球的体积及表面积公式xuena

1、,21RRr ,)(222nRRr 问题问题: :已知球的半径为已知球的半径为R,R,用用R R表示球的体积？表示球的体积？,)2(223nRRr AOB2C2AO极限的思想极限的思想分割分割求近似和求近似和化为准确和化为准确和OR)1( inR半半径径：层层“小小圆圆片片”下下底底面面的的第第in n. ., ,1 1, ,2 2i i , ,1 1) ) ( (i in nR R R Rr r2 22 2i iirOA一一.球的体积球的体积nininRnRrVii,2,1,)1(1232 niinRRri,2,1,)1(22 nVVVV 21半球半球)1(2122223nnnnR 6) 1

2、2() 1(123 nnnnnnR 6)12)(1(1123 nnnR 球的体积球的体积6)12)(11(13nnRV 半半球球.01, nn时时当当.343233RVRV 从从而而半半球球334RVR 的的球球的的体体积积为为：定定理理：半半径径是是球的体积球的体积oi iS So二二.球的表面积球的表面积第第一一步：步：分分割割球面被分割成球面被分割成n n个网格，表面积分别为：个网格，表面积分别为：nSSSS ,321，则球的表面积：则球的表面积：nSSSSS 321则球的体积为：则球的体积为：iV 设设“小小锥锥体体”的的体体积积为为iVnVVVVV 321iSO OO O球的表面积球

3、的表面积第第二二步：步：求求近近似似和和ih由第一步得：由第一步得：nVVVVV 321nnhShShShSV 31313131332211 iiihSV 31 O OiSiVO O球的表面积球的表面积第第三三步：步：化化为为准准确确和和RSVii31 如果网格分的越细如果网格分的越细, ,则则: : “小锥体小锥体”就越接近小棱就越接近小棱锥锥RSRSRSRSVni 3131313132 RSSSSSRni31).(3132 334RV 又又球球的的体体积积为为：RiS iVihiSO OiV234,3134RSRSR 从从而而球的表面积球的表面积Rhi的的值值就就趋趋向向于于球球的的半半径

4、径 例题讲解例题讲解例例1.1.圆柱的底面直径与高都等于球的直径，求证：圆柱的底面直径与高都等于球的直径，求证：（1 1）球的体积等于圆柱体积的）球的体积等于圆柱体积的2/32/3（2 2）球的表面积等于圆柱的体积）球的表面积等于圆柱的体积练习：将球的半径扩大练习：将球的半径扩大1倍，它的体积扩大到原来的几倍？倍，它的体积扩大到原来的几倍？例题讲解例题讲解例例2.2.一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长是一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长是a a，求，求球的体积。球的体积。变式：在球面上有四个点变式：在球面上有四个点P,A,B,C,如果如果PA,PB,PC两两垂直两两垂直且且PA=PB=PC

5、=a，求球的体积。，求球的体积。OABCO 例例3:3:已知过球面上三点已知过球面上三点A A、B B、C C的截面到球心的截面到球心O O的距离的距离等于球半径的一半，且等于球半径的一半，且AB=BC=CA=AB=BC=CA=cmcm，求球的体积，求球的体积，表面积表面积解：如图，设球解：如图，设球O O半径为半径为R R，截面截面OO的半径为的半径为r，r332AB2332AO 是正三角形，是正三角形，ABCROO ,2 例题讲解例题讲解. .3 34 4R R .96491644S2 R,)332()2R(R222 OABCO ,222AOOOOAAOORt 中中解解：在在 ; ;8 8

6、1 12 25 56 6) )3 34 4( (3 34 4R R3 34 4V V3 33 3例例2.2.已知过球面上三点已知过球面上三点A A、B B、C C的截面到球心的截面到球心O O的距离等的距离等于球半径的一半，且于球半径的一半，且AB=BC=CA=AB=BC=CA=cmcm，求球的体积，表面，求球的体积，表面积积例题讲解例题讲解OABCO 变式变式. .已知过球面上三点已知过球面上三点A A、B B、C C的截面到球心的截面到球心O O的距离等的距离等于球半径的一半，且于球半径的一半，且AC=BC=6cm,BA=AC=BC=6cm,BA=cmcm，求球的体积，求球的体积，表面积表

7、面积例题讲解例题讲解例例1一个长方体全面积是一个长方体全面积是20，所有棱长的和是，所有棱长的和是24，求长方体的对角线长求长方体的对角线长. 4如图，三棱柱如图，三棱柱ABCA1B1C1中，若中，若E、F分别为分别为AB、AC 的中点，平面的中点，平面EB1C1将三棱柱分成体积将三棱柱分成体积为为V1、V2的两部分，那么的两部分，那么V1 V2= _ _。V1 V2=75 324表面积为 的球，其内接正四棱柱的高是14，求这个正四棱柱的表面积64 232 14576S表45,A B,A B24RR,A B在北纬圈上有两点，设该纬度圈上两点的劣弧长为（为地球半径），求两点间的球面距离。3Rl了解了解球的体积、表面积推导的基本思路：球的体积、表面积推导的基本思路：分割分割求近似和求近似和化为标准和的方法，是化为标准和的方法，是一种重要的数学思想方法一种重要的数