小学奥数平面几何六种面积模型

1、小学奥数平面几何五种模型（等积，鸟头，蝶形，相似，共边）目标：熟练掌握五大面积模型等积，鸟头，蝶形，相似（含金字塔模型和沙漏模型），共边（含燕尾模型和风筝模型），掌握五大面积模型的各种变形知识点拨一、1等积变形模型等底等高的两个三角形面积相等；两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比;两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；如右图=a:b夹在一组平行线之间的等积变形，如右图SACD=aBCD；反之，如果&acd=SxBCD,则可知直线AB平行于CD.等底等高的两个平行四边形面积相等（长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形）三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；两个平行四边

2、形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比.2一半模型阴影图形占整个图形面积的一半。一般在平行四边形中常见一半模型，任取一点与其四个顶点连线，所构成的三角形占平行四边形面积的一半。当然在梯形中也常见一半模型。最下面三个图，边上的点都为中点二、鸟头定理两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形.共角三角形的面积比等于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比.如图在4ABC中，D,E分别是AB,AC上的点如图（或D在BA的延长线上，E在AC上）,则Saabc：Saade=(ABAC)：(ADAE)任意四边形中的比例关系（“蝶形定理”）：S：S=$

3、4£或者&2=&xs4(2)AO:OC=(S1+S2):(S4+S3)蝶形定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径.通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系.梯形中比例关系（“梯形蝶形定理”）：S:S3=a2:b22)S1:S3:S2:S4=a2:b2:ab:ab;S的对应份数为（a+b二）沙漏模型四、相似模型D"AEDEaf.AB-AC-BC-AG，（一）金字塔模型S>AADE:S>AABC所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形（只要其形状不

4、改变,不论大小怎样改变它们都相似），与相似三角形相关的常用的性质及定理如相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比；相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半.相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具.在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形.五、共边定理（燕尾模型和风筝模型）DOS3ASiAD在三角形ABC中，AD,BE,CF相交于同一点O,那么S必bo:S邱。=BD:DC.上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段

5、，因为AABO和AACO的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理.该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径.典型例题【例1】如图，正方形ABCD边长为6,AE=1.5,CF=2.长方形EFGH勺面积为【解析】连接DEDF,则长方形EFGH勺面积是三角形DEF®积的二倍.三角形DEF勺面积等于正方形的面积减去三个三角形的面积，Sdef=6父6-1.5父6*2-2父6+24.5父4=2=16.5,所以长方形EFGH面积为33.BF【巩固】如图所示，正方形ABCD的边长为8厘米，长方

6、形EBGF的长BG为10厘米，那么长方形的宽为几厘米？C【解析】本题主要是让学生会运用等底等高的两个平行四边形面积相等（长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形）.三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半.证明：连接AG.（我们通过4ABG把这两个长方形和正方形联系在一起）.1.在正方形ABCD中，SzxabgABMAB边上的图,1二S"BG=20ABCD（三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半）1一同理,Saabg=2Sefgb.长方形的宽正方形ABCD与长方形EFG面积相等.0=6厘米）.【例2】长方形ABCD的面积为36cm2,E、F、G为各边中点,H为AD边上

7、任意一点，问阴影部分面积是多少?二1S.FhB=-S.CHBSDHG1八.-SDHC,而2，【解析】解法一：寻找可利用的条件，连接BH、HC,如下图:1-可得：S作HBnS&HB11即S告HB+SaHF+S国HG=(S浅HB+SHBSSpHD)36=18；而SeHB'SBHF'SDHG=SI影.SEBF-1111-1S花BF=xBExBF=x(mAB)m(XBC)=X36=4.5.22228所以阴影部分的面积是：Sw=18_S/ebf=18-4.5=13.5解法二：特殊点法.找H的特殊点，把H点与D点重合,那么图形就可变成右图：S阴影这样阴影部分的面积就是=SabCD-

8、SAED-SBEF一SCFDDEF的面积，根据鸟头定理，则有:“11”1二36-36-222111一父36父一父36=13.5.222【巩固】在边长为6厘米的正方形ABCD内任取一点P,将正方形的一组对边二等分，另一组对边三等分，分别与P点连接，求阴影部分面积.【解析】（法1）特殊点法.由于P是正方形内部任意一点，可采用特殊点法，假设P点与A点重合，则阴影部分变为如上中图所示，图中的两个阴影三角形的面积分别占正方形面积的1和1,所以阴影部分的面积为4662父（1+，=15平方厘米.46（法2）连接PA、PC.由于加AD与加BC的面积之和等于正方形ABCD面积的一半，所以上、下两个阴影三角形的面

9、积之和等于正方形ABCD面积的1,同理可知4左、右两个阴影三角形的面积之和等于正方形ABCD面积的1,所以阴6影部分的面积为62X（1+1）=15平方厘米.4670,AB=8,【例3】如图所示，长方形ABCD内的阴影部分的面积之和为AD=15,四边形EFGO的面积为.【解析】利用图形中的包含关系可以先求出三角形AOE、DOG和四边形EFGO的面积之和，以及三角形AOE和DOG的面积之和，进而求出四边形EFGO的面积.由于长方形ABCD的面积为15x8=120,所以三角形BOC的面积为120Ml=30,所以三角形AOE和DOG的面积之和为12070=20；44又三角形AOE、DOG和四边形EFG

10、O的面积之和为120M：13父1+6父一=2.7.5|=30,所以24四边形EFGO的面积为3020=10.另解：从整体上来看，四边形EFGO的面积=三角形AFC面积+三角形BFD面积白色部分的面积，而三角形AFC面积+三角形BFD面积为长方形面积的一半，即60,白色部分的面积等于长方形面积减去阴影部分的面积，即12070=50,所以四边形的面积为60-50=10.【巩固】如图，长方形ABCD的面积是阴影部分的面积为36,E是AD的三等分点，AE=2ED,贝U【解析】如图，连接OE.2SCAE:S&DE=1:1,所以根据蝶形定理，ON:ND=S&oe:Sde1。S曲E飞2SA,

11、OED11cOM:MA-S作oe:S&ae-S&de:S作ae-1.4,所以SioemSioea.2511又SmED&巨形ABCD=3,StoEA-2SOED-6,所以阴影部分面积为:34例4已知ABC为等边三角形，面积为400,D、E、F分别为三边的中点，已知甲、乙、丙面积和为143,求阴影五边形的面积.（丙是三角形HBC）【解析】因为D、E、F分别为三边的中点，所以DE、DF、EF是三角形ABC的中位线，也就与对应的边平行，根据面积比例模型，三角形ABN和三角形AMC的面积都等于三角形ABC的一半，即为200.根据图形的容斥关系，有Sabc-Sw=S，aBN+SMM

12、C-SAMHN,即400S丙=200+200Samhn,所以Sf=Samhn.又SK影+SADF=SR+SAMHN,所以1i_Sw=&+S+Sw_S&df=143父400=43.4【例5】如图，已知CD=5,DE=7,EF=15,FG=6,线段AB将图形分成两部分，左边部分面积是38,右边部分面积是65,那么三角形ADG的面积是.连接AF,BD.根据题意可知，CF=5+7+15=27；DG=7+15+6=28；H匚I'IG.=15G.-12217所以,SfeEF27SCBF,S作EC-27SCBF,SEG2&SDG,S密ED-2&S&DG,21_

13、15_7_12_于ZE:28S以DG27SCBF=65；28S&DG27SCBF=38；可得S&dg=40.故三角形ADG的面积是40.【例6】如图在4ABC中，D,E分别是AB,AC上的点，且AD:AB=2:5AE:AC=4:7,SAade=16平方厘米，求ABC的面积.【解析】连接BE,SAade：SAabe=AD：AB=2:5=(2m4)：(5m4),&abe：SAabc=AE：AC=4：7=(4M5)：(7M5),所以Sade：Saar(24)x(7,设SAade=8份，则S.abc=35份，SAade=化平方厘米，所以1份是2平方厘米，35份就是70平方厘米，

14、ABC的面积是70平方厘米.由此我们得到一(相等角个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角或互补角)两夹边的乘积之比.【巩固】如图，三角形ABC中，AB是AD的5倍，AC是AE的3倍，如果三角形ADE的面积等于1,那么三角形ABC的面积是多少？EC=3AES|_ABC=3SaBE又AB=5ADSL|ADE=S_ABE丁5=S_ABC丁15,SABC15SADE=15.【巩固】如图，三角形ABO分成了甲(阴影部分)、乙两部分，BD=DC=4,BE=3,AE=6,乙部分面积是甲部分面积的几倍？【解析】连接AD.BE=3,AE=6AB=3BE,Sabd=3Sbde又BD=DC=4,SUa

15、BC=2SaBD,SABC=6Sbde,&=5辱.【例7】如图在4ABC中，D在BA的延长线上，E在AC上，且AB:AD=5:2,AE:EC=3:2,Skade=12平方厘米，求4ABC的面积.连接BE,sade:SaABE=AD:AB=2:5=(2m3):(5m3)SABE:SAABC=AE:AC=3:(32)=(35):1(32)5,所以SAADE:SAABC=(3m2)5(32)6:25设S.ade=6份,贝USkabc=25份,S.ade=12平方厘米，所以1份是2平方厘米，25份就是50平方厘米，4ABC的面积是50平方厘米.由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的

16、面积比等于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比【例8】如图，平行四边形ABCD,BE=AB,CF=2CB,GD=3DC,HA=4AD,平行四边形ABCD的面积是2,求平行四边形ABCD与四边形EFGH的面积比.连接AC、BD.根据共角定理;在4ABC和ABFE中，NABC与NFBE互补,.SAabcABBC111-SAFBE-BEBF-133又SAABC=1,所以SAFBE=3.同理可得SGCF=8,SADHG=15,SAAEH=8所以SEFGHSAAEH+SACFG+SADHG+SABEF*SABCD=8+8+15+3+2=36.所以=工=1.Sefgh3618【例9】如图所示的四边形的

17、面积等于多少?10CO【解析】题目中要求的四边形既不是正方形也不是长方形，难以运用公式直接求面积.我们可以利用旋转的方法对图形实施变换：把三角形OAB绕顶点O逆时针旋转，使长为13的两条边重合，此时三角形OAB将旋转到三角形OCD的位置.这样，通过旋转后所得到的新图形是一个边长为12的正方形，且这个正方形的面积就是原来四边形的面积.因此，原来四边形的面积为12M12=144.（也可以用勾股定理）【例10如图所示，AABC中，ZABC=90%AB=3,BC=5,以AC为一边向AABC外作正方形ACDE,中心为O,求AOBC的面积.【解析】如图，将AOAB沿着O点顺时针旋转90°,到达A

18、OCF的位置.由于/ABC=90，ZAOC=90，所以/OAB+/OCB=180L而/OCF=/OAB,所以/OCF+NOCB=180，那么B、C、F三点在一条直线上.由于OB=OF,BOF=ZAOC=90S,所以ABOF是等腰直角三角形，且斜边8尸为5+3=8,所以它的面积为82J=16.4根据面积比例模型，/BC的面积为16X5=10.8【例11如图，以正方形的边AB为斜边在正方形内作直角三角形ABE,/AEB=90，AC、BD交于O.已知AE、BE的长分别为3cm、5cm,求三角形OBE的面积.11【解析】如图，连接DE,以A点为中心,将AADE顺时针旋转90。到AABF的位置.那么/E

19、AF=/EAB+/BAF=/EAB+/DAE=90。，而/AEB也是90,所以四边形AFBE是直角梯形，且AF=AE=3,所以梯形AFBE的面积为：(3+5产3h1=12(cm2).又因为MBE是直角三角形，根据勾股定理,22222AB=AE+BE=3+5=34,1 .一所以Sabd=万ab=17(cm).刃B么S在de=SBD(SBE+S&DE)=S为BDSaFBE1712=5(Cm),2 .所以S由BE=2S商DE=2-5(Cm).【例12】如下图，六边形ABCDEF中，AB=ED,AF=CD,BC=EF,且有AB平行于ED,AF平行于CD,BC平行于EF,对角线FD垂直于BD,已

20、知FD=24厘米，BD=18厘米，请问六边形ABCDEF的面积是多少平方厘米？【解析】如图，我们将ABCD平移使得CD与AF重合，将ADEF平移使得ED与AB重合，这样EF、BC都重合到图中的AG了.这样就组成了一个长方形BGFD,它的面积与原六边形的面积相等，显然长方形BGFD的面积为24M18=432平方厘米，所以六边形ABCDEF的面积为432平方厘米.【例13】如图，三角形ABC的面积是1,E是AC的中点，点D在BC上，且BD:DC=1:2,AD与BE交于点F.则四边形DFEC的面积等于12【解析】方法一：连接CF,根据燕尾定理,设S/XBDF=1份，则&DCF二2份,如图所标

21、SAABFSAACFSAABFBD1DC2=3份，=1,SAAEF=SAEFC=3份,所以Sdcef=SABC=一12121方法一：连接DE,由题目条件可得到S/XABD=3SAABC=1s=1NS=1斫以受二邑abd13 SAADC23Saabc3'折'FESaade1S>ADEF111111c二一SadebSabecSaabc223232'ABC-JmSmbc.所以则四边形DFEC的面积等于32312【巩固】如图，长方形ABCD的面积是2平方厘米，EC=2DE,F是DG的中点.阴影部分的面积是多少平方厘米？DEC5-5【解析】设Sa四=1份，则根据撼尾炉里其他

22、面积如图所示&月影=/BCD=-【例14】四边形ABCD的对角线AC与BD交于点0（如图所示）.如果三角形ABD的面积等于三角形BCD的面积的1，且A0=2,DO=3,那么CO的长度3是DO的长度的:倍.13【解析】在本题中，四边形ABCD为任意四边形，对于这种"不良四边形”，无外乎两种处理方法：利用已知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；通过画辅助线来改造不良四边形.看到题目中给出条件Sabd：Sbcd=1:3,这可以向模型一蝶形定理靠拢，于是得出一种解法.又观察题目中给出的已知条件是面积的关系，转化为边的关系，可以得到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改造这个&qu

23、ot;不良四边形”，于是可以作AH垂直BD于H,CG垂直BD于G,面积比转化为高之比.再应用结论：三角形高相同，则面积之比等于底边之比，得出结果.请老师注意比较两种解法，使学生体会到蝶形定理的优势，从而主观上愿意掌握并使用蝶形定理解决问题.解法一：AO：OC=SBD:S在DC=1:3,OC=236=,：OD:312=.解法二：作AH_LBD于H,CG_LBD于G.o11一Q_1QSaabd=Scd,AH=-CG,.S&odSDOC,3?3'3.1一一一一一AO=CO,.OC=2M3=6,.OC:OD=6:3=2:1.3【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角

24、形的面积已知，求：三角形BGC的面积;AG:GC=?【解析】根据蝶形定理，Sbgc父1=2父3,那么Sbgc=6;根据蝶形定理，AG:GC=12:36=1:3.【例15如图，平行四边形ABCD的对角线交于O点，CEF、AOEF>AODF>BOE的面积依次是2、4、4和6.求：求4OCF的面积；求4GCE的面积.14【解析】根据题意可知，4BCD的面积为2+4+4+6=16,那么ABCO和ACDO的面积都是16+2=8,所以4OCF的面积为84=4；由于BCO的面积为8,ABOE的面积为6,所以4OCE的面积为86=2,根据蝶形定理，EG：FG=Soe与依=2:4=1:2,所以S.g

25、C于=GE：fGF,1G1-1-2么Szgce=12S#ef=32=3.【例16如图，长方形ABCD中,BE:EC=2:3,DF:FC=1:2,三角形DFG的面积为2平方厘米，求长方形ABCD的面积.【解析】连接AE,FE.因为B:E2ESDEF二（二二9S长方形ABCD=二S长方形ABCD.532101因为SAED=鼻与方形ABCD,AG:GF=CDF:FC=1:2,所以1J=5:1,所以SAGD=5SGDF=10平方101一.、厘米，所以sAFD=12平方厘米.因为SAFD=SK方形ABCD,所以长方形6ABCD的面积是72平方厘米.【例17如图，正方形ABCD面积为3平方厘米，M是AD边

26、上的中点.求图中阴影部分的面积.15【解析】因为M是AD边上的中点，所以AM:BC=1:2,根据梯形蝶形定理可以知道SaAMG:SaabgSMCG:SaBCG=12：(1M2):(1M2)：22=1：2：2：4,设S/XAGM=1份，则SxmCD=1+2=3份，所以正方形的面积为1十2+2+4+3=12份，Sw=2+2=船，所以Sw:S正方形=1：3,所以昂影=1平方厘米.E是BC边的中点，AE与BD相交于F点，平方厘米，那么正方形ABCD面积是【巩固】在下图的正方形ABCD中，三角形BEF的面积为1平方厘米.【解析】连接DE,根据题意可知BE:AD=1:2,根据蝶形定理得2&弟形=(

27、1+2)=9(平万厘米)，Saecd=3(平万厘米)，那么SABCD=12(平方厘米).【例18】已知ABCD是平行四边形，BC:CE=3:2,三角形ODE的面积为6平方厘米.则阴影部分的面积是平方厘米.16【解析】连接AC.由于ABCD是平行四边形，BC:CE=3:2,所以CE:AD=2:3,根据梯形蝶形定理，SCOE:SAOC:S_DOE:S_AOD=22:2X3:2X3:32=4:6:6:9,所以Saoc=6（平方厘米），Saod=9（平方厘米），又SABS_系kd91平方厘米），阴影部分面积为6+15=21（平方厘米）.【巩固】右图中ABCD是梯形，ABED是平行四边形，已知三角形面积

28、如图所示（单位：平方厘米），阴影部分的面积是平方厘米.【分析】连接AE.由于AD与BC是平行的，所以AECD也是梯形，那么2根据蝶形7E理，SOCDXSAE=SOCE父SqaD=4M9=36,故SCD=36,所以SmCD=6（平方厘米）.【巩固】右图中ABCD是梯形，ABED是平行四边形，已知三角形面积如图所示（单位：平方厘米），阴影部分的面积是平方厘米.【解析】连接AE.由于AD与BC是平行的，所以AECD也是梯形，那么SjOCDS&aE.根据蝶形定理,SOCD*SWAE=SOCE*StoAD=2父8=16，故S为CD=16,17所以SOCD二4（平方厘米）.另解：在平行四边形ABE

29、D中，S4de=；*abedW“16+8）=12（平方厘米），所以“OE=Sde-Sod=128=4（平方厘米），根据蝶形定理，阴影部分的面积为8父2子4=4（平方厘米）.【例19如图，长方形ABCD被CE、DF分成四块，已知其中3块的面积分别为2、5、8平方厘米，那么余下的四边形OFBC的面积为平方厘米.【解析】连接DE、CF.四边形EDCF为梯形，所以S告0d=Sfoc,又根据蝶形定理，S芯ODS衣OC=S柞oF6在OD,所以SEOD'sFOC-SEOFSCOD=2父8=16,所以s猷D=4（平方厘米），s告CD=4+8=12（平方厘米）.那么长方形ABCD的面积为12M2=24平

30、方厘米，四边形OFBC的面积为24-5-2-8=9（平方厘米）.【例20如图，MBC是等腰直角三角形，于K点.已知正方形DEFG的面积多少？DEFG是正方形，线段AB与CD相交48,AK:KB=1:3,则ABKD的面积是DAGBEFCDAGBEMFC【解析】由于DEFG是正方形，所以DA与BC平行，那么四边形ADBC是梯形.在梯形ADBC中，ABDK和AACK的面积是相等的.而AK:KB=1:3,所以AACK的面积是AABC面积的-=-,那么ABDK的面积也是AABC面积的1.1344由于AABC是等腰直角三角形，如果过A作BC的垂线，M为垂足，那么M是BC的中点，而且AM=DE,可见AABM

31、和MCM的面积都等于正方形DEFG面积的一半，所以MBC的面积与正方形DEFG的面积相等，为48.18那么ABDK的面积为48=12.4【例21】下图中，四边形ABCD都是边长为1的正方形，E、F、G、H分别是AB,BC,CD,DA的中点，如果左图中阴影部分与右图中阴影部分的面积之比是最简分数?，那么，（m+n）的值等于【解析】左、右两个图中的阴影部分都是不规则图形，不方便直接求面积，观察发现两个图中的空白部分面积都比较好求，所以可以先求出空白部分的面积，再求阴影部分的面积.如下图所示，在左图中连接EG.设AG与DE的交点为M.左图中AEGD为长方形，可知MMD的面积为长方形AEGD面积的，所

32、4以三角形AMD的面积为12/jU,又左图中四个空白三角形的面积是248相等的，所以左图中阴影部分的面积为1一父4.82如上图所示，在右图中连接AC、EF.设AF、EC的交点为N.可知EF/AC且AC=2EF.那么三角形BEF的面积为三角形ABC面积的1,所以三角形BEF的面积为12JJJ,梯形AEFC的面积为二二.4248288在梯形AEFC中，由于EF:AC=1:2,根据梯形蝶形定理，其四部分的面积比为：12:1父2:1父2:22=1:2:2:4,所以三角形EFN的面积为3M1=-1那么四边形BENF的面积为1+2.而右图中四个空81224248246白四边形的面积是相等的，所以右图中阴影

33、部分的面积为19那么左图中阴影部分面积与右图中阴影部分面积之比为即m=9,n2那么m+n=3+2=5.【例22如图，4ABC中，DE,FG,BC互相平行，AD=DF=FB,贝！JSADE:蟹边形DEGF:跳边形FGCB=.设&ade=1份，根据面积比等于相似比的平方,所以Sade：Saafg=AD2：AF2=1:4,SAADE：SAABC=AD2:AB2=1:9,因此SAFG=4份，SAABC=9份,进而有脸边形DEGF=3份，S四边形FGCB=5份，所以SAADE:SI边形DEGF:SI边形FGCB-1:3:5【巩固】如图，DE平行BC,且AD=2,AB=5,AE=4,求AC的长.【

34、解析】由金字塔模型得AD:AB=AE:AC=DE:BC=2:5,所以AC=4+2M5=10【巩固】如图,相平行，ABC中，DE,FG,MN,PQ,BC互AD=DF=FM=MP=PB,贝S>AADE:S3边形DEGF:S四边形FGNM:S四边形MNQP:S四边形PQCB【解析】设Sade=1份，Saade:Saafg=AD2:AF2=1:4,因此S>AAFG=4份，进而有S3边形DEGF=3份，同理有S3边形FGNM=5份,S3边形MNQP=7份，&9边形PQCB=9份.20所以有SADE:S四边形DEGF:S3边形FGNM:S四边形MNQP:S四边形PQCB=1:3:5:7

35、:9【例23如图，已知正方形ABCD的边长为4,F是BC边的中点，E是DC边上的点，且DE:EC=1:3,AF与BE相交于点G,求SAabg【解析】方法一：连接AE,延长AF,DC两条线交于点M,构造出两个沙漏，所以有AB:CM=BF:FC=1:1,因此CM=4,根据题意有CE=3,再根据另Sabg-S»AABE47方法二：漏有GB:GE=AB:EM=4:7432x(4父4+2)=.1111连接AE,EF,分Saaef=4X4-4X1-2-3X2-2-4=7,SAA：8SF=a:beG所UGlaBG二SAABE'ABF蝶11=422=4形定32(44-72)=11【例24如图

36、所示，已知平行四边形ABCD的面积是1,F是AB、AD的中AD的中点,EF/BDFD:BC=FH:HC1:2EB:CD=BG:GD=1:2所以CH:CF=GH:EF=2:3并得G、H是BD的三等分点，所以BG=GH,所以BG:EF=BM:MF=2:3,所以BM=2BF51S2SABD1=X2二SABCD221又因为BG=1BD,所以SMG=KSgFD-TT.33535430解法二:延长CE交DA于I,如右图，可得，AI:BC=AE:EB=1:1,从而可以确定M的点的位置,BG=1BD(鸟头定理),_153：534-30BM:MF可得S=BC:IF=2:3,BMMGABCD【例25如图，ABCD

37、为正方形,形PQRS的面积为多少？AM=NB=DE=FC=1cm且MN=2cm,请问四边【解析】（法1）由AB/CD,有器喂,MQMB所以PC=2PM,又一=一，QCEC所以1MQ=QC=MC,2所以PQ=-MC-MCMC,所以Sspqr占Samcf的，2366所以Sspqr=1父1父(1+1+2)=-(cm2).63(法2)如图，连结AE,贝Us&be=1乂4父4=8(cm2),而枭/所以詈普=2,c2c2162、S&br=_Sbe=一父8=一(cm).333Wsmbq=Sans4X3X44=3(cm2)因为MhMC'所以Mpfc,则加寸2年；、"），阴影部

38、分面积等于SABR-S.ANS-S.MBQ.SMNP1634-3-3-3cm2).【例26】如右图，三角形ABC中,BD:DC=4:9,CE:EA=4:3,求AF:FB.D22【解析】根据燕尾定理得SLaob:Saaoc=BD：CD=4:9=12:27SAAOB:SABOC=AE：CE=3:4=12:16（都有AOB的面积要统一，所以找最小公倍数）所以SAaoc:Saboc=27:16=AF:FB【点评】本题关键是把4AOB的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我们用比例解题中屡见不鲜，如果能掌握它的转化本质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！【巩固】如右图，三角形ABC中，BD:DC

39、=3:4,AE:CE=5:6,求AF:FB.【解析】根据燕尾定理得Skaob:Saoc=BD:CD=3:4=15:20SAAOB:SABOC=AE:CE=5:6=15:18（都有AOB的面积要统一，所以找最小公倍数）所以SAaoc:SAboc=20:18=10:9=AF:FB【巩固】如右图，三角形ABC中，BD:DC=2:3,EA:CE=5:4,求AF:FB.【解析】根据燕尾定理得SAaobSaoc=BD:CD=2:3=10:15SAAOB:SABOC=AE:CE=5:4=10:8（都有AOB的面积要统一，所以找最小公倍数）所以Saaoc:Saboc=15:8=AF:FB【点评】本题关键是把4

40、AOB的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我们用比例解题中屡见不鲜，如果能掌握它的转化本质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！【例27】如右图，三角形ABC中，AF:FB=BD:DC=CE:AE=3:2,且三角形ABC的面积是1,则三角形ABE的面积为,三角形AGE的面积为,三角形GHI的面积为.23AA【分析】连接AH、BI、CG.由于CE:AE=3:2,所以AEMac5故SABE2%bc根据燕尾定理,Sacg:Sabg=CD:BD=2:3,Sbcg:Sabg=CE:EA=3:2,所以sACG:sABG:sBCG=4:6:9,则SacgSbcg2刃BSSAGE=SAGC5：5199

41、5同样分析可得一19王AHC:,GS=AS,HEG:EB=S&cg:S浅CB=4:19,G:,1同样分析可得AG:G:I±D10:5所以Sbie=5sBae=A1419Sbie=-1=19519【巩固】如右图,的面积是三角形ABC中，AF:FB=BD:DC=CE:AE=3:2,且三角形GHI1,求三角形ABC的面积.【解析】连接BGSaagc=6份根据燕尾定得SbGC=4（份），sABG=9（份），则SAABC=19（份），因此4=9,Saabc19同理连接AI、CH导一SAABC三角形GHI的面积是1SABIC619，sABC-19，所以且幽SAABC19-6-6-6119

42、19所以三角形ABC勺面积是19【巩固】如图，MBC中BD=2DA影三角形面积的CE=2EB,AF=2FC,那么MBC的面积是阴一倍.24SaagcSbgc=AF:FB=3:2=6:4,Saabg:Saagc二BD:DC=3:2=9:6AA【分析】如图，连接AI.根据燕尾定理，S存ci：S%ci=BD：AD=2:1,S聋ci:Sbi=CF:AF=1:2,1+2+4S凄BC=SSBC所以，SCI：S西CI：S蟒I=1:2:4,刃B么，SCI同理可知MCG和MBH的面积也都等于AABC面积的0所以阴影三角形的面积等于MBC面积的1幸3j所以MBC的面积是阴影三角形面积的7倍.【巩固】如图在MBC中

43、,叫=丛二里，求依川吗?的值DBECFA2ABC的面积【解析】连接BG设s.bgc=1份，根据燕尾定理Saagc：Sabgc=AF:FB=2:1,Saabg：Saagc=BD:DC=2:1,得S4agc=2（份）,SAabg=4（份），则54ABC=7（份），因此，同理连接AI、CH导SAABC7S/XABH_2S/XBIC_2以SAGHI_7-22-2_1SAABC7SAABC7SAABC77【点评】如果任意一个三角形各边被分成的比是相同的，那么在同样的位置上的图形，虽然形状千变万化，但面积是相等的，这在这讲里面很多题目都是用“同理得到”的，即再重复一次解题思路，因此我们有对称法作辅助线.【

44、例28】如图，三角形ABC的面积是1,BD=DE=EC,CF=FG=GA,三角形ABC被分成9部分，请写出这9部分的面积各是多少？25【解析】设BGWAD交于点P,BGWAE交于点QBF与A位于点MBF与AE交于点N连接CPCQCMCN根据燕尾定理,8ABP：SaCBkAG：GC=1：2,SAABP：SAACP=BD：CD=1：2,设Saabp=1（份）,贝1$/。=1+2+2=5（份）,所以Saabp同理可得,SabqSaABN=,WSaabg2&APQ213=）7535g1395色边形MNED=一一一二3357042_115_1_1色边形NFCE二一一一二，&边形GFNQ二

45、一321426321642【巩固】如图，MBC的面积为1,点D、E是BC边的三等分点,点F、G是AC边的三等分点，那么四边形JKIH的面积是多少?【解析】连接CK、CI、CJ.根据燕尾定理，Sack:SAbk=CD:BD=1:2,Sbk:Sbk11所以S由CK:S&BK:S*BK=1:2:4月BSS&CK=一，1247=AG:CG=1:2,1S.Agk-Sack-121类似分析可得Sagi=2.815又S&BJ：S&bj=AF:CF=2:1Sbj：S&cj=BD:CD=2:1,可得s法.一一一一一4那么,Scgkj172184根据对称性,可知四边形ceh

46、j的面积也为87,那么四边形水田周围的26图形的面积之和为ScgkjM2+S浅GI+SBE=.x2+-=1-，所以四边形JKIH84-5370的面积为-%=&.7070【例29】右图，4ABC中，G是AC的中点，D、E、F是BC边上的四等分点，AD与BG交于M,AF与BG交于N,已知4ABM的面积比四边形FCGN的面积大7.2平方厘米，则ABC的面积是多少平方厘米？连接CM、CN.根据燕尾定理，SAABM:SACBM=AG：GC=-：-,Sabm：Sacm=BD：CD=1:3,所以SABM=_SaABC；5再根据燕尾定理,SaABN：SaCBN=AG：GC=-：-,所以Sabn：Saf

47、bnSacbn：Safbn=4:3,所以AN:NF=4:3,那么红GSAAFC所以4cgn2-一一Saafc,75-5一MSaABCSaABC7428根据题意，有5s7.2,可得&abc=336（平方厘米）【例30如图，面积为l的三角形ABC,DE、F、GHI分别是ARBGCA的三等分点，求阴影部分面积.【解析】三角形在开会，那么就好好利用三角形中最好用的比例和燕尾定理吧！令BI与CD的交点为MAF与CD的交点为N,BI与AF的交点为P,BI与CE的交点为Q连接AMBNCP求金边形admi:在abc中,根据燕尾定理，SaABM:Sacbm=AI：CI=-：2Saacm:Sacbm-ad

48、：BD=-：227设$4ABM=1（份），则SCBM二2（份），SAACM=1（份），SAABC士4（份）,以SABM=SaACM=SaBC，以SaADM4Sabm3Saabc，Saaim121Saabc,12斫以J_.1、QJqS3边形ADMI=（一一）SaABC=_SaABC,12126同理可得另外两个顶点的四边形面积也分别是4ABC面积的求S五边形dnpqe：在ABC中，根据燕尾定理SaABN:Saacn=BF：CF=1：2Sacn：Sbcn=AD：BD=1：2,以Saadn=Saabn=一_Saabc337VS；ABC，同理SaBEQ=SaABC21ABC施八、SAABP：SAACP-

49、BF：CF=1：2,SAABP：SACBP=AI：CI=1:2SaaSe边形DAN-o.QS同理另个五边形面积是ABC面积111051133一105【例31如图，面积为l的三角形AB。,DXE、F、GHI分别是ABBCCA的三等分点，求中心六边形面积.【解析】设深黑色六个三角形的顶点分别为ZRRS、MQ连接CR在4ABC中根据燕尾定理,SAABR：SAACR二BG：CG.-2:1,&ABR：SaCBRAI：CI1:2所以SaABR二SSAABC,7同理S.22'acsSaabc，SacqbSaabc77所以Sarqs二1-27=1,同理SAmnp根据容斥原理，和上题结果务边形1

50、113二一十一一777010课后练习:28练习1.已知DEF的面积为7平方厘米,面积.BE=CE,AD=2BD,CF=3AF,求MBC的【解析】SAbde:SAABC=(BDMBE)：(BAMBC)=(1m1):(2m3)=1:6,SAADF:SAABC:SAABC=(CECF):(CBCA)=(13):(24)=3:8二(ADAF):(ABAC)=(21):(34)=1:6设$4ABC=24份，贝USABDE=4份，SAADF=4份，SACEF=9份，SADEF=24-4-4-9=7份，恰好是7平方厘米，所以Saabc=24平方厘米练习2.如图，四边形EFGH的面积是66平方米,EA=AB,

51、CB=BF,DC=CG,HD=DA,求四边形ABCD的面积.【解析】连接BD.由共角定理得SabcdScgf=(CDMCB):(CGMCF)=1:2,即同理SAABD:SAAHE=1:2,即1AHE=2SAABD所以SAAHE'SACGF二2(SACBD,SAADB)=2SH边形ABCD连接AC,同理可以得到Sadhg+Sabef=2S四边形ABCDSH边形EFGH二SAAHE'SACGF'SAHDGSABEF'SH边形ABCD=5SH边形ABCD所以酶边形abcd=66+5=13.2平方米练习3.正方形ABCD的面积是120平方厘米，E是AB的中点，F是BC的

52、中点,四边形BGHF的面积是平方厘米.29EBG和iCHF的面积.【解析】欲求四边形BGHF的面积须求出由题意可得到：EG:GC=EB:CD=1:2,所以可得：S型gS西ce3将AB、DF延长交于M点，可得：BM:DC=MF:FD=BF:FC=1:1,而EH:HC=EM:CD=(1AB+AB):CD=3:2,得CHCE,25SBCE二二SBCE55SBCE11-1=-ABBC=-120=30丽边形BGHF-S.EBC41.1_7一SEBCSEBC=SEBC3515本题也可以用蝶形定理来做，连接7=一尺30=14.15EF,确定H的位置(也就是'而CF=BC,以S由hf=父22FH:HD

53、),同样也能解出.练习4.如图，已知AB=AE=4cm,BC=DC,/BAE=/BCD=90"AC=10cm,贝U2S&BC+S&CE+S左DE=cm.C'【解析】将三角形ABC绕A点和C点分别顺时针和逆时针旋转90：1,构成三角形AEC'和A'DC,再连接A'C',显然AC_LAC',AC_LA'C,AC=A'C=AC',所以ACA'C'是正方形.三角形AEC'和三角形A'DC关于正方形的中心O中心对称，在中心对称图形ACA'C'中有如下等量关系：S心ECS'DC'；S&EC'=S&DC；S&ED=S&'DE.30所以SABCSACE-SCDE=SAEC'，S'ACE'SCDE=3SACA'C'=Ml0M10=50cm2.练习5.如图，正方形ABCD的面积是120平方厘米，E是AB的中点，F是BC的中点，四边形BGHF的面积是平方厘米.【解析】连接BH,根据沙漏模型得BG:GD=1:2,设SAb