天津南开中学高考数学概率、随机变量分布列练习含解析

1、天津市南开中学2015届高考数学概率、随机变量分布列练习(含解析)一、互斥事件与相互独立事件的概率1.甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束.假设在一局中，甲获胜的概率为0.6,乙获胜的概率为0.4,各局比赛结果相互独立.已知前2局中，甲、乙各胜1局.(1)求再赛2局结束这次比赛的概率；(2)求甲获得这次比赛胜利的概率.解记A表示事件：第i局甲获胜，i=3,4,5,B表示事彳第j局乙获胜，j=3,4.(1)记A表示事件：再赛2局结束比赛.A=AA+B3B.由于各局比赛结果相互独立，故P(A)=P(AA+BB)=P(AA)+P(B)=P(AORA)+P(B3)RR

2、)=0.6X0.6+0.4X0.4=0.52.(2)记B表示事件：甲获得这次比赛的胜利.因前2局中，甲、乙各胜1局，故甲获得这次比赛的胜利当且仅当在后面的比赛中，甲先胜2局，从而B=A,A+R,At,A+A?。B4,A,由于各局比赛结果相互独立，故P(B)=P(AA)+RR)+*RA5)=P(A?)RA)+P(B3)P(A)RA)+P(A?)P(B)RA)=0.6X0.6+0.4X0.6X0.6+0.6X0.4X0.6=0.648.2.某银行柜台设有一个服务窗口，假设顾客办理业务所需的时间互相独立，且都是整数分钟，对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如下：办理业务所需的时间/分12345频率0

3、.10.40.30.10.1从第一个顾客开始办理业务时计时.(1)估计第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务的概率；(2)X表示至第2分钟末已办理完业务的顾客人数，求X的分布列及数学期望.解设Y表示顾客办理业务所需的时间，用频率估计概率，得Y的分布列如下：Y12345P0.10.40.30.10.1(1)A表示事件“第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务”，则事件A对应三种情形：第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为3分钟；第一个顾客办理业务所需的时间为3分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为1分钟；第一个和第二个顾客办理业务所需的时间均为2分钟.所以P(A)=P(

4、Y=1)RY=3)+P(Y=3)RY=1)+P(Y=2)P(Y=2)=0.1x0.3+0.3X0.1+0.4X0.4=0.22.(2)法一X所有可能的取值为0,1,2.X=0对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2分钟，所以F(X=0)=RY2)=0.5;X=1对应第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟且第二个顾客办理业务所需的时间超过1分钟，或第一个顾客办理业务所需的时间为2分钟，所以RX=1)=RY=1)RY1)+P(Y=2)=0.1X0.9+0.4=0.49;X=2对应两个顾客办理业务所需的时间均为1分钟，所以RX=2)=RY=1)RY=1)=0.1X0.1=0.01；所以X的分布列为X01

5、2P0.50.490.01E(X)=0X0.5+1X0.49+2X0.01=0.51.法二X的所有可能取值为0,1,2.X=0对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2分钟,所以RX=0)=RY2)=0.5;X=2对应两个顾客办理业务所需的时间均为1分钟，所以RX=2)=RY=1)RY=1)=0.1X0.1=0.01；P(X=1)=1RX=0)RX=2)=0.49;所以X的分布列为X012P0.50.490.01E(X)=0X0.5+1X0.49+2X0.01=0.51.、超几何分布:1 .袋中装有4个白棋子，3个黑棋子，从袋中随机地取出棋子，若取到一个白棋子得2分,取到一个黑棋子得1分，现从袋中

6、任取4个棋子.(1)求得分X的分布列；(2)求得分大于6的概率.解：(1)袋中共7个棋子，以取到白棋子为标准，则取到白棋子的个数为1,2,3,4,对应的得分X为5,6,7,8.由题意知，取到的白棋子数服从参数为N=7,M=4,n=4的超几何分布，故得分也服从该超几何分布P(X=5)=等C7噎P)二等35C78.351P(X=7)=C74=H；P(X=8)咯35C7135所以X的分布列为P(X6)=P(X=7)P(X12=8)=35351335X567848121P35353535(2)根据的分布列，可得到得分大于6的概率为2 .甲、乙两人参加某选拔考试，本次选拔考试采用现场答题的方式来进行，已

7、知在备选的10道题中，甲能答对其中的6道题，乙能答对其中的8道题，规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才能入选.(1)求甲答对试题数的概率分布；(2)求甲、乙两人至少一人入选的概率解：(1)甲答对试题数之的可能取值为0,1,2,3,则P(=0)=5尸(用户皆C1030C1010._返_1Pzt_3_c6_1P(-2)-3-,P(3)-3-C102C106其分布列为：01231311P301026(2)法一：设甲、乙、两人考试合格的事件分别为A,B则P(A)二*道i，p(b):C；0C13015因为事件A,B相互独立，所以甲、乙两人考试不合格的概率为214P(AB)=P(A

8、)P(B)=(1-/-行)145所以甲、乙两人至少有一人合格的概率为1P=1-P(AB)=1454445法二：甲、乙两人至少有一人合格的概率为P=P(AB)P(AB)P(AB)21114214=315315315三、独立重复试验与二项分布44451.设不等式x2+y2E4确定的平面区域为U,|x|+|y|E1确定的平面区域为V.(1)定义横、纵坐标为整数的点为“整点”,在区域U内任取3个整点，求这些整点中恰有2个整点在区域V内的概率;(2)在区域U内任取3个点，记这3个点在区域V内的个数为X,求X的分布列和数学期望.【解析】(1)依题可知平面区域p的整点为(02)式0,1(0：2),(土LOM

9、NOML1)共有13个,C2C14口平面区域V的整点为(O,O)?(O,1)T(L0)共有5个，尸=芸1=143(II)依题可得：平面区域匚的面积为大2：=47，平面区域，的面积为：2x2=2,在区域内任取1个点,则该点在区域炉内的概率为一=易知：X的可能取值为且尸=1)=qi(2/1-3(2*1)一23(21)8，的数学期望：=_rJ-+2x-iz-+Sxr=(或者：1,故EY=wp=Jx=)-2乃2尸2.现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2

10、的人去参加乙游戏.(1)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；(2)求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；(3)用X,Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记E=|X-Y|.求随机变量E的分布列与数学期望日E).解依题意，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为1,去参加乙游戏的概率为2.设33“这4个人中恰有i人去参加甲游戏”为事件A(i=0,1,2,3,4)827p(a)=c4S仔T(1)这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率p(a2)=c21j(2)设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件B,则B=A19.UA.由于A与A互斥，故P(B)=

11、P(A3)+P(A4)=C31ji|J+C：所以，这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为(3)工的所有可能取值为0,2,4.,一一一8由于A与A?互斥，A与A互斥，故RE=0)=RA)=亏,4017P(E=2)=RA)+P(A3)=87,抬=4)=巳与+巳人)=而所以E的分布列是024P82740811781一的期望E(E)=0X卷+2X40+4X17=148.2(O1O1O1四、基本训练:1.已知的分布列如下:1234P11114364并且”=2上+3,则方差D。=()179143c299A.B.C.D36367222772179122解:由于E+1月+2/输心+4乂三4

12、3641229-1293工+*x4)124121291291贝“D右；父（二）“石乂（2-石）/乂4123120又由刀二2彳中3,Dti=2勺1179179故方差Dti=4F=912，36故答案为二A2.一个均匀小正方体的六个面中，三个面上标有数字0,两个面上标有数字1,一个面上标有数字3,将这个小正方体抛掷两次，则向上的数之积的数学期望是（）A.B.C.736D.2536解：一个均匀小正方体的六个面中，三个面上标以数5两个面上标以数1，一个面上标以数3，,每次腼向上的数为口的概率为;，向上的数为1的概率为J，向上的薮为3的概率为，O出题意知两次向上的数之租己的可能取值为0,I，3,9,(=3

13、)(c=S)=1-(1-1)(111二一X-=一,33911111三一X1一十一M一三一于36639111=-X二，6636311125”尹。宇1夕3宇9市故选：D.3.现有甲、乙、丙三人参加某电视台应聘节目非你莫属1,若甲应聘成功的概率为一2乙、丙应聘成功的概率均为工(0t0,P代=2)-P伐=0)2_-t4t-2八0，42t-t2P(t=2)P(C=3)=0,又因为0ct2,所以解得t的取值范围为1t0)万元，投资B项目资金为y(y0)万元，调研结果是：未来一年内，位于一类风区的A项目获利30%的可能性为0.6,亏损20%的可能性为0.4;位于二类风区的B项目获利35%的可能性为0.6,亏损10%的可能性是0.1,不赔不赚的可能性是0.3.(1)记投资AB项目的利润分别为片和“，试写出随机变量已与。的分布列和期望E：,E”;(2)某公司计划用不超过100万元的资金投资于A,B项目，且公司要求对A项目的投资不得低于B项目，根据(1)的条件和市场调研，试估计一年后两个项目的平均利润之和z=E+E刈的最大值