.MBmp dmp18060sinBpMm mmmNINIA12 0226022cosRBRBNI 可见，磁力矩作正功可见，磁力矩作正功磁力矩的方向由磁力矩的方向由 确定，为垂直于确定，为垂直于B的方向向上。的方向向上。Bpm （2）此时线圈所受力矩的大小为）此时线圈所受力矩的大小为（3）线圈旋转时，磁力矩作功为）线圈旋转时，磁力矩作功为243RNIB 24RNIB B06019三、载流直导线对矩形载流线圈的作用力三、载流直导线对矩形载流线圈的作用力dI1I2ab如图：无限长如图：无限长载流直导线，近旁载流直导线，近旁放一矩形载流线圈放一矩形载流线圈求：线圈所受的力求：线圈所受的

17、力解：解：上下两边所受的力上下两边所受的力 大小相等，方向相反大小相等，方向相反ABCD（ 磁场不均匀）磁场不均匀）20AB边受力：边受力：I1在在AB边处产生的边处产生的磁感应强度为：磁感应强度为：dIB2101)(2210121idbIIbBIFdI1I2abABCDxCD边受力：边受力：iadbIIbBIF)(221022221线圈所受的合力：线圈所受的合力：dI1I2abABCDxF1F2)(2210121idbIIbBIFiadbIIbBIF)(22102220 1 211()2II bFidd a22解：由图可知：解：由图可知：载流导线环载流导线环处于一个不均匀的磁场中，处于一个不

18、均匀的磁场中，但导线环上各点的磁感应强但导线环上各点的磁感应强度的大小均相等。根据度的大小均相等。根据对称对称性分析性分析，导体环受的总磁力，导体环受的总磁力只有竖直方向的分量，其大只有竖直方向的分量，其大小为小为 sindFFFzsin2 RIBRolIB2dsin例题例题5 ： 圆柱形磁铁圆柱形磁铁 N 极上方水平放置一个载流导极上方水平放置一个载流导线环，求其受力。已知在导线所在处磁场线环，求其受力。已知在导线所在处磁场B的方向的方向与竖直方向成与竖直方向成 角。角。ZdFdFNRBBI结论：结论：此载流导线环受到的磁力指向磁极。此载流导线环受到的磁力指向磁极。 23小结小结: : （电

19、流产生磁场，磁场对电流有作用力）（电流产生磁场，磁场对电流有作用力）1.1. 磁感应强度的概念和毕奥磁感应强度的概念和毕奥-萨伐尔定律；萨伐尔定律； 计算简单电流分布的磁场分布。计算简单电流分布的磁场分布。2.2. 磁场高斯定理磁场高斯定理3.3.磁场安培环路定理磁场安培环路定理 用安培环路定理计算磁感应强度的方法用安培环路定理计算磁感应强度的方法4.4. 磁力、磁矩、磁力矩：磁力、磁矩、磁力矩：计算简单几何形状的载流导体和载流平面线计算简单几何形状的载流导体和载流平面线圈在磁场中所受的力、力矩、功圈在磁场中所受的力、力矩、功24 磁场对载流线圈的作用力原理是制造各种直流磁场对载流线圈的作用力

20、原理是制造各种直流 电机、动圈式电压电流表的基本原理电机、动圈式电压电流表的基本原理NSI25解解 取坐标系取坐标系xoy，磁场磁场作用在回路中底作用在回路中底边直线段上边直线段上的安培力的安培力F1大小大小 例题例题6 6： 一段半圆形载流回路，通有电流一段半圆形载流回路，通有电流I I，圆的半，圆的半径为径为R，放在均匀磁场，放在均匀磁场B 中，磁场与回路平面垂直。中，磁场与回路平面垂直。求求均匀磁场均匀磁场作用在作用在半圆形半圆形载流载流回路回路上的力。上的力。BIRRBIF221F1的方向沿负的方向沿负y轴（向下）轴（向下） 在半圆弧上在半圆弧上各段电流元受到的安培力大小都等于各段电流

21、元受到的安培力大小都等于 lBIFdd方向沿径向向外方向沿径向向外半圆弧受到的安培力半圆弧受到的安培力F2为各个电流元所受力的矢为各个电流元所受力的矢量和。量和。26F2的方向沿的方向沿y y轴轴( (向上向上) ) 将将dF分解为分解为x方向和方向和y方向的分量方向的分量dFx和和dFy ，由，由电流分布的对称性，半圆电流分布的对称性，半圆弧上各个电流元在弧上各个电流元在x方向方向上受到的分力的矢量和为上受到的分力的矢量和为零，只有零，只有y方向分力对合方向分力对合力力F2有贡献有贡献 半圆弧yFFd2半圆弧sindlBIRIBBIRBIR220 dsin F1和和F2大小相等、方向相反，因

22、此均匀磁场作大小相等、方向相反，因此均匀磁场作用在半圆形载流回路上的合力为零。用在半圆形载流回路上的合力为零。 27例例3：在均匀磁场中，放置一半圆形在均匀磁场中，放置一半圆形半径为半径为 R 通有电流为通有电流为 I 的载流导线，的载流导线，求载流导线所受的安培力。求载流导线所受的安培力。解：解：由均匀磁场中曲线电流受力的结论：半圆形电流由均匀磁场中曲线电流受力的结论：半圆形电流受到的安培力相当于沿直径电流受到的安培力；受到的安培力相当于沿直径电流受到的安培力；2sinILBFRIB2RoBIF28磁介质中的安培环路定理磁介质中的安培环路定理H磁场强度：磁场强度： LLIl dH0 在稳恒磁场中，磁场强度矢量沿任一闭合路径在稳恒磁场中，磁场强度矢量