基本不等式及的应用

1、实用标准文案基本不等式及应用一、考纲要求：1. 了解基本不等式的证明过程.2. 会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.3. 了解证明不等式的基本方法一一综合法.二、基本不等式三、常用的几个重要不等式基本不等式不等式成立的条件等号成立的条件la+b婀&2a0,b0a=b(1)a2+b22ab(a,bR)(2)aba2+b2a+b2(3)-(-)(a,bCR)(4)baa+b*a，b同号且不为零)a=b.上述四个不等式等号成立的条件都是四、算术平均数与几何平均数a-I-b一-一一一一一设a0,b0,则a,b的算术平均数为一尹，几何平均数为洞，基本不等式可叙述为：两个正数的a,bCR+：算术平均

2、数不小于它们的几何平均数四个“平均数”的大小关系;当且仅当a=b时取等号.五、利用基本不等式求最值：设x,y都是正数.(1)如果积xy是定值巳那么当x=y时和x+y有最小值2环.12(2)如果和x+y是定值S,那么当x=y时积xy有最大值S.强调：1、在使用“和为常数，积有最大值”和“积为常数，和有最小值”这两个结论时，应把握三点：正、二定、三相等、四最值”.当条件不完全具备时，应创造条件.正：两项必须都是正数；定：求两项和的最小值，它们的积应为定值；求两项积的最大值，它们的和应为定值。等：等号成立的条件必须存在.2、当利用基本不等式求最大(小)值等号取不到时，如何处理？(若最值取不到可考虑函

3、数的单调性.)想一想：错在哪里？，、11.已知函数f(x)=x+,求函数的最小值和此时x的取值.X11解:f(x)=xww:2x=2xx.一.1一，一.当且仅当x=即x=1时函数x取到最小值2.一、3,八、2 .已知函数f(x)=x+；(x2),x-2求函数的最小值.3 3解：f(x)=x+之2Jxx-2x-2土x-2当且仅当43即x=3时，函数x=x2的最小值是6。大家把x=2+J3代入看一看，会有什么发现？用什么方法求该函数的最小值？精彩文档实用标准文案11,3、已知两正数x,y满足x+y=1,则z=(x+X)(y+y)的取小值为.解一：因为对a0,恒有a-2,从而z=(x+1)(y+1)

4、4,所以z的最小值是4.axy解二:z=2+xxj丫=得+xy)-22yxyxy2=2(小一1),所以z的最小值是2(72-1).【错因分析】错解一和错解二的错误原因是等号成立的条件不具备，因此使用基本不等式一定要验证等号成立的条件，只有等号成立时，所求出的最值才是正确的.,1,11yx1x+y22xy2_【正确斛答】z=(x+Q(y+y)=xy+xy+q+y=xy+xy+%=xy+xy2,.一x+y21.2.1.1,2令t=xy,则0t=xyW(2)由f(t)=t+-在(0,1上单倜递减，故当t=4时，f(t)=t+-有最小值竽,所以当x=y=2时z有最小值-4.误区警示：(1)在利用基本不

5、等式求最值(值域)时，过多地关注形式上的满足，极容易忽视符号和等号成立条件的满足，这是造成解题失误的重要原因.如函数y=1+2x+3(x0)有最大值12、/6而不是有最小值1+x26.(2)当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否都能保证等号成立，并且要注意取等号条件的一致性，否则就会出错.课堂纠错补练：4,，右0xw2-,贝Uf(x)=sinx+品工的取小值为.兀4解析：令sinx=t,00,b0,a+b=1,求证：1+14.【证明】-a0,b0,a+b=1,11a+ba+bba-+；-=2+-+-ababab2+2ya.b=4(当且仅当a=b=2时等号成立).1 1F4.原不等式成立.a

6、b111练习：已知a、b、c为正头数，且a+b+c=1,求证：(-1)(石一1)(2一1)8.证明：:a、b、c均为正实数，且a+b+c=1,(-1)(1-1)(1-1)abc4a-244.一一一,当a2时，a-20,032+a=072+(a-2)+22a-2+2=6,1a1b1c一abcb+ca+ca+b2/bc-2/ac-2/ab=0a*=8.abcabc，一，1一一一当且仅当a=b=c=3时取等号.3考点2利用基本不等式求最值(1)合理拆分项或配凑因式是常用的技巧，而拆与凑的目标在于使等号成立，且每项为正值，必要时需出现积为定值或和为定值.(2)当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否

7、能保证等号成立，并且要注意取等号的条件的一致性,否则就会出错，因此在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，而且也是检验转换是否有误的一种方法.例4：(1)设0x2,求函数y=J2x(2x)的最大值.【分析】由和或积为定值从而利用基本不等式求最值，然后确定取得最值的条件【解】(1),.,0x0,y=yjx42x-=(2,*x2x厂x+2x厂0,求f(x)=+3x的最小值；x(3)已知：x0,y0.且2x+5y=20,求xy的最大值.，4(4)已知y=a2+a,求y的取值氾围.显然aw2精彩文档实用标准文案，一，4当且仅当一=a2,即a=4时取等号，a2当a2时，a-2

8、0,y0,且x+y=1,34求3+4的最小值.xy1.-x0,y0,且x+y=1,，一十一=(一+)(x+y)xyxy3y4x=7+7+2xy当且仅当3y=”,xy即2x=#y时等号成立,34，一+一的取小值为xy7+43.练习：求下列各题的最值.25,(1)已知x0,y0,lgx+Igy=1,求z=x+y的取小值；解：(1)由x0,y0,lgx+lgy=1,可得xy=10.则2+5=型普纯理=2.zmin=2.当且仅当2y=5x,即xy1010x=2,y=5时等号成立.(2)x0,1.f(x)=+3xx3x=12,等号成立的条件是12一=3x,即x=2,xf(x)的最小值是12.一一4x3,

9、求f(x)=x+x的最大值.,.x3,x-30,f(x)=x3+x=x+(x3)+3一4一一一一=3_x+(3x)+30,b0,4a+b=1,求ab的最大值。考点3利用基本不等式求最值的解题技巧1 .代换：化复杂为简单，易于拼凑成定值形式。2.拆、拼、凑，目的只有一个，出现定值.例3：(1)已知a,bwR+a+b+3=ab,求ab的最小值。(2)已知y=2x1-x2(0x1),求y的最大值。一2b2一(3)已知a,bwR+,a2=1,求aU1+b2的最大值。2(4)求函数y=V2x-1+bc0,求2a+ab10ac+25c的取小值。A.2B.4C.25D.5【分析】通过拆、拼、凑创造条件，利用

10、基本不等式求最值，但要注意等号成立时的条件.+a(ab)+a2aba(ab)22、1.1原式=(a-10ac+25c)+ab+ab+a-K,_、21,1+a(ab)=(a5c)+-+ab+-abaa-bab=1当且仅当aa-b二1a=5c练习：(1) (2011年浙江)设x,y为实数，若4x2+y2+xy=1,则2x+y的最大值是解析：4x2+y2+xy=1,.4x2+4xy+y23xy=12332x+y2(2x+y)1=3xy=2-2x-y2.(2)(2x+y)2-18(2x+y)2(2x+y)2-精彩文档实用标准文案即02*+丫笛0当且仅当2x=y时取等号，(2x+y)最大值=2/10.一

11、一，51(2)已知xy0,xy=1,求的最小值及相应的x,y的值。x-y考点4基本不等式的实际应用应用基本不等式解决实际问题的步骤是：(1)仔细阅读题目，透彻理解题意；(2)分析实际问题中的数量关系，引入未知数，并用它表示其他的变量，把要求最值的变量设为函数；(3)应用基本不等式求出函数的最值；(4)还原实际问题，作出解答.例4围建一个面积为360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，如图所示.已知旧墙的维修费用为45元/m,新墙的造价为180元/m.设利用的旧墙长度为x(单位：m),修建此矩形场地围墙

12、的总费用为y(单位：元).(1)将y表示为x的函数；(2)试确定x使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用.【分析】(1)首先明确总费用y=旧墙维修费+建新墙费，其次，列出y与x的函数关系式；(2)利用基本不等式求最值，最后确定取得最值的条件，作出问题结论.【解】(1)如图，设矩形的另一边长为am.则y=45x+180(x2)+180x2a=225x+360a360.22故=.时,等号成立.,口360由已知xa=360,得a=x2360I所以y=225x+360(x2).(2) .x2,225x+360-2225X3602=10800.,y=225x+36036010440.当且仅当

13、x即当x=24m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元.方法归纳：(1)利用基本不等式解决实际问题时，应先仔细阅读题目信息，理解题意，明确其中的数量关系，并引入变量，依题意列出相应的函数关系式，然后用基本不等式求解.(2)在求所列函数的最值时，若用基本不等式时，等号取不到，可利用函数单调性求解.练习：1、有一座大桥既是交通拥挤地段，又是事故多发地段，为了保证安全，交通部门规定：大桥上的车距d(m)精彩文档实用标准文案与车速v(km/h)和车长l(m)的关系满足：d=kv2l+；l(k为正常数)，假定车身长都为4m,当车速为60km/h时，车距为2.66个车身长.(2)解:写出车距d关于车速v的函数关系式；应规定怎样的车速，才能使大桥上每小时通过的车辆最多?2.661-1、“222.16(1).当v=60km/h时，d=2.661,.k=-=-=0.0006,(2)设每小时通过的车辆为Q,则Q=1000vd+41000v0.0024V2+6100060.0024v十一v.d=0.0024v2+2.-0.0024v+62/0.0024v9=0.24,QC1000=12500.vv0.243当且仅当0.0024V=6,即v=50时，Q取最大值与00.v3答：当v=50km/h时，大桥上每小时通过的车辆最多.2、设计一幅宣传画，要求画面面积为484