无定向角导线在导线测量中的应用

1、无定向角导线在导线测量中的应用摘要：本文主要论述在控制点不能通视（无定向条件）的情况下导线测量计算问题，并以工程实例进行说明。 前言： 现在城市建设飞速发展，尤其象上海这样的国际化大都市，高楼大厦向雨后春笋一样冒出，这可能使的原有的控制点变的不再通视，这样就没有了推算各导线边方位角所必须的定向角，无法进行导线计算。本论文就是介绍一种当两控制点无法通视时的计算方法。 1 、 单一无定向角导线的闭合条件 单一无定向角导线的实质就是，两端均未观测定向角的单一附和导线，如图 1 对于有 n-1 个待定点的单一无定向角导线，其必要观测值为 2 （ n-1 ）个，而观测值为 n+(n-1) 个，即 n 条

2、边和 n-1 个导线角，故多余观测的个数为 n+(n-1)-2(n-1)=1 个。由于未测定向角，故这个多余观测条件为长度闭合条件。 2 、 计算思路 单一无定向角导线两端的定向角没有观测，但推算各导线边方位角却需要至少知道一个定向角，这是单一无定向角导线平差计算的困难所在。解决的途径是：将第一条导线的方位角进行假设，以假设方位角作为起始坐标方位角，利用该起始方位角和各导线角观测值计算所有导线边的方位角推算值，进而再利用导线边的观测值计算终点的坐标。 由于起始边的定向不正确（假设的）和导线角与导线边观测误差的影响，将导致终点的计算点位与实际点位不相符合，为消除这个矛盾，可采用导线固定边（如上图

3、中 AB 边）的已知长度和已知方位角分别作为导线的尺度标准和定向标准对导线进行缩放和旋转，从而使终点的计算点位与实际点位相符，以达到单一无定向角导线平差的目的。 3 、 无定向角导线近似平差的计算公式 如图 1 所示， A 、 B 为已知点，其坐标为 xA 、 Ya ， xB 、 yB ，固定边 AB 的边长和方位角为 DAB 和 AB ；导线角、导线边的观测值和平差值分别为 i 、 Di 和 ´i 、 D´i ；待定导线点坐标的计算值和平差值分别为 xi 、 yi 和 xi´ 、 yi´ 。 如果令起始边 A1 的假定方位角为 A1 ，则根据导线角的观

4、测值 i 即可推求各导线边方位角的计算值，进而计算各导线边坐标增量的计算值；对各导线边坐标增量计算求其和，即得固定边 AB 的坐标增量计算 x´AB 、 y´AB 。据此，可计算出固定边的边长计算值 D´AB 、和方位角计算值 ´AB 。 若令导线的旋转角和缩放比为 v 和 Q ，则有： DA1/D´A1= DA2/D´A2=DAB/D´AB=Q (1) ´A1 A1=´A2 A2=´AB AB=v (2) 由于 x´Ai=x´i xA=D´Ai·cos&

5、#180;Ai ； y´Ai=y´i yA=D´Ai·sin´Ai ；顾及到（ 1 ）和（ 2 ）有： x´Ai= Q·DAi·cos(Ai+ v) = Q·DAi·(cosAi·cos v sinAi ·sin v) y´Ai= Q·DAi·sin(Ai+ v) = Q·DAi·(sinAi·cos v+ cosAi ·sin v) 再令 Q1= Q·cos v ； Q2= Q·sin

6、 v ，并顾及到 xAi= DAi ·cosAi ； yAi= DAi ·sinAi ，则有： x´Ai= Q1·xAi Q2·yAi (3-1) y´Ai= Q1·yAi+Q2·xAi (3-2) 作为（ 3-1 ）（ 3-2 ）的特例则有： xºAB= Q1·xAB Q2·yAB yºAB= Q1·yAB+Q2·xAB 在上式中， xºAB 、 yºAB 为已知值， xAB 、 yAB 可由假定起始方位 AB 和导线角与导线边观测值

7、 i 、 Dij 计算而得，因而可由此解出 Q1 、 Q2 ，即： Q1 （ xAB·xºAB yAB·yºAB ） （ xAB ） ²+ （ yAB ） ² ） （ 4-1 ） Q2 （ xAB·yºAB yAB·xºAB ） （ xAB ） ²+ （ yAB ） ² ） (4-2) 将由式（ 4-1 ）（ 4-2 ）计算而得的 Q1 、 Q2 代入式（ 3-1 ）（ 3-2 ），可得按各待定导线点坐标计算值 xi 、 yi 计算其平差值的公式，即： x´i xA

8、 Q1 （ xi x ） Q （ yi y ） (5-1) y´i yA Q1 （ yi y ） +Q （ xi x ） (5-2) 4 、 无定向角导线计算应用实例 图 2 为上海地铁 M8 线管线测量布设的无定向角导线，导线的起始数据见下表： 点号 X m Y m 坐标方位角 º." 边长 m T815 1978.814 -371.917 T813 3842.578 962.054 该单一无定向角导线平差计算表 点 名 观测角值 º ´ " 观测 边长 m 假定坐标方位角 º´" 假定坐标增量 假定坐

9、标 坐标平差值 x m y m X m Y m x´ m y´ m T815 1978.814 -371.917 210.823 51 15 25 131.939 161.749 164.434 37.985 D1 141 57 32 2110.753 2272.502 -207.483 -169.498 2160.887 -265.378 166.149 13 12 57 282.806 175.029 -9.401 46.237 D2 164 52 49 2555.308 2730.336 -178.899 -132.662 2325.637 -287.674 282.

10、962 358 05 46 163.923 138.849 47.617 1.692 D3 196 42 06 2894.259 3033.108 -85.045 -83.352 2586.598 -397.518 181.033 14 47 52 -5.313 161.319 113.659 -12.846 D4 181 24 00 3027.796 3189.115 30.306 17.461 2766.709 -416.847 170.699 16 11 52 54.600 129.964 225.794 285.423 D5 164 30 02 3243.715 3373.679 24

11、3.255 528.678 2936.933 -430.918 138.859 0 41 54 102.739 47.678 147.871 166.103 D6 271 58 40 3476.418 3524.096 676.549 842.652 3067.311 -478.951 113.783 92 40 34 169.256 -450.833 304.485 391.355 D7 82 46 16 3693.352 3242.519 1147.137 1538.492 3102.960 -370.823 161.830 355 26 50 131.939 161.749 164.43

12、4 37.985 D8 260 57 32 2110.753 2272.502 -207.483 -169.498 3249.145 -440.475 232.302 76 24 22 282.806 175.029 -9.401 46.237 D9 169 06 44 2555.308 2730.336 -178.899 -132.662 3380.860 -248.949 313.619 65 31 06 163.923 138.849 47.617 1.692 D10 169 41 26 2894.259 3033.108 -85.045 -83.352 3604.322 -28.624

13、 180.059 55 12 32 -5.313 161.319 113.659 -12.846 D11 198 46 32 3027.796 3189.115 30.306 17.461 3753.185 72.870 172.810 73 59 04 54.600 129.964 225.794 285.423 D12 166 56 49 3243.715 3373.679 243.255 528.678 3857.101 211.078 348.366 60 55 53 102.739 47.678 147.871 166.103 D13 258 06 30 3476.418 3524.096 6