第2章自动控制系统数学模型ppt课件

1、第第2 2章章 自动控制系统数学模型自动控制系统数学模型n一门学科要构成体系，通常要借助数学工具；一门学科要构成体系，通常要借助数学工具；n一个自动控制系统分析和设计的根底是数学，一个自动控制系统分析和设计的根底是数学，而着手点就是数学模型；而着手点就是数学模型；n自动控制系统的数学模型指的是描画系统运自动控制系统的数学模型指的是描画系统运动的某种数学方式。动的某种数学方式。0第第2 2章章 自动控制系统数学模型自动控制系统数学模型2.1 2.1 建立动态微分方程的普通方法建立动态微分方程的普通方法 2.2 2.2 非线性系统微分方程模型的线性化非线性系统微分方程模型的线性化 2.3 2.3

2、传送函数传送函数2.4 2.4 系统动态构造图系统动态构造图2.5 2.5 自动控制系统的传送函数自动控制系统的传送函数2.6 2.6 信号流图信号流图1 控制系统普通来说都是相当复杂的物理系控制系统普通来说都是相当复杂的物理系统，它们的组成可以是各种不同的物质运动方统，它们的组成可以是各种不同的物质运动方式：电、机械、液压、气动等。但假设它们的式：电、机械、液压、气动等。但假设它们的运动过程的数学模型一样，那么它们的分析和运动过程的数学模型一样，那么它们的分析和设计也就完全一样。设计也就完全一样。2第第2 2章章 自动控制系统数学模型自动控制系统数学模型第第2 2章章 自动控制系统数学模型自

3、动控制系统数学模型数学模型定义：数学模型定义： 根据系统运动过程的物理、化学等规律，所根据系统运动过程的物理、化学等规律，所写出的描画系统运动规律、特性和输出与输入写出的描画系统运动规律、特性和输出与输入关系的数学表达式。关系的数学表达式。 表示方法：表示方法： 微分方程、传送函数、动态构造图、信号流微分方程、传送函数、动态构造图、信号流图、形状方程。图、形状方程。3第第2 2章章 自动控制系统数学模型自动控制系统数学模型数学模型的类型：数学模型的类型： 1. 1. 静态模型与动态模型静态模型与动态模型 描画系统静态任务形状不变或慢变过程特性的描画系统静态任务形状不变或慢变过程特性的模型，称为

4、静态数学模型。静态数学模型普通是以模型，称为静态数学模型。静态数学模型普通是以代数方程表示的，数学表达式中的变量不依赖于时代数方程表示的，数学表达式中的变量不依赖于时间，是输入输出之间的稳态关系。间，是输入输出之间的稳态关系。 描画系统动态或瞬态特性的模型，称为动态数学模描画系统动态或瞬态特性的模型，称为动态数学模型。动态数学模型中的变量依赖于时间，普通是微型。动态数学模型中的变量依赖于时间，普通是微分方程等方式。静态数学模型可以看成是动态数学分方程等方式。静态数学模型可以看成是动态数学模型的特殊情况。模型的特殊情况。4第第2 2章章 自动控制系统数学模型自动控制系统数学模型数学模型的类型：数

5、学模型的类型： 2. 2. 延续时间模型与离散时间模型延续时间模型与离散时间模型 根据数学模型所描画的系统中的信号能否存在离散根据数学模型所描画的系统中的信号能否存在离散信号，数学模型分为延续时间模型和离散时间模型，信号，数学模型分为延续时间模型和离散时间模型，简称延续模型和离散模型。简称延续模型和离散模型。延续数学模型有微分方程、传送函数、形状空间表达延续数学模型有微分方程、传送函数、形状空间表达式等。式等。离散数学模型有差分方程、离散数学模型有差分方程、Z Z传送函数、离散形状空传送函数、离散形状空间表达式等。间表达式等。 5第第2 2章章 自动控制系统数学模型自动控制系统数学模型数学模型

6、的类型：数学模型的类型： 3. 3. 参数模型与非参数模型参数模型与非参数模型 从描画方式上看，数学模型分为参数模型和非参从描画方式上看，数学模型分为参数模型和非参数型两大类。数型两大类。 参数模型是用数学表达式表示的数学模型，如传送参数模型是用数学表达式表示的数学模型，如传送函数、差分方程、形状方程等。函数、差分方程、形状方程等。 非参数模型是直接或间接从物理系统的实验分析中非参数模型是直接或间接从物理系统的实验分析中得到的呼应曲线表示的数学模型，如脉冲呼应、阶得到的呼应曲线表示的数学模型，如脉冲呼应、阶跃呼应、频率特性曲线等。跃呼应、频率特性曲线等。6第第2 2章章 自动控制系统数学模型自

7、动控制系统数学模型注释：注释： 建模普通应根据系统的实践构造参数及计算建模普通应根据系统的实践构造参数及计算所要求的精度忽略去一些次要要素，使模型既能所要求的精度忽略去一些次要要素，使模型既能反映系统的动态特性，又能简化分析、计算。反映系统的动态特性，又能简化分析、计算。 数学模型虽然有不同的表示方式，但它们之数学模型虽然有不同的表示方式，但它们之间可以相互转换，可以由一种方式的模型转换为间可以相互转换，可以由一种方式的模型转换为另一种方式的模型。另一种方式的模型。72.1 建立动态微分方程的普通方法 动态微分方程时域数学模型：动态微分方程时域数学模型： 是控制系统最根本的数学模型，要研讨系统

8、是控制系统最根本的数学模型，要研讨系统的运动，必需列写系统的微分方程。的运动，必需列写系统的微分方程。 一个控制系统由假设干具有不同功能的元件一个控制系统由假设干具有不同功能的元件组成，首先要根据各个元件的物理规律，列写各组成，首先要根据各个元件的物理规律，列写各个元件的微分方程，得到一个微分方程组个元件的微分方程，得到一个微分方程组 ，然，然后消去中间变量，即得控制系统总的输入和输出后消去中间变量，即得控制系统总的输入和输出的微分方程。的微分方程。8微分方程的建立微分方程的建立1、确定系统和各元件的输入和输出量；、确定系统和各元件的输入和输出量；2、根据物理或化学定律，从输入端开场按信号、根

9、据物理或化学定律，从输入端开场按信号的传送顺序，列写每个元件的运动方程；的传送顺序，列写每个元件的运动方程；3、消除中间变量，写出输入、输出微分方程式；、消除中间变量，写出输入、输出微分方程式；4、规范化，即将与输入有关的放在、规范化，即将与输入有关的放在“=的右侧，的右侧，输出有关的放在输出有关的放在“=的左侧，并按降幂陈列。的左侧，并按降幂陈列。2.1 建立动态微分方程的普通方法 9 例例2.1 RC2.1 RC网络的微分方程。给定输入电压网络的微分方程。给定输入电压urur为系为系统的输入量，电容上的电压统的输入量，电容上的电压ucuc为系统的输出量。为系统的输出量。解解: :设回路电流

10、为设回路电流为i i，由电路，由电路 实际可知，电阻上的电压为实际可知，电阻上的电压为电容上的电压与电流的关系为电容上的电压与电流的关系为由基尔霍夫电压定律，列写回路由基尔霍夫电压定律，列写回路方程式方程式 RC图2.5 RC网络ur(t)uc(t)iRu 1dtduCicrcuuu1图图2.1 RC网络电路网络电路 消去中间变量消去中间变量u1u1、i i 得得 (1)(1) 令令 为电路时间常数，那么为电路时间常数，那么 (2)(2) 式式(2)(2)即为即为RCRC网络的微分方程，它是一阶常系网络的微分方程，它是一阶常系数线性微分方程。数线性微分方程。rccuudtduRCrccuudt

11、duTRCT 例例2.2 2.2 列写如图列写如图2.22.2所示所示RC RC 网络的微分网络的微分方程。给定输入电压方程。给定输入电压 为系统的输入量，为系统的输入量，电容电容 上的电压上的电压 为系统的输出量。为系统的输出量。解解: : 由基尔霍夫电压定律，列写回路方程由基尔霍夫电压定律，列写回路方程 (3) (3) (4) (4) ru2Ccu R1C1图2.6 RC网络ur(t)uc(t)R2C2rcuuRi111122cci Ruu图图2.2 RC网络电路网络电路 由基尔霍夫电流定律，电容由基尔霍夫电流定律，电容 中的电流为中的电流为 电容电容 中的电流为中的电流为 ，所以，所以

12、(5)(5) (6)(6) 下面消去中间变量下面消去中间变量 、 、 。将式。将式(6)(6)代入式代入式(5)(5)得得 (7) (7)1C)(21ii 2C2idtduCiic1121dtduCic221cu1i2ircccuudtduCRdtduCR112111 (9)将式将式(9)代入式代入式(8)得得 (10)规范化得规范化得 (11)122cccuudtduCRrcccccuudtduCRdtduCRdtduCRdtudCRCR222111222211rcccuudtduCRCRCRdtudCRCR)(222111222211rcccuudtduTTTdtudTT)(2211222

13、1 其中其中 ， ， ，为电路，为电路的时间常数。的时间常数。 留意，图留意，图2.22.2所示所示RCRC网络虽然是两个图网络虽然是两个图2.12.1所示所示RCRC网网络的串联，但应该留意到前面一个络的串联，但应该留意到前面一个RCRC网络不是开路，网络不是开路，后面一个后面一个RCRC网络是前面一个网络是前面一个RCRC网络的负载，式网络的负载，式(11)(11)中中 的这一项就反映了这一负载效应。的这一项就反映了这一负载效应。 111CRT 222CRT 2112CRTdtduTc21例例2.3 R-L-C 2.3 R-L-C 串联电路基尔霍夫电压、电流定律串联电路基尔霍夫电压、电流定

14、律)()()()(tutRidttdiLtucr )(1)(1)()(22tuLCtuLCdttduLRdttudrccc dttduCtic)()( )()()(22tudttduRCdttudLCccc 2.1 建立动态微分方程的普通方法 16)()(1ommmiixxfFxxKF 02xKFo oommixKxxfxxK21)()( :BAioooooimoimxxfKxKKKxxfKxKKxxxKxKxK 2121212211iooxKKKxKKfKKx2112121)( 例例2.4 2.4 弹簧弹簧阻尼器系统阻尼器系统2.1 建立动态微分方程的普通方法 17电磁力矩：电磁力矩： 安培

15、定律安培定律电枢反电势：电枢反电势： 楞次定律楞次定律电枢回路：电枢回路： 克希霍夫克希霍夫力矩平衡：力矩平衡： 牛顿定律牛顿定律brERiu mebcE icMmm mmmmmmmMfJ 例例2.5 2.5 电枢控制式直流电动机电枢控制式直流电动机2.1 建立动态微分方程的普通方法 18电机时间常数电机时间常数电机传送系数电机传送系数 )/()/(memmmmemmmccfRcKccfRRJTrmmmmrmmmmuKTuKT 消去中间变量消去中间变量 i, Mm , Eb i, Mm , Eb 可得：可得：2.1 建立动态微分方程的普通方法 19建立动态微分方程的步骤建立动态微分方程的步骤1

16、 1确定系统的输入、输出变量，并根据需求引进确定系统的输入、输出变量，并根据需求引进一些中间变量。一些中间变量。2 2从输入端开场，按照信号的传送顺序，根据从输入端开场，按照信号的传送顺序，根据各变量所遵照的物理、化学等定律，列写各变量之各变量所遵照的物理、化学等定律，列写各变量之间的动态方程，普通为微分方程组。间的动态方程，普通为微分方程组。 常用的定律有：电路系统的基尔霍夫定律、力常用的定律有：电路系统的基尔霍夫定律、力学系统的牛顿定律和热力学定律等等。学系统的牛顿定律和热力学定律等等。3 3消去中间变量，得到描画输出量与输入量关消去中间变量，得到描画输出量与输入量关系的微分方程，即微分方

17、程数学模型。系的微分方程，即微分方程数学模型。2.1 建立动态微分方程的普通方法 204 4微分方程规范方式微分方程规范方式 与输入量有关的各项写在方程的右边；与输入量有关的各项写在方程的右边；与输出量有关的各项写在方程的左边与输出量有关的各项写在方程的左边方程两边导数项均按降阶陈列。方程两边导数项均按降阶陈列。其普通方式为其普通方式为imimmimmimononnonnonxbdtdxbdtxdbdtxdbxadtdxadtxdadtxda11110111102.1 建立动态微分方程的普通方法 21留意：由于实践系统的构造普通比较复杂，我们甚留意：由于实践系统的构造普通比较复杂，我们甚至不清

18、楚内部机理，所以，列写实践工程系统的微至不清楚内部机理，所以，列写实践工程系统的微分方程是很困难的。分方程是很困难的。 n2.1 建立动态微分方程的普通方法 n n 2.3 传送函数n 2.4 系统动态构造图n 2.5 自动控制系统的传送函数n 2.6 信号流图2.2 2.2 非线性系统微分方程模型的线性化非线性系统微分方程模型的线性化第第2 2章章 自动控制系统数学模型自动控制系统数学模型222.2 非线性系统微分方程模型的线性化 非线性：非线性： 只需两个变量之间的数学描画不是直线方程，那只需两个变量之间的数学描画不是直线方程，那么就称两个变量之间的关系是非线性的。么就称两个变量之间的关系

19、是非线性的。 严厉地讲，实践系统中的变量之间的关系都是非严厉地讲，实践系统中的变量之间的关系都是非线性的。线性的。 由于求解非线性微分方程比较困难，因此提出了由于求解非线性微分方程比较困难，因此提出了线性化问题。假设可以合理地对系统进展线性化，将线性化问题。假设可以合理地对系统进展线性化，将大大简化系统分析和设计的过程。虽然此方法是近似大大简化系统分析和设计的过程。虽然此方法是近似的，但只需这样做所呵斥的误差在允许范围内，此方的，但只需这样做所呵斥的误差在允许范围内，此方法任不失为一种很有实践意义的手段。法任不失为一种很有实践意义的手段。 232.2 非线性系统微分方程模型的线性化 000输入

20、输出输入输出输入输出ab饱和（放大器）死区（电机）间隙（齿轮）1. 几种常见的非线性几种常见的非线性 242 2、 线性化的方法线性化的方法1 1忽略弱非线性环节：忽略弱非线性环节： 假设元件的非线性要素较弱或者不在系统线性任务假设元件的非线性要素较弱或者不在系统线性任务范围以内，那么它们对系统的影响很小，就可以忽略；范围以内，那么它们对系统的影响很小，就可以忽略；2.2 非线性系统微分方程模型的线性化 252 2偏微法小偏向法，切线法，增量线性化法偏微法小偏向法，切线法，增量线性化法 偏微法基于一种假设，就是在控制系统的整个调偏微法基于一种假设，就是在控制系统的整个调理过程中，各个元件的输入

21、量和输出量只是在平衡点理过程中，各个元件的输入量和输出量只是在平衡点附近作微小变化。附近作微小变化。 这一假设是符合许多控制系统实践任务情况的，这一假设是符合许多控制系统实践任务情况的，由于对闭环控制系统而言，一有偏向就产生控制造用，由于对闭环控制系统而言，一有偏向就产生控制造用，来减小或消除偏向，所以各元件只能任务在平衡点附来减小或消除偏向，所以各元件只能任务在平衡点附近。近。0 xy饱和（放大器）y0 x0y=f(x)A(x0,y0) 设设 A(x0,y0) A(x0,y0)平衡点，平衡点，函数在平衡点处延续可微，函数在平衡点处延续可微，那么可将函数在平衡点附那么可将函数在平衡点附近展开成

22、泰勒级数近展开成泰勒级数忽略二次以上的各项，上式可以写成忽略二次以上的各项，上式可以写成 其中其中这就是非线性元件的线性化数学模型这就是非线性元件的线性化数学模型202200)(! 21)()(00 xxdxydxxdxdyyxfyxxxky0yyy0 xxx0 xd ykd x26)(cos)(0txExy )()()(0 xyxyxy xxEy 00sin取一次近似，且令取一次近似，且令 有有 例例 知某安装的输入输出特性知某安装的输入输出特性求小扰动线性化方程。求小扰动线性化方程。 200000)(! 21)()()(xxxyxxxyxyxy解解 在任务点在任务点(x0, y0)(x0,

23、 y0)处展开泰勒级数处展开泰勒级数)(sin000 xxxE 2.2 非线性系统微分方程模型的线性化 27rQShSdtdh1 hhhhdthdhhh 00021|0)(1)21()(0000rrQQShhhSdthhd 解解 在在 处泰勒展开，取一次近似处泰勒展开，取一次近似 0h代入原方程可得 例例 某容器的液位高度某容器的液位高度 h h 与液体流入量与液体流入量 Q Q 满足方程满足方程式中式中 S S 为液位容器的横截面积。假设为液位容器的横截面积。假设 h h 与与 Q Q 在其任务点附近做微量变在其任务点附近做微量变化，试导出化，试导出 h h 关于关于 Q Q 的线性化方程。

24、的线性化方程。2.2 非线性系统微分方程模型的线性化 28SQhSdtdhr000 rQShhSdthd 120 在平衡点处系统满足 上两式相减可得线性化方程 2.2 非线性系统微分方程模型的线性化 292.2 非线性系统微分方程模型的线性化 30非线性方程线性化非线性方程线性化 非线性系统，必需延续可导非线性系统，必需延续可导 小范围内变化，即某个邻域小范围内变化，即某个邻域 任务点不同，线性比例任务点不同，线性比例K K值不同值不同 不适用与严重非线性场所，如继电特性不适用与严重非线性场所，如继电特性 假设一非线性元件输入输出关系如下图假设一非线性元件输入输出关系如下图 此时不能用偏微分法

25、，可用平均斜率法得线性化方程为此时不能用偏微分法，可用平均斜率法得线性化方程为kxy 11xyk 0 xyx1y1-x1-y13 3平均斜率法平均斜率法2.2 非线性系统微分方程模型的线性化 31 留意：上述几种方法只适用于一些非线性程度留意：上述几种方法只适用于一些非线性程度较低的系统，对于某些严重的非线性，如较低的系统，对于某些严重的非线性，如 不能作线性化处置，普通用相平面法及描画函数法不能作线性化处置，普通用相平面法及描画函数法进展分析。进展分析。0继电特性0饱和特性2.2 非线性系统微分方程模型的线性化 32n 2.1 建立动态微分方程的普通方法 n 2.2 非线性系统微分方程模型的

26、线性化 n 2.3 传送函数n 2.4 系统动态构造图n 2.5 自动控制系统的传送函数n 2.6 信号流图第第2 2章章 自动控制系统数学模型自动控制系统数学模型331 1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换 2 2 传送函数传送函数3 3 典型环节的传送函数典型环节的传送函数2.3 2.3 传送函数传送函数34 线性控制系统可以用常系数线性微分方程来线性控制系统可以用常系数线性微分方程来描画，求解这个微分方程，就得到表示系统动态描画，求解这个微分方程，就得到表示系统动态特性的过渡过程，因此，方便地求解微分方程是特性的过渡过程，因此，方便地求解微分方程是至关重要的。至关重要的。 拉氏变换就是一种用来简

27、化求解微分方程的拉氏变换就是一种用来简化求解微分方程的运算方法。运算方法。1 1、 复数有关概念复数有关概念 1 1复数、复函数复数、复函数 复数复数复函数复函数 js )()()(sFsFsFyx 例例1 1 jssF 22)(2 2模、相角模、相角 22yxFFsF xyFFsFarctan 3 3复数的共轭复数的共轭 yxjFFsF )(4 4解析解析: : 假设假设F(s)F(s)在在 s s 点的各阶点的各阶 导数都存在，那么导数都存在，那么F(s)F(s)在在 s s 点解析。点解析。 模模相角相角 2.3.1 2.3.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换352 2、 拉氏变换的定义拉氏变

28、换的定义 0)()()(dtetfsFtfLts )()(tfsF像函数像函数原函数原函数362.3.1 2.3.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换假设有时间函数假设有时间函数 f(t)，对其乘于收敛因子，对其乘于收敛因子 e-st ，其中，其中s=+j为一个复变量，然后对为一个复变量，然后对 t 从从 0- 进展积分。假设此积分收敛，进展积分。假设此积分收敛，便确定了一个复变函数便确定了一个复变函数 F(s)，称为时间函数，称为时间函数 f(t) 的拉氏变换。的拉氏变换。条件：条件：10时，时， f(t)=0，2能找到一个有限实数能找到一个有限实数，使，使 。 lim0ttf t e1 1阶跃函数

29、阶跃函数3 3、 常见函数的拉氏变换常见函数的拉氏变换 0001)(tttf ssesdtetLstst110111100 372.3.1 2.3.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换2 2指数函数指数函数atetf )( dtedteetfLtasstat 00)(011101(s a)te()sasasa382.3.1 2.3.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换3 3正弦函数正弦函数 0sin00t t t f(t) dteeejdtetf(t)Lsttjtjst 0021sin dteej)tj(s)t-(s-j 021 001121)tj(s)tj(sejsejsj 22222211121 ssjj

30、jsjsj392.3.12.3.1拉普拉斯变换拉普拉斯变换1sin2j tj tteej欧拉公式欧拉公式1 1线性性质线性性质4 4、 拉氏变换的几个重要定理拉氏变换的几个重要定理2 2微分定理微分定理 (s)Fb(s)Fa(t)fb(t)faL2121 0fsFstfL 21120000nn-nnn-n-Lfts Fssfsfsfff(t)及其各阶导数的值在及其各阶导数的值在t=0处的值都为零零初条件下有：处的值都为零零初条件下有： sFstfLnn 402.3.1 2.3.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换例例1 1 求求 ?)( tL 解解. . t1t tLtL1 例例2 2 求求 ?)co

31、s( tL 解解. . tt nsi1cos tLtL nsi1cos 01ss101 221 ss22 ss412.3.1 2.3.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换3 3积分定理积分定理 0111-fssFsdttfL 零初始条件下有：零初始条件下有： sFsdttfL 1进一步有：进一步有： 0101011211nnnnnnfsfsfssFsdttfL 个个例例3 3 求求 Lt=? Lt=? 解解. . dttLtL10111 ttsss21s 422.3.12.3.1拉普拉斯变换拉普拉斯变换例例4 4 求求解解. . dttt 220222111 ttsss?22 tL22L tLt dt

32、 31s 432.3.12.3.1拉普拉斯变换拉普拉斯变换4 4实位移定理实位移定理 延迟定理延迟定理例例5 5解解. . )( 1)( 1)(atttf )(1)(1)(attLtfL )()(00sFetfLs F(s) ,at 0at 0 10t 0tf 求求 sesas11 seas 1442.3.12.3.1拉普拉斯变换拉普拉斯变换5 5复位移定理复位移定理 )()(AsFtfeLtA a t Le3cos5- tL et )t(eLt35cos2222155 sss-sse 例例6 6例例7 7例例8 8 22533 ss3225 ssss atetL 1asss 1 )(teLt

33、155cos2 22215522 sses1sa452.3.12.3.1拉普拉斯变换拉普拉斯变换6 6初值定理初值定理)(lim)(lim0sFstfst 21)(ssF 例例9 9 ttf )(lim)0(sFsfs 01lim2 sss462.3.12.3.1拉普拉斯变换拉普拉斯变换7 7终值定理终值定理)(lim)(lim0sFstfst )(1)(bsasssF 例例1010 abbsasssfs11lim0 22ssF ttfsin例例11110lim220 sss472.3.12.3.1拉普拉斯变换拉普拉斯变换8 8类似定理时标变换类似定理时标变换482.3.12.3.1拉普拉斯变

34、换拉普拉斯变换( )()tL faF asa9 9卷积积分定理卷积积分定理 0tg tfdg tf t定义卷积积分定义卷积积分那么有卷积积分定理那么有卷积积分定理 0tLg tfdG s F s5 5、用拉氏变换方法解微分方程、用拉氏变换方法解微分方程拉氏反变换拉氏反变换)( 1)()()(21ttyatyaty ssYasas1)()(212 L L变换变换0)0()0( yy)(1)(212asasssY )(1sYLty 系统微分方程系统微分方程L-1L-1变变换换492.3.12.3.1拉普拉斯变换拉普拉斯变换由象函数由象函数F(s)求原函数求原函数f(t),可根据拉氏反变换公式计算可

35、根据拉氏反变换公式计算1) 1) 拉氏变换的定义拉氏变换的定义 0)()(dtetfsFts2 2单位阶跃单位阶跃2) 2) 常见函数常见函数L L变换变换)(tfs15 5指数函数指数函数ate )(1as )(sF)( 1 t1 1单位脉冲单位脉冲1)(t 3 3单位斜坡单位斜坡21 st4 4单位加速度单位加速度31 s22t6 6正弦函数正弦函数t sin)(22 s7 7余弦函数余弦函数t cos)(22 ss6 6、 拉氏变换小结拉氏变换小结502.3.1 2.3.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换2 2微分定理微分定理3) L3) L变换重要定理变换重要定理5 5复位移定理复位移定理1

36、 1线性性质线性性质3 3积分定理积分定理4 4实位移定理实位移定理 (s)Fb(s)Fa(t)fb(t)faL2121 0fsFstfL 0111-fssFsdttfL )()(0sFetfLs )()(AsFtfeLtA 512.3.1 2.3.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换3) L3) L变换重要定理变换重要定理6 6初值定理初值定理7 7终值定理终值定理)(lim)(lim0sFstfst )(lim)(lim0sFstfst 522.3.1 2.3.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换(8)类似定理( )()tL faF asa9 9卷积积分定理卷积积分定理 0tLg tfdG s F s4)

37、 4) 拉氏反变换拉氏反变换 jjstdsesFjtf )(21)(1 1反演公式反演公式2 2查表法分解部分分式法查表法分解部分分式法试凑法试凑法系数比较法系数比较法留数法留数法a)s(sa)-s(saF(s) 1a)s(sF(s) 1例例1 1 知知，求，求?)( tf解解. . ateaf(t) 11 assa111532.3.1 2.3.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换1、拉普拉斯变换 2、传送函数3、典型环节的传送函数2.3 2.3 传送函数传送函数54 传送函数不仅可以表征系统的动态性传送函数不仅可以表征系统的动态性能，而且可以用来研讨系统的构造或参数能，而且可以用来研讨系统的构造或参

38、数变化对系统的影响。变化对系统的影响。)()()(sRsCsG 1) 1) 定义定义: : 在零初始条件下，线性定常系统输出量在零初始条件下，线性定常系统输出量拉氏变换与输入量拉氏变换之比。拉氏变换与输入量拉氏变换之比。552.3.2 2.3.2 传送函数传送函数)(.01)1(1)(01)1(1)(trbrbrbrbcacacacammmmnnnn 11101110.( )( )( ).mmmmnnnnb sbsbsbC sG sR sa sasa sa11110110.( ).( )nnmmnnmma sasa saC sb sbsb sbR s 2.3.2 2.3.2 传送函数传送函数微

39、分方程普通方式：微分方程普通方式：拉氏变换：拉氏变换：传送函数：传送函数：mm 101m 1mnn 101n 1nbsb sbsbG(S)()asa sasamii 1njj 1(sz )K(sp )56 2) 传送函数的性质传送函数的性质 (1) G(s)是复函数；是复函数； (2) G(s)只与系统本身的构造参数有关；只与系统本身的构造参数有关； (3) G(s)与系统微分方程直接关联；与系统微分方程直接关联； (4) G(s) = L g(t) ； (5) G(s) 与与 s 平面上的零平面上的零 极点图相对应。极点图相对应。57 2.3.2 2.3.2 传送函数传送函数1 1原那么上不

40、反映非零初始条件时系统呼应的原那么上不反映非零初始条件时系统呼应的全部信息；全部信息；2 2适宜于描画单输入适宜于描画单输入/ /单输出系统；单输出系统；3 3只能用于表示线性定常系统。只能用于表示线性定常系统。传送函数的局限性传送函数的局限性58 2.3.2 2.3.2 传送函数传送函数传送函数写法：传送函数写法：59 2.3.2 2.3.2 传送函数传送函数012201asasabsb)s (G有理分式有理分式: :)as)(as()bs()s(G010零极点方式零极点方式: :121( )(1)(1)sGsT sT s时间常数方式：时间常数方式：典型环节：传送函数的最简单、最根本构成体。

41、60 2.3.3 2.3.3 典型环节的传送函数典型环节的传送函数1.1.比例环节比例环节常数ksXsYsGtkxty)()()(),()(2.2.积分环节积分环节 TssksXsYsGdttxkty1)()()(,)()(1( )( )( )( )(1)( )dy tTy tx tdtY sGTsX ssT:时间常数时间常数)(tx)(ty)(tx1632. 00T1斜率Ttety1)(Ttetyttx1)()( 1)(时，当tTetYTsssTssXsGsY11)(111111)()()(过程： 2.3.3 2.3.3 典型环节的传送函数典型环节的传送函数举例：举例：)(tx)(ty)(t

42、x)(ty 2.3.3 2.3.3 典型环节的传送函数典型环节的传送函数4.4.振荡环节振荡环节2( )( )22( )( )02d y tdy tTTy tx ttdtdt，1( ),2 221G sT SS T21,( )222nG snTSSnn令则01,( )G s 时的相点是一对共轭复数2( )( )222nY sX ssnn211( ),( )222nX sY ssssnn当则 2.3.3 2.3.3 典型环节的传送函数典型环节的传送函数21221( )1sin(1)1ntny ttteg y(t)y(t)x(t)tnj21jS平面平面 2.3.3 2.3.3 典型环节的传送函数典

43、型环节的传送函数5. 微分环节22222( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )1( )2(12)dx ty tKdtdx ty tKx tdtx tdxG sKSGty tKx tdtsdK sG sKsdst纯微分环节纯微分环节一阶微分环节一阶微分环节二阶微分环节二阶微分环节 2.3.3 2.3.3 典型环节的传送函数典型环节的传送函数6. 6. 延迟环节延迟环节 时滞环节，滞后环节，时延环节时滞环节，滞后环节，时延环节)t (x) t (ye)s (X)s (Y)s (Gsx(t)tty(t) 2.3.3 2.3.3 典型环节的传送函数典型环节的传送函数 2.1 2.

44、1 建立动态微分方程的普通方建立动态微分方程的普通方法法 2.2 2.2 非线性系统微分方程模型的非线性系统微分方程模型的线性化线性化 2.3 2.3 传送函数传送函数2.4 2.4 系统动态构造图系统动态构造图2.5 2.5 自动控制系统的传送函数自动控制系统的传送函数2.6 2.6 信号流图信号流图67第第2 2章章 自动控制系统数学模型自动控制系统数学模型n 微分方程、传送函数等数学模型：微分方程、传送函数等数学模型：n 纯数学表达式，不能反映系统中各元部件对整个纯数学表达式，不能反映系统中各元部件对整个系统性能的影响，系统性能的影响，n 系统原理图、职能方框图系统原理图、职能方框图n

45、虽然反映了系统的物理构造，但又短少系统中各虽然反映了系统的物理构造，但又短少系统中各变量间的定量关系。变量间的定量关系。 n 构造图或称为方框图、方块图：构造图或称为方框图、方块图：n 既能描画系统中各变量间的定量关系，又能明显既能描画系统中各变量间的定量关系，又能明显地表示系统各部件对系统性能的影响。地表示系统各部件对系统性能的影响。n 计算复杂系统的传送函数时，常采用的一种图形计算复杂系统的传送函数时，常采用的一种图形化的处置方式。化的处置方式。n 2.4 系统动态构造图682.4.1 2.4.1 构造图的概念和组成构造图的概念和组成1) 1) 概念概念 将方框图中各时间域中的变量用其拉氏

46、变换将方框图中各时间域中的变量用其拉氏变换替代，各方框中元件的称号换成各元件的传送函替代，各方框中元件的称号换成各元件的传送函数，这时方框图就变成了构造图。数，这时方框图就变成了构造图。2) 2) 组成组成 (1) (1)函数方框：有输入信号，输出信号，传送函数方框：有输入信号，输出信号，传送线，方框内的函数为输入与输出的传送函数。线，方框内的函数为输入与输出的传送函数。 2.4 系统动态构造图69G(s)X(s)Y(s)=G(S)X(S) (2)信号线信号线:(3)引出点引出点(分支点分支点)： 一条传送线上的信号处处相等一条传送线上的信号处处相等 ，引出点，引出点的信号与原信号相等。的信号

47、与原信号相等。 4比较点比较点(综合点，相加点综合点，相加点)： 加号常省略，负号必需标出加号常省略，负号必需标出702.4 系统动态构造图R(s)R(s)-B(s)B(s)+-X(s)X(s)X(s)X(s) 2.4.2 2.4.2 构造图的绘制构造图的绘制 例：绘制双例：绘制双T T网络的构造图网络的构造图rucu11sC21sC1R2R1i2i1u712.4 系统动态构造图2221212111111)()()()()(1)()()()()()(sCsIsuRsususIsCsIsIsuRsususICCr画图时画图时G(s)R(s)C(s)从左向右列从左向右列S S代数方程组代数方程组)

48、()()(sCsGsR722.4 系统动态构造图将上页方程改写如下相乘的方式：将上页方程改写如下相乘的方式：)(1)()(1)()()(1)()()(1)()(222211121111susCsIsIRsusususCsIsIsIRsusuCCr732.4 系统动态构造图绘图：绘图：ur(s)ur(s)为输入，画在最左边。为输入，画在最左边。1/R11/sC11/R21/sC2uC(s)ur(s)u1(s)i1(s)i2(s)-u1(s)-uC(s)这个例子不是由微分方程组这个例子不是由微分方程组代数方程组代数方程组构造图，而构造图，而是直接列写是直接列写 S S 域中的代数方程，画出了构造图

49、。域中的代数方程，画出了构造图。742.4 系统动态构造图 假设重新选择一组中间变量，会有什么结果呢？假设重新选择一组中间变量，会有什么结果呢？ (刚刚中间变量为刚刚中间变量为i1, u1, i2，如今改为，如今改为I, I1, I2)rucu1C2C1R2R1I2II从右到左列方程：从右到左列方程：1111221122211)()()()()()()()()(1)()(RsCsIsusIsCRsIsusIsIsIsIsCsIsurcc752.4 系统动态构造图 这个构造与前一个不一样，所以选择不同的中间变量，这个构造与前一个不一样，所以选择不同的中间变量，构造图也不一样，但是整个系统的输入输

50、出关系是不会变的。构造图也不一样，但是整个系统的输入输出关系是不会变的。11R21sC2R1sC11sC)(sur)(suc)(1sI)(2sI)(sI绘图绘图 762.4 系统动态构造图2.4.3 2.4.3 构造图的等效变换构造图的等效变换 利用构造图求传送函数利用构造图求传送函数复杂的构造图经过变换转化为构造简单的系统复杂的构造图经过变换转化为构造简单的系统 变换原那么：变换原那么： 变换前后系统的输入输出之间数学关系不变变换前后系统的输入输出之间数学关系不变 变换方法：变换方法： 一类为环节的合并；一类为环节的合并；另一类是分支点或相加点的挪动。另一类是分支点或相加点的挪动。772.4

51、 系统动态构造图2.4.3 2.4.3 构造图的等效变换构造图的等效变换1 1、环节的合并、环节的合并1 1串联串联G(s)X(s)Y(s)11211212( )( )( ),( )( )( )( )( )()( )( )()( )x sy sG sGsx sx sy sG s Gsx sy sG sG sGsx s证明：X1(s)G1(s)G2(s)X(s)Y(s)782.4 系统动态构造图 (2)并联并联1211221212( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( ) ( )( )( )( )( )( )y sy sy sx s G sx s G sx s G sG

52、sx s G sG sG sG sG sG sG s证明：G(s)X(s)Y(s)X(s)G2(s)G1(s)Y1(s)Y2(s)Y(S)792.4 系统动态构造图(3)(3)反响反响 这是个单回路的闭环方式，反响能够是负，能这是个单回路的闭环方式，反响能够是负，能够是正，我们用消去中间法来证明。够是正，我们用消去中间法来证明。 其中其中 为回路传送函数。为回路传送函数。G(s)G(s)H(s)H(s)E(s)E(s)R(s)R(s)C(s)C(s)B(s)B(s)C(s)C(s)80R(s)R(s)( )1( )( )G sH s G s2.4 系统动态构造图( )( )Hs G s( )(

53、 )( )( )( )( )( )( )( )( )1( )( )( )( )( )( )1( )()(C sR sB sG sR s G sC s H s G sC sH s G sR sC sG ssR sH s G sG s 以后我们均采用以后我们均采用(s)表示闭环传送函数：表示闭环传送函数： 负反响时，负反响时， (s)的分母为的分母为1回路传送函数，分子是前回路传送函数，分子是前向通路传送函数。向通路传送函数。 正反响时，正反响时， (s)的分母为的分母为1回路传送函数，分子为前回路传送函数，分子为前向通路传送函数。向通路传送函数。 单位负反响时单位负反响时)(1)()(sGsGs

54、812.4 系统动态构造图2.4.3 2.4.3 构造图的等效变换构造图的等效变换2 2、信号相加点及分支点的挪动、信号相加点及分支点的挪动1)1)想加点前移想加点前移2)2)相加点后移相加点后移3)3)相邻相加点之间可以位置互换相邻相加点之间可以位置互换4)4)分支点前移分支点前移5)5)分支点后移分支点后移6)6)相邻分支点可以位置互换相邻分支点可以位置互换7)7)相加点和分支点之间普通不能互换位置相加点和分支点之间普通不能互换位置822.4 系统动态构造图2.4.4 构造图等效变换方法1) 1) 上述三种典型构造环节串联、并联、反响上述三种典型构造环节串联、并联、反响可直接用公式可直接用

55、公式2) 2) 相邻相加点综合点可互换位置相邻相加点综合点可互换位置3) 3) 相邻分支点引出点可互换位置相邻分支点引出点可互换位置留意留意: : 1) 1) 不是典型构造环节不可直接用公式不是典型构造环节不可直接用公式2) 2) 分支点和相加点相邻，不可互换位置分支点和相加点相邻，不可互换位置832.4 系统动态构造图引出点挪动引出点挪动G1G2G3G4H3H2H1abG41G1G2G3G4H3H2H1842.4 系统动态构造图G2H1G1G3综合点挪动综合点挪动向同类挪动向同类挪动G1G2G3H1G1852.4 系统动态构造图G1G4H3G2G3H1作用分解作用分解H1H3G1G4G2G3

56、H3H186 2.1 2.1 建立动态微分方程的普通方建立动态微分方程的普通方法法 2.2 2.2 非线性系统微分方程模型的非线性系统微分方程模型的线性化线性化 2.3 2.3 传送函数传送函数 2.4 2.4 系统动态构造图系统动态构造图 2.5 2.5 自动控制系统的传送函数自动控制系统的传送函数 2.6 2.6 信号流图信号流图87第第2 2章章 自动控制系统数学模型自动控制系统数学模型2.5 2.5 自动控制系统的传送函数自动控制系统的传送函数1. 1. 系统的开环传送函数系统的开环传送函数 2. 2. 闭环系统的传送函数闭环系统的传送函数3. 3. 闭环系统的偏向传送函数闭环系统的偏

57、向传送函数 882.5.1 2.5.1 系统的开环传送函数系统的开环传送函数 控制系统的典型构造控制系统的典型构造: : 前向通道传送函数前向通道传送函数 、 与反响通道传送与反响通道传送函数函数 的乘积称为系统的开环传送函数，相当于的乘积称为系统的开环传送函数，相当于 )(1sG)(2sG)(sH)(/ )(sRsB12( )( )( )( )( )B sG s Gs H sR s892.5 2.5 自动控制系统的传送函数自动控制系统的传送函数 1) 1) 给定输入作用下的闭环传送函数给定输入作用下的闭环传送函数 令令 , ,系统构造图等效为系统构造图等效为 系统输出系统输出 对输入对输入

58、的闭环传送函数为的闭环传送函数为 易知易知 0)(sD)(sC)(sR1212( )( )( )( )( )1( )( )( )G s G sC ssR sG s G s H s)()()()(1)()()()()(2121sRsHsGsGsGsGsRssC902.5.2 2.5.2 系统的闭环传送函数系统的闭环传送函数 2) 2)扰动输入作用下的闭环传送函数扰动输入作用下的闭环传送函数 令令 , ,系统构造图等效为系统构造图等效为 系统输出系统输出 对扰动作用对扰动作用 的闭环传送函数为的闭环传送函数为 系统在扰动作用下的输出为系统在扰动作用下的输出为 )(sC 0)(sR)(sD212(

59、)( )( )( )1( )( )( )DG sC ssD sG s G s H s)()()()(1)()()()(212sDsHsGsGsGsDssCD912.5.2 2.5.2 系统的闭环传送函数系统的闭环传送函数 3) 3)给定输入和扰动输入同时作用下系统的总输出给定输入和扰动输入同时作用下系统的总输出 根据线性系统的叠加原理，系统在多个输入作根据线性系统的叠加原理，系统在多个输入作用下，其总输出等于各种输入单独作用所引起的输用下，其总输出等于各种输入单独作用所引起的输出分量的代数和，系统的总输出为出分量的代数和，系统的总输出为1221212( )( ) ( )( )( )( )1(

60、)( )( )1( )( )( )G s G s R sG s D sC sG s G s H sG s G s H s922.5.2 2.5.2 系统的闭环传送函数系统的闭环传送函数 偏向是指给定输入信号偏向是指给定输入信号 与主反响信号与主反响信号 之间的差值，用之间的差值，用 表示，即表示，即 其拉氏变换为其拉氏变换为 研讨各种输入作用下所引起的偏向变化规律时，研讨各种输入作用下所引起的偏向变化规律时，常用偏向传送函数来表示。常用偏向传送函数来表示。)(tr)(tb)(te)()()(tbtrte)()()(sBsRsE932.5.3 2.5.3 闭环系统的偏向传送函数闭环系统的偏向传送