高三数学(理科)押题精练：专题【7】《数列求和及综合应用》ppt课件

1、专题七 数列求和及综合应用数列求和及综合应用数列求和及综合应用主 干 知 识 梳 理热 点 分 类 突 破真 题 与 押 题高考对本节知识主要以解答题的形式考查以下高考对本节知识主要以解答题的形式考查以下两个问题：两个问题：1.以递推公式或图、表形式给出条件，求通项公以递推公式或图、表形式给出条件，求通项公式，考查用等差、等比数列知识分析问题和探式，考查用等差、等比数列知识分析问题和探究创新的能力，属中档题；究创新的能力，属中档题；2.通过分组、错位相减等转化为等差或等比数列通过分组、错位相减等转化为等差或等比数列的求和问题，考查等差、等比数列求和公式及的求和问题，考查等差、等比数列求和公式及

2、转化与化归思想的应用，属中档题转化与化归思想的应用，属中档题考情解读主干知识梳理1.数列求和的方法技巧数列求和的方法技巧(1)分组转化法分组转化法有些数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将有些数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将数列通项拆开或变形，可转化为几个等差、等比数列数列通项拆开或变形，可转化为几个等差、等比数列或常见的数列，即先分别求和，然后再合并或常见的数列，即先分别求和，然后再合并.(2)错位相减法错位相减法这是在推导等比数列的前这是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列方法主要用于求数列anbn的前的前n项和，其中项和

3、，其中an，bn分分别是等差数列和等比数列别是等差数列和等比数列.(3)倒序相加法倒序相加法这是在推导等差数列前这是在推导等差数列前n项和公式时所用的方法，也就是项和公式时所用的方法，也就是将一个数列倒过来排列将一个数列倒过来排列(反序反序)，当它与原数列相加时若有，当它与原数列相加时若有公式可提，并且剩余项的和易于求得，则这样的数列可用公式可提，并且剩余项的和易于求得，则这样的数列可用倒序相加法求和倒序相加法求和.(4)裂项相消法裂项相消法利用通项变形，将通项分裂成两项或利用通项变形，将通项分裂成两项或n项的差，通过相项的差，通过相加过程中的相互抵消，最后只剩下有限项的和加过程中的相互抵消，

4、最后只剩下有限项的和.这种方这种方法，适用于求通项为法，适用于求通项为 的数列的前的数列的前n项和，其中项和，其中an若为等差数列，则若为等差数列，则 .常见的裂项公式：常见的裂项公式：2.数列应用题的模型数列应用题的模型(1)等差模型：如果增加等差模型：如果增加(或减少或减少)的量是一个固定量时，的量是一个固定量时，该模型是等差模型，增加该模型是等差模型，增加(或减少或减少)的量就是公差的量就是公差.(2)等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时，该模型是等比模型，这个固定的数就固定的数时，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比是公比.(

5、3)混合模型：在一个问题中同时涉及等差数列和等混合模型：在一个问题中同时涉及等差数列和等比数列的模型比数列的模型.(4)生长模型：如果某一个量，每一期以一个固定生长模型：如果某一个量，每一期以一个固定的百分数增加的百分数增加(或减少或减少)，同时又以一个固定的具体，同时又以一个固定的具体量增加量增加(或减少或减少)时，我们称该模型为生长模型时，我们称该模型为生长模型.如分如分期付款问题，树木的生长与砍伐问题等期付款问题，树木的生长与砍伐问题等.(5)递推模型：如果容易找到该数列任意一项递推模型：如果容易找到该数列任意一项an与它与它的前一项的前一项an1(或前或前n项项)间的递推关系式，我们可

6、以间的递推关系式，我们可以用递推数列的知识来解决问题用递推数列的知识来解决问题. 热点一 分组转化求和 热点二 错位相减法求和 热点三 裂项相消法求和热点分类突破 热点四 数列的实际应用例1等比数列等比数列an中，中，a1，a2，a3分别是下表第一、二、分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且三行中的某一个数，且a1，a2，a3中的任何两个数不在中的任何两个数不在下表的同一列下表的同一列.热点一 分组转化求和(1)求数列求数列an的通项公式；的通项公式；思维启迪 根据表中数据逐个推敲确定根据表中数据逐个推敲确定an的通项公式；的通项公式；解当当a13时，不合题意；时，不合题意；当当a12时，当

7、且仅当时，当且仅当a26，a318时，符合题意；时，符合题意；当当a110时，不合题意时，不合题意.因此因此a12，a26，a318，所以公比，所以公比q3.故故an23n1 (nN*).(2)若数列若数列bn满足：满足：bnan(1)nln an，求数列，求数列bn的前的前n项和项和Sn.思维启迪 分组求和分组求和.解因为因为bnan(1)nln an23n1(1)nln(23n1)23n1(1)nln 2(n1)ln 323n1(1)n(ln 2ln 3)(1)nnln 3，所以所以Sn2(133n1)111(1)n(ln 2ln 3)123(1)nnln 3.当当n为偶数时，为偶数时，当

8、当n为奇数时，为奇数时，在处理一般数列求和时，一定要注意使用转化思在处理一般数列求和时，一定要注意使用转化思想想.把一般的数列求和转化为等差数列或等比数把一般的数列求和转化为等差数列或等比数列进行求和，在求和时要分析清楚哪些项构成等列进行求和，在求和时要分析清楚哪些项构成等差数列，哪些项构成等比数列，清晰正确地求解差数列，哪些项构成等比数列，清晰正确地求解.在利用分组求和法求和时，由于数列的各项是正在利用分组求和法求和时，由于数列的各项是正负交替的，所以一般需要对项数负交替的，所以一般需要对项数n进行讨论，最进行讨论，最后再验证是否可以合并为一个公式后再验证是否可以合并为一个公式.思维升华变式

9、训练1已知数列已知数列an中，中，a11，anan1( )n(nN*).(1)求证：数列求证：数列a2n与与a2n1(nN*)都是等比数列；都是等比数列；证明因为因为anan1( )n，an1an2( )n1，又又a11，a2 ，所以数列，所以数列a1，a3，a2n1，是，是以以1为首项，为首项， 为公比的等比数列；为公比的等比数列；数列数列a2，a4，a2n，是以，是以 为首项，为首项， 为公比的等为公比的等比数列比数列.(2)若数列若数列an的前的前2n项和为项和为T2n，令，令bn(3T2n)n(n1)，求数列，求数列bn的最大项的最大项.bn13(n1)(n2)( )n1，所以所以b1

10、b4bn，所以所以(bn)maxb2b3 .例2设数列设数列an的前的前n项和为项和为Sn，已知，已知a11，Sn12Snn1(nN*)，(1)求数列求数列an的通项公式；的通项公式；热点二 错位相减法求和思维启迪 n1时，时，Sn2Sn1n两式相减得两式相减得an的递推关系式，然的递推关系式，然后构造数列求通项；后构造数列求通项；解Sn12Snn1，当当n2时，时，Sn2Sn1n，an12an1，an112(an1)，又又S22S12，a1S11，an12n，即，即an2n1(nN*).(2)若若bn ，数列，数列bn的前的前n项和为项和为Tn，nN*，证明：证明：Tn0，前，前n项和为项和

11、为Sn，S36，且满足，且满足a3a1,2a2，a8成等比数列成等比数列.(1)求求an的通项公式；的通项公式；热点三 裂项相消法求和思维启迪 利用方程思想可确定利用方程思想可确定a，d，写出，写出an；解由由S36，得，得a22.a3a1,2a2，a8成等比数列，成等比数列，(2d)(26d)42，解得解得d1或或d ，d0，d1.数列数列an的通项公式为的通项公式为ann.(2)设设bn ，求数列，求数列bn的前的前n项和项和Tn的值的值.思维启迪 利用裂项相消法求利用裂项相消法求Tn.裂项相消法适合于形如裂项相消法适合于形如 形式的数列，其形式的数列，其中中an为等差数列为等差数列.思维

12、升华变式训练3已知等差数列已知等差数列an是递增数列，且满足是递增数列，且满足a4a715，a3a88.(1)求数列求数列an的通项公式；的通项公式；解根据题意根据题意a3a88a4a7，a4a715，所以所以a4，a7是方程是方程x28x150的两根，且的两根，且a480，当当n7时，由于时，由于S6570，因为因为an是递减数列，所以是递减数列，所以An是递减数列是递减数列.所以必须在第九年年初对所以必须在第九年年初对M更新更新.解答数列应用题，与函数应用题的求解过程类似，解答数列应用题，与函数应用题的求解过程类似，一般要经过三步：一般要经过三步：(1)建模，首先要认真审题，理解建模，首先

13、要认真审题，理解实际背景，理清数学关系，把应用问题转化为数列实际背景，理清数学关系，把应用问题转化为数列问题；问题；(2)解模，利用所学的数列知识，解决数列模型中的解模，利用所学的数列知识，解决数列模型中的相关问题；相关问题；(3)释模，把已解决的数列模型中的问题返回到实际释模，把已解决的数列模型中的问题返回到实际问题中去，与实际问题相对应，确定问题的结果问题中去，与实际问题相对应，确定问题的结果.思维升华变式训练4设某商品一次性付款的金额为设某商品一次性付款的金额为a元，以分期付款的元，以分期付款的形式等额地分成形式等额地分成n次付清，若每期利率次付清，若每期利率r保持不变，保持不变，按复利

14、计算，则每期期末所付款是按复利计算，则每期期末所付款是()解析设每期期末所付款是设每期期末所付款是x元，元，则各次付款的本利和为则各次付款的本利和为x(1r)n1x(1r)n2x(1r)n3x(1r)xa(1r)n，答案B本讲规律总结1.数列综合问题一般先求数列的通项公式，这是做数列综合问题一般先求数列的通项公式，这是做好该类题的关键好该类题的关键.若是等差数列或等比数列，则直若是等差数列或等比数列，则直接运用公式求解，否则常用下列方法求解：接运用公式求解，否则常用下列方法求解：(2)递推关系形如递推关系形如an1anf(n)，常用累加法求通项，常用累加法求通项.(3)递推关系形如递推关系形如

15、 f(n)，常用累乘法求通项，常用累乘法求通项.(4)递推关系形如递推关系形如“an1panq(p、q是常数，且是常数，且p1，q0)”的数列求通项，常用待定系数法的数列求通项，常用待定系数法.可设可设an1p(an)，经过比较，求得，经过比较，求得，则数列，则数列an是一个等比是一个等比数列数列.(5)递推关系形如递推关系形如“an1panqn(q，p为常数，且为常数，且p1，q0)”的数列求通项，此类型可以将关系式两边同除以的数列求通项，此类型可以将关系式两边同除以qn转化为类型转化为类型(4)，或同除以，或同除以pn1转为用迭加法求解转为用迭加法求解.2.数列求和中应用转化与化归思想的常

16、见类型：数列求和中应用转化与化归思想的常见类型：(1)错位相减法求和时，将问题转化为等比数列的错位相减法求和时，将问题转化为等比数列的求和问题求解求和问题求解.(2)并项求和时，将问题转化为等差数列求和并项求和时，将问题转化为等差数列求和.(3)分组求和时，将问题转化为能用公式法或错位分组求和时，将问题转化为能用公式法或错位相减法或裂项相消法或并项法求和的几个数列的和相减法或裂项相消法或并项法求和的几个数列的和求解求解.提醒：运用错位相减法求和时，相减后，要注意右边的运用错位相减法求和时，相减后，要注意右边的n1项中的前项中的前n项，哪些项构成等比数列，以及两边需项，哪些项构成等比数列，以及两

17、边需除以代数式时注意要讨论代数式是否为零除以代数式时注意要讨论代数式是否为零.3.数列应用题主要考查应用所学知识分析和解析问数列应用题主要考查应用所学知识分析和解析问题的能力题的能力.其中，建立数列模型是解决这类问题的其中，建立数列模型是解决这类问题的核心，在解题中的主要思路：核心，在解题中的主要思路：首先构造等差数列首先构造等差数列或等比数列模型，然后用相应的通项公式与求和公或等比数列模型，然后用相应的通项公式与求和公式求解；式求解；通过归纳得到结论，再用数列知识求解通过归纳得到结论，再用数列知识求解. 真题感悟 押题精练真题与押题真题感悟1.(2013湖南湖南)设设Sn为数列为数列an的前

18、的前n项和，项和，Sn(1)nan ，nN*，则：，则：(1)a3_；(2)S1S2S100_.真题感悟解析anSnSn1真题感悟根据以上根据以上an的关系式及递推式可求的关系式及递推式可求.真题感悟真题感悟2.(2014课标全国课标全国)已知数列已知数列an满足满足a11，an13an1.(1)证明证明an 是等比数列，并求是等比数列，并求an的通项公式；的通项公式；证明(1)由由an13an1，真题感悟真题感悟因为当因为当n1时，时，3n123n1，真题感悟押题精练1.如图，一个类似杨辉三角的数阵，则第如图，一个类似杨辉三角的数阵，则第n(n2)行行的第的第2个数为个数为_.押题精练解析由题意可知：图中每行的第二个数分别为由题意可知：图中每行的第二个数分别为3,6,11,18，即即a23，a36，a411，a518，a3a23，a4a35，a5a47，anan12n3，累加得：累加得：ana2357(2n3)，ann22n3.答案n22n3押题精练2.秋末冬初，流感盛行，特别是甲型秋末冬初，流感盛行，特别是甲型H1N1流感流感.某医某医院近院近30天每天入院治疗甲流的人数依次构成数列天每天入院治疗甲流的人数依次构