高等数学4.4第二类换元积分法ppt课件

1、高高 等等 数数 学学主讲人主讲人 宋从芝宋从芝河北工业职业技术学院河北工业职业技术学院简单的根式代换简单的根式代换三角代换三角代换引入引入,1dxx 如何求如下积分呢如何求如下积分呢? ? 经过察看经过察看, ,上面积分很显然不能运用上面积分很显然不能运用“凑微分法凑微分法, ,211dxx 第二类换元积分法第二类换元积分法( (即先换元即先换元, ,积分后再回代变量积分后再回代变量) ) 所以必需另寻新的积分方法所以必需另寻新的积分方法: :()f x d x ( )( )ftt dt ( )F tC通常把这样的积分方法叫做第二类换元积分法。通常把这样的积分方法叫做第二类换元积分法。( )

2、xt 令令 = =定理定理1( )FxC 1( )tx 回回代代1适用：被积函数含有根号；适用：被积函数含有根号；2思绪：去掉根号；思绪：去掉根号；3方法：换元；方法：换元；4留意：留意： 回代；回代； 能凑那么凑。能凑那么凑。一一. .简单的根式代换简单的根式代换nnaxbaxbt 含含时时，为为去去掉掉根根式式常常常常令令 1dxx 为了去掉根号，为了去掉根号，xt 令令，2 解解例例1 11dxx t 回回代代22xt 则则，2dxdt 2tdt xln(1)x C 1dtt 1t 1 2 1(1)1dtt 2 ln 1t C tx 1t 2tdt练习练习3xdxx 3dxxx 6xt

3、令令，6 解解例例2 23dxxx 1dtt 32t 26 (1tt 3xt 则则，6dxdt 阐明阐明多个根式时多个根式时, 取根指数的最小公倍数取根指数的最小公倍数23xt ，2 x 56t dt 33 x 66 x 66ln(1)x C 23t 6t 6ln1t C dt 31tt 6 311t 1)1dtt 32tt 56tdt,)1(22时时含含xa 作三角代换作三角代换 x = a sin t ；,)2(22时时含含xa 作三角代换作三角代换 x = a tan t ；,)3(22时时含含ax 作三角代换作三角代换 x = a sec t。 二二. .三角代换三角代换三角代换的三种

4、方法：三角代换的三种方法：假设不讲三角代换，请到假设不讲三角代换，请到1515页页21cos22tadt 解解22cos ,axat 则则22ax dx 22cosatdt 21(sin2 )22attC222arcsin22axxaxCa tax22xa sinxat 令令，22ax dx (0)a 例例3 3 求求,)1(22时时含含xa 作三角代换作三角代换 x = a sin t ；cosdxatdt 二二. .三角代换三角代换例例4 4 求求22d(0)xaxa 解解，令令 22tan ttax那么那么 dx = asec2 dx = asec2 tdt tdt 22daxx tta

5、tadsecsec2tt dsec1ln|sectan | ttC,)2(22时时含含xa 作三角代换作三角代换 x = a tan t ； 作辅助三角形，得作辅助三角形，得，根根据据axt tanaxt22ax 122|tansec|lndCttaxx122lnCaaxax aCaxxln)ln(122 ，Caxx )ln(22其中其中 C = C1 - lna .,)3(22时时含含ax 作三角代换作三角代换 x = a sec t 22xadxx (0)a 练习练习 求求tanln cosxdxxC cotlnsinxdxxC seclnsectanxdxxxC csclncsccotx

6、dxxxC 根本积分表根本积分表(续续) 2211arctanxdxCaxaa 2211ln2axdxCaxaax 221arcsinxdxCaax 22221ln()dxxxaCxa 22222arcsin22axxax dxaxCa 解解1 1例例5 5 运用两种方法计算运用两种方法计算1d12xx 1d12xx 1 2xt dttt dt 12xCtC 解解2 2例例5 5 运用两种方法计算运用两种方法计算1d12xx 1d12xx 11d(12 )212xx 12xC运用环境运用环境 当求积分当求积分f(x)dxf(x)dx较困难较困难, ,但作变量交换但作变量交换x=(t)x=(t)

7、后后, ,而而新的积分新的积分f(x)dx = f(t)dt f(x)dx = f(t)dt 容易积分时容易积分时运用。运用。( )1( ) ( ) ( )( )xtf x dxftt dtFxC 作业作业 习题习题4.4 1(1)(5) 2(2)4.4 1(1)(5) 2(2)小结小结 换元方式换元方式 (1) (1)简单根式换元简单根式换元 (2) (2)三角代换三角代换运用环境运用环境 当求积分当求积分f(x)dxf(x)dx较困难较困难, ,但作变量交换但作变量交换x=(t)x=(t)后后, ,而而新的积分新的积分f(x)dx = f(t)dt f(x)dx = f(t)dt 容易积分时容易积分时运用。运用。( )