完整版空间内插方法比较

1、一、空间数据的插值用各种方法采集的空间数据往往是按用户自己的要求获取的采样观测值，亦既数据集合是由感兴趣的区域内的随机点或规则网点上的观测值组成的。但有时用户却需要获取未观测点上的数据，而已观测点上的数据的空间分布使我们有可能从已知点的数据推算出未知点的数据值。在已观测点的区域内估算未观测点的数据的过程称为内插；在已观测点的区域外估算未观测点的数据的过程称为外推。空间数据的内插和外推在GIS中使用十分普遍。一般情况下，空间位置越靠近的点越有可能获得与实际值相似的数据，而空间位置越远的点则获得与实际值相似的数据的可能性越小。下面介绍一些常用的内插方法。1、边界内插使用边界内插法时，首先要假定任何

2、重要的变化都发生在区域的边界上，边界内的变化则是均匀的、同质的。边界内插的方法之一是泰森多边形法。泰森多边形法的基本原理是，未知点的最佳值由最邻近的观测值产生。如图4-6-1所示。泰森多边形的生成算法见5.7o2、趋势面分析趋势面分析是一种多项式回归分析技术。多项式回归的基本思想是用多项式表示线或面，按最小二乘法原理对数据点进行拟合，拟合时假定数据点的空间坐标X、丫为独立变量，而表示特征值的Z坐标为因变量。当数据为一维时，可用回归线近似表示为：一r一其中，2、ai为多项式的系数。当n个采样点方差和为最小时，则认为线性回归方程与被拟合曲线达（Zt-min到了最佳配准，如图4-6-2左图所示，即：

3、士-1当数据以更为复杂的方式变化时，如图4-6-2右图所示。在这种情况下，需要用到二次或高次多项式:（二次曲线）Z二口0+axX+aiX在GIS中，数据往往是二维的，在这种情况下，需要用到二元二次或高次多项式:Z（二次曲面）多项式的次数并非越高越好，超过3次的多元多项式往往会导致奇异解，因此，通常使用二次多项式。趋势面是一种平滑函数，难以正好通过原始数据点，除非数据点数和多项式的系数的个数正好相同这就是说，多重回归中的残差属正常分布的独立误差，而且趋势面拟合产生的偏差几乎都具有一定程度的空间非相关性。3、局部内插在GIS中，实际的连续空间表面很难用一种数学多项式来描述，因此，往往使用局部内插技

4、术，即利用局部范围内的已知采样点的数据内插出未知点的数据。常用的有线性内插、双线性多项式内插、双三次多项式（样条函数）内插。（1）、线性内插线性内插的多项式函数为：,一L1J18后，空间相关消失。 指数模型空间相关随距离的增长以指数形式衰减，相关性消失于无穷远。9表示距离，在此距离上95%的变量的可变性趋于稳定。 高斯模型空间相关随距离的增长而衰减，相关性消失于无穷远。曲线起始一段的形状是抛物线，表示变量的空间变化非常平滑。阻尼正弦模型阻尼正弦模型适宜于周期性变化的空间变量，但其变化强度随距离的增长而衰减。9表示周期。 线性模型空间可变性随距离的增长而呈线性地增长，不会在某一距离稳定下来。变异

5、函数的形式是内插质量的关键。需要注意的是，由于不同的区域有不同的空间模式，因而也就有不同的变异函数。而空间内插都有一个隐含的假定，即空间是连续的，因此，在选择变异函数模型之前，检查数据以确定空间连续性是十分必要的。2.3.2Cokriging内插Cokriging(共协kriging)内插的基本原理与Kriging相同，但它通过考虑一个以上变量而优化估计；内插由于考虑了变量之间的关系而得到改善。例如，在估计温度、降水等气候变量时，海拔高度是附加的重要变量。Cokriging内插包括以下过程：确定多个观测值之间空间相关的特征；借助于变异函数和交叉变异函数(crossvariogram),对相关建

6、模；利用这些函数估计内插值。除公式(7)、(8)外，Cokriging引入一个新的假定，即两个变量之间差值的方差最小。VarZ(x)-Zk(x)=2丫k(h)(10)式中，Zk(x)是与估计值Z(x)相关的第k个变量。Cokriging中引入交叉变异函数，它是两个不同变量之间的相关随距离变化的函数。它与简单变异函数不同，前者的形式是方差，因此总为正或零；而后者的形式为协方差，因此可以为正、负或零。如果两个变量向相反的方向变化，交叉变异函数为负；如果两个变量的变化相独立，交叉变异函数为零。交叉变异函数的形式为：(11)Cokriging内插的关键是估计交叉变异函数，以分析变量自身以及变量之间的空

7、间相关。Cokriging的其它过程都是与Kriging一致的。2.4 函数方法是使用函数逼近曲面的一种方法。函数方法在空间内插领域大多用于一些特殊场合，如利用高密度的高程数据产生等高线、为提高格网数据的空间分辨率而内插数据等。对于利用有限的观测数据进行缺值预测和内插格网，函数方法多不适合，因为它难以满足内插的精度，也难以估计误差。函数方法的特点是不需要对空间结构的预先估计、不需要做统计假设。缺点是难以对误差进行估计，点稀时效果不好。常用的函数方法有：傅里叶级数、样条函数、双线性内插、立方卷积法等。2.4.1 傅里叶级数对于周期性的数据序列，如海浪，可以利用傅里叶级数将它们分解为正弦波和余弦波

8、。2.4.2 样条函数方法样条函数是使用函数逼近曲面的一种方法。样条函数易操作，计算量不大，它与空间统计方法相比具有以下特点，不需要对空间方差的结构做预先估计；不需要做统计假设，而这些假设往往是难以估计和验证的；同时，当表面很平滑时，也不牺牲精度。样条函数适合于非常平滑的表面，一般要求有连续的一阶和二阶导数；它适合于根据很密的点内插等值线，特别是从不规则三角网(TIN)内插等值线。样条函数的缺点是难以对误差进行估计，点稀时效果不好。样条函数的种类很多，最常用的有B样条、张力样条和薄盘样条等。2.4.3 双线性内插双线性内插和立方卷积法都主要用于网格数据的内插（重采样），一般很少用于根据离散数据

9、内插空间分布。它使用与待估计网格距离最近的4个网格值，线性内插获得新的网格值。双线性内插方法的优点是数据重采样后的结果较为平滑，没有阶跃效应，同时具有较高的精度。缺点是网格被平均化，具有低频滤波的效果；边缘被平滑，有些极值丢失了。2.4.4 立方卷积法是最常使用的网格数据内插方法之一。它使用与待估计网格距离最近的16个网格值，根据立方卷积公式计算输出。立方卷积公式有几个不同版本，有的产生低通滤波的效果，有的产生高通滤波的效果，较好的方法应该在高频信息和低频信息的取舍间取得平衡。立方卷积法的优点是采样结果的统计信息（均值和方差）与原数据的相似程度比其他采样方法高。缺点是数据值被改变，因此不能用于

10、类型数据（专题图）的内插。立方卷积法特别适宜于显著改变了网格尺寸，但要保持原数据统计特性的数据内插，如数字高程数据的重采样。2.5 随机模拟方法其基本假设与空间统计方法不同，随机模拟认为地理空间具有非平稳性，是空间异质的。它通过空间分布现象的可选的、等概率的、数值表达（地图）来对空间不确定性建模。对应不确定性，可以接受可选的多个答案。与空间统计方法不同，随机模拟方法不是产生唯一的估计结果，它产生一系列可选的结果，它们都与实际数据一致，而且相关模型将它们联系起来。随机模拟方法的最大优点是定义了各种随机变量之间的空间相关，这类相关可以根据相邻数据把高度不确定性的先验分布更新为低不确定性的后验分布。

11、缺点是建模困难，计算量大。常用的随机模拟方法有高斯过程、马尔科夫过程、蒙特卡罗方法、人工神经网络方法等。2.6 确定性模拟其基本假设是变量的空间分布受物理定律控制，因此，可以使用物理模型或半经验、半物理的模型模拟空间分布。对于这一类内插，常常是使用有限的观测值获得一些必须的经验参数，再把这些参数代入到物理模型之中。典型的例子是，GC娓一个纯物理模型，但它的参数化使用了经验方法。在山区气候变量的内插过程中，也大量使用这种方法。确定性模拟的最大优点即它的确定性，它不依赖或很少依赖观测样本。但空间现象是否可以被确定性地预测以及我们是否可以持这一乐观的信念十分值得怀疑。2.7 综合方法是以上几种方法的

12、综合。对于空间变量，一般能够用不同的方法分别对结构化变量、随机变量和观测误差（残差）建模。王劲峰把空间变量分解为：空间变量=趋势+周期+随机+噪声（12）并分别用统计方法、谱函数、人工神经网络和随机过程建模描述相应的成分。综合方法还适宜于能够得到辅助性数据，如遥感数据的场合。通过从辅助性数据中提取空间模式，在合理的数据结构，如四叉树的支持下，划分空间同质的区域，从而逼近最佳的预测值。3结论与建议3.1 结论（1）空间内插可依据其基本假设和数学本质分类为：几何方法、统计方法、空间统计方法、函数方法、随机模拟方法、物理模型模拟方法和综合方法。（2）空间内插是极为重要的GIS空间分析方法。对于观测台

13、站稀少，而测点分布又极不合理的地区，空间内插是研究这些区域空间变量空间分布的基本方法，是建立空间模型的前提之一。（3）空间数据探索分析是分析地理数据的重要工具，它的一个重要目标是估计空间变量的变异函数。变异函数反映空间相关随距离变化的特征，可以用几个基本变异函数模型描述。根据变异函数，可以判断数据是否具有平稳性，是否符合空间统计的本征假设。（4）本文比较了主要的空间内插方法，分析了各种方法的假设、适用范围、算法和优缺点，并且重点介绍了空间统计方法。必须指出，对于众多的空间内插方法而言，没有绝对最优的空间内插方法，只有特定条件下的最优方法。因此，必须依据数据的内在特征，依据对数据的空间探索分析，

14、经过反复实验，选择最优的空间内插方法。同时，应对内插结果做严格的检验。3.2 对空间内插研究的建议(1)开发通用空间内插软件。空间内插是地理学的基本问题，也是GIS重要的空间分析方法。但现有的GIS软件中包括的空间内插方法都很少，如ARC/INFO中只有趋势面、Kriging和一些特定用途的函数方法，而且它们的界面不友好，难以使用。因此，应开发具有以下特点的通用空间内插软件：包括尽可能多的空间内插例程；智能化的人机界面，提供友好的人机界面，通过一系列有关用户意图、目标和数据特性的问题，引导用户，使用户选择最适宜的方法；良好的数据库接口，与GIS的兼容性。利用ODBC(开放数据库互联)等技术手段

15、从各种关系数据库中析取所需数据，生成与GIS兼容的空间数据和属性(表)数据。(2)智能化。智能化的一个目标是减少内插中的主观性。例如，变异函数模型的选择具有很大的经验成分，变异函数的拟合往往是依据经验，反复实验的结果。应通过人机交互减少这种主观性。智能化的另一个目标是通过人为干预，在内插中考虑非地带性因素的影响。如地下水等埋深线是与河流平行的，地质现象的内插必须考虑断层，人为干预可以对这些非区域化的因子建模。(3)加强基础研究。空间内插方法都建立在一定的假设基础上，这些假设都有一定的局限性。在这些假设中，我们往往回避的是空间不连续性和空间异质两个问题，如何将地理空间分解为不同区域？分区后是否存在界面处的不连续现象？如何对空间异质的区域建模都是亟需回答的重要问题。4.6空间数据的插值方法在已观测点的区域内估算未观测点的数据的过程称为内插；在已观测点的区域外估算未观测点的数据的过程称为外推。空间数据的内插和外推在GIS中使用十分普遍。数字高程模型(DEM),也称数字地形模型(DTM),是一种对空间起伏变化的连续表示方法。一、空间数据的插值在已观测点的区域内估算未观测点的数据的过程称为内插；在已观测点的区域外估算未观测点的数据的过程称为外推。空间数据的内插和外推在GIS中使用十分普遍。一般情况下，空间位置越靠近的点越有可能获得