高等数学不积分概念与性质ppt课件

1、01 x)(R xcosxsin xeaaxlnx1ax ln1x2secx2csc xxtansecxxcotcsc 211x 211x 211x 211x )(xe )(xa )(ln x )(log xa )(arccosx )(arctan x )cotarc(x )(C )( x )(sinx )(cosx )(tanx )(cotx )(cscx )(secx )(arcsinx复习 )(3x,32x说说23x是是3x的导数的导数.知知，3x求其导数为求其导数为.32x如今反过来说，如今反过来说，3x是是23x的原函数的原函数.3x求其原函数求其原函数知知，23x第四章第四章 不定

2、积分不定积分1.1.原函数的概念：原函数的概念：一、不定积分一、不定积分假设在开区间假设在开区间I内，内， 可导函数可导函数)(xF 的的即当即当Ix 时，时，)()(xfxF 或或那么函数那么函数)(xF称为称为f(x)在区间在区间I内的原函数内的原函数.例例，xxcos)(sin xx1ln ，)(xf导数为导数为xxfxFd)()(d xsin是是xcos的原函数的原函数.，) 0( xxln是是x1在区间在区间), 0( 内的原函数内的原函数.2.2.原函数存在定理原函数存在定理假设函数假设函数)(xf在开区间在开区间I内延续，内延续， 那么在那么在I内存在可内存在可导函数导函数，)(

3、xF使使)()(xfxF 简言之：简言之： 延续函数一定有原函数延续函数一定有原函数. .，455)(xx 如：如：455)(xCx 问题：问题：(1) 原函数能否独一呢？原函数能否独一呢？(2) 假设不独一假设不独一，又如：又如： ，xxcossin xCxcossin 为恣意常数为恣意常数C 为恣意常数为恣意常数C它们之间有什么联络？它们之间有什么联络？3.3.原函数构造定理：原函数构造定理：(1)(1)假假设设)(xF是是)(xf的一个原函数，的一个原函数， 那那么么CxF )(都是都是)(xf的原函数的原函数. .(2)(2)假假设设)(),(xGxF都是都是)(xf的原函数，的原函数

4、，一个常数一个常数. .证证)()(xfxF 而而 )()()()(xfCxFCxF CxF )(都是都是)(xf的原函数的原函数.(1)(2)，)()(xfxF )()(xfxG )()(xGxF，CxGxF )()( 为恣意常数为恣意常数C那那么么)(xF)(xG与与只差只差即即只差一个常数只差一个常数.)(xF)(xG与与0)()( xfxf )()(xGxF留意：留意：(1)(1)C是积分常数，不能丢掉是积分常数，不能丢掉. .(2)(2)不定积分也常说不定积分也常说“积分积分. .恣意常数恣意常数积分号积分号被积函数被积函数积分变量积分变量被积表达式被积表达式CxFxxf )(d)(

5、4.4.不定积分的概念不定积分的概念函数函数)(xf在开区间在开区间I内带有恣意常数内带有恣意常数C C的原函数的原函数，CxF )(称为函数称为函数)(xf的不定积分的不定积分. .记为记为定义：定义： .d)(xxf5.5.微分法与积分法的关系微分法与积分法的关系(1)(2)先积后微，先积后微，先微后积，先微后积，结论：结论： 微分运算与求不定积分的运算是互逆的微分运算与求不定积分的运算是互逆的. .如：如：).1cos(sin2xxx .) 5ln(sinCxxx xxfxd)(d d )(xxf dd )(xF d )5ln(sinxxx d),(xfdx )(xf函数不变函数不变.

6、.C函数加函数加 xxFd)(,)(CxF .)(CxF d)1cos(sin2xxxx例例1 1求求.d2xx 解解,)3( 23xx 解解，xx1)ln( 例例2 2求求.d1xx .lnd1 Cxxx xx d2.33Cx 留意留意 假设在提出问题时不指明区间，假设在提出问题时不指明区间，那么在解题时通常那么在解题时通常也也不指明求出的原函数所适用的区间，不指明求出的原函数所适用的区间， 只需确有区只需确有区间，间，就有就有.)(d)(CxFxxf ),()(xfxF 使得使得通常把求不定积分的方法称为积分法通常把求不定积分的方法称为积分法.例例3 3 设曲线经过点设曲线经过点(1(1，

7、2)2)，且其上任一点，且其上任一点处的切线处的切线解解设曲线方程为设曲线方程为),(xfy 根据题意知根据题意知即即)(xf是是x2的的一一个个原原函函数数.,)(2Cxxf 由曲线经过点由曲线经过点(1，2), 1 C所求曲线方程为所求曲线方程为. 12 xy显然，显然，斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程.,2ddxxy 求不定积分得到一积分曲线族求不定积分得到一积分曲线族. .,d22 Cxxx6.6.不定积分的几何意义不定积分的几何意义x不定积分不定积分 )(xfdx表示一族函表示一族函数，数， 在几何上，在几何上， 它们表示一族曲它们表示一族

8、曲线，线， 称为函数称为函数)(xf的积分曲线族，的积分曲线族，其中任何一条积分曲线都可以由其中任何一条积分曲线都可以由某一条沿某一条沿y y轴方向平移得到，轴方向平移得到， 并且并且积分曲线族上对应于同一坐标积分曲线族上对应于同一坐标x x的各点处有一样的斜率的各点处有一样的斜率).(xfxyo二、根本积分公式二、根本积分公式12345;arctanCx ;arcsinCx xd0 xx d xxd112 xxd112CCx 11 );1( xxdCx ln;cosCx ;sinCx ;tanCx ;cotCx ;secCx ;cscCx ;Cex ;lnCaax 6 xxdsin7 xxd

9、cos8 xx2cosd xxdsec29 xx2sind xxdcsc210 xxxdtansec11 xxxdcotcsc12 xexd13 xaxd根根本本积积分分公公式式表表(1(1) )三、不定积分的性质三、不定积分的性质证证).()(xgxf 此性质可推行到有限多个函数之和的情况此性质可推行到有限多个函数之和的情况.d)( xxfk xxkfd)()2(d)(d)( xxgxxfd)(d)( xxgxxf xxgxfd)()() 1 (;d)(d)( xxgxxf所以等式成立所以等式成立.(k是常数，是常数，)0 k解解xarctan3 xarcsin2 .C 留意留意1 1：留意

10、留意2 2：分项积分后，只需写出一个常数分项积分后，只需写出一个常数. .检验积分结果能否正确检验积分结果能否正确, ,xxxxd112d11322 例例4 4 求积分求积分.d)1213(22xxx 看它的导数能否等于被积函数看它的导数能否等于被积函数. .原式原式= =只需对结果求导只需对结果求导, ,解解xexsin3 .C 积分方法积分方法. . 直接积分法：直接积分法： 经过恒等变形，经过恒等变形， 把所给积分变把所给积分变成公式中有的方式，成公式中有的方式， 求出积分的方法求出积分的方法. .解解xx tan.C xxxddsec2 xxd) 1(sec2 xxdtan2例例6 6

11、求求.dtan2xx xxxexdcos3d xxexd )cos3(例例5 5求求.d )cos3(xxex .C )sin(21xx 解解解解原式原式= =xx tancot .C xxxxdsecdcsc22 xxxd )sec(csc22 xxxxxdsincossincos2222例例8 8求求xxxxd sincos2cos22 dcosd21xxx xx d)cos1(21 xxd2cos1例例7 7求求.d2sin2xx xxd2sin2解解原式原式= =xx arctan .C 解解原式原式= =xxarctan1 .C xxxd)111(22 d)1 (12222xxxxx

12、 例例1010.d)1 (122xxx 求求 21ddxxxxxd )111(2 xxxd11122 例例9 9求求.d122xxx 原式原式= =解解xxxarctan313 .C 原式原式= =解解2tan21xx .C xxxd )111(22 xxxd21dsec212xxxdcos2cos122 例例1212xxxd2cos1cos12 求求xxxd11124 例例1111求求xxxd124 .C 9ln966ln24ln4xxx .C xxx cot10ln10 xxxxxd1dcscd102 xxxd) 1csc10(2例例1414xxxd)cot10(2 xxxxd)9624(

13、 xxxxxd)33222(22 例例1313 xxxd)32(23.3.根本积分表根本积分表(1)(1)5.5.不定积分的性质不定积分的性质 1. 1.原函数的概念：原函数的概念：)()(xfxF 2.2.不定积分的概念：不定积分的概念：4.4.求微分与求积分的互逆关系求微分与求积分的互逆关系四四. .小结小结0, 021 kk CxFxxf)(d)( xxgkxxfkxxgkxfk )()()()(2121一、一、 填空题：填空题：1 1、 一个已知的函数，有一个已知的函数，有_个原函数，其中任意个原函数，其中任意两个的差是一个两个的差是一个_；2 2、 )(xf的的_称为称为)(xf的不定积分；的不定积分；3 3、 把把)(xf的一个原函数的一个原函数)(xF的图形叫做函数的图形叫做函数)(xf的的_，它的方程是，它的方程是)(xFy ，这样不定积，这样不定积 dxxf)(在几何上就表示在几何上就表示_，它的方程是，它的方程是 CxFy )(；4 4、 由由)()(xfxF 可 知 ， 在 积 分 曲 线 族可 知 ， 在 积 分 曲 线 族CxFy )( )( 是任意常数是任意常数C上横坐标相同的点上横坐标相同的点处作切线，这些切线彼此是处作切线，这些切线彼此是_的；的；5 5、 若若)(xf在某区间上在某区间上_，则