立体几何练习题及答案

1、数学立体几何练习题一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小 题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1 .如图，在正方体一44c中，棱长为a, K N分别为4,和上的点，4.井 =,则与平面KC的位置关系是（）A.相交 B.平行 C.垂直 D.不能确定2 .将正方形沿对角线折起，使平面，平面，E是中点，则的大小为（）A. 45B. 30C. 60D. 90 3.,是从P引出的三条射线，每两条的夹角都是602 ,则直线与平面所成的角的余弦值为（）A. 1B。立 C。立 Do22334.正方体一ABCD中，E、F分别是与的中点，则直线与DF 所成角的余弦值是A. 1 Bo -

2、Co -Do53225 .在棱长为2的正方体加-A4GA中，0是底面的中心，E、F分别是eg、的中点,那么异面直线和人口所成的角的余弦BID孚值等于（A.巫 56 .在正三棱柱BG中，若2, A AfI,则点A到平面Ai的距离为（）D. V3A.更 B.史427 .在正三棱柱BG中，若I,则与GB所成的角的大小为 （ ）2B. 9022D. 7528 .设后，b是正方体】的棱和的中点，在正方体的12条面对 角线中，与截面4成60°角的对角线的数目是（）A. 0 B. 2C. 4D. 6二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9 .在正方体一44K中，秋川分别为棱和的中点，则

3、<07,亦的值为.10 .如图，正方体的棱长为1, C、D分别是两条棱的中点，A、B、M是顶点，那么点M到截面的距离是.11 .正四棱锥的所有棱长都相等，£为中点，则直线与截面所成 的角为 .12 .已知正三棱柱BG的所有棱长都相等，D是AC的中点，则 直线与平面团所成角的正弦值为.13 .已知边长为4a的正三角形中，E、F分别为和的中点，面,且2,设平面a过且与平行，则与平面。间的距离为.14 .棱长都为2的直平行六面体一AECD中，Z60° ,则对角线AiC与侧面D所成角的余弦值为.三、解答题:本大题共6小题，共80分。解答需写出必要的文字 说明、推理过程或计算步

4、骤.15 .如图，直二棱柱 ABC-底面 AA8C 中，=1, 4c4 = 90。, 棱胡=2, M、N分别AB、AlA是的中点.(1)求的长；fl(2)求cos两.西的值；(3)求证：B1C.N .16 .如图，三棱锥P一中，_L平面，2, 且_1平面.(1)求证：，平面；(2)求异面直线与所成角的大小；D是上一点,(3)求二面角的大小的余弦值.17 .如图所示，已知在矩形中，1, (a0),，平画，且L(1)试建立适当的坐标系，并写出点只 反的中标；(2)问当实数a在什么范围时，边上能存在&、-使得/一n(3)当边上有且仅有一个点。使得，时，求二面角的余弦值大小.18 .如图，在底

5、面是棱形的四棱锥P-A8C£)中，ZABC = 60a.PA = AC = a. PB = PD = j2a , 点 £ 在户。上，且 PE：刖=2(1)证明平面A8CQ；(2)求以为棱，E4C与ZMC为面的二面角8的大小； .(3)在棱上是否存在一点F,使切平面AEC证明你的结泥.19 .如图四棱锥中，底面是平行四边形，平面，垂足为G,G在上，且=4,丘*，L =2, 履的中点.(1)求异面直线与所成的角的余弦值；求点到平面的距离；若尸点是棱上一点，且，求丝的值.20 .已知四棱锥S-的底面是正方形，_L底面,后是上的任意一点.(1)求证：平面，平面；(2)设=4, =2

6、,求点/到平面的距离;(3)当的值为多少时，二面角，一一的大小为120°理科立体几何训练题(B)答案 一、选择题题 号12345678'答 案BDDADBBC填空题11.45°三、解答题15解析：以C为原点建立空间直角坐标系O-xyz .(1)依题意得 B(0, 1, 0), M(1, 0, 1). |&w|=(i-o)2+(o-i)2+(i-o)2 = .(2)依题意得怠(1, 0, 2), B (0, 1, 0), C (0, 0, 0), Bi (J 1, 2).拓= ("L2).函=(0.1,2).拓画=3,师卜码函卜后 证明：依题意得G

7、(0, 0, 2), N(!.2)淳=(一1,-2)干=(*().可不=+ ± + 0 = 0,二砧_1_不16.解析：(1) 1 _L平面，ABu平面，.二_L. ； _1_平面，ABu平面，1 .又 PCC|CD = C,平面.(2由_L平面，:2, 又，可求得.以B为原点， 如图建立坐标系.则 A (0,0), B (0,0,0), C (, 0 ,0), P (,0 ,2).AP = (,2), bc = (,0,0).P则岸辰 X+0+0=2.Kcos < AP, BC >AP BC 2|ap| |bc| 2yl2 x 41，异面直线与所成的角誓.（3）设平面的

8、法向量为（x, y, z）.ab = （0. 一,0）而（，一，2）,则aE"=。，即匕少=：解得 = 0，令t,得（应，o,AP m = 0.y/2x - y/2y + 2z = 0.x = V2z-1）.由_1平面易知：平面_L平面，取的中点E,连接，则应;为平面 的一个法向量，丽=（立，且,0）=立（1,1,0）,故平面的法向量也可222取为（1, 1, 0）.3<%”=霍=1_=且.,二面角的大小的余弦值为巫.|四|百X五 33（2）设点 Q （1, x, 0）,贝!|DQ = （tx-a,OQP = （-x,）.由。户=0, 得 /1二0.显然当该方程有非负实数解时，

9、边上才存在点0,使得，故只 须，2_420.因a>0,故3的取值范围为a22.(3)易见，当2时，上仅有一点满足题意，此时1,即。为的 中点.取的中点也 过财作，垂足为A；连结、.则材(0, 1, 0), P (0, 0, 1), D (0, 2, 0).、A； P三点共线， MD + 7.MP (O.1,O) + MO1.D (0J-XA) . MN =1 + X1 +入1 + X又 P)二 (O,21), 且 。方=0 ,士上(°一九，九).小on_ 2一3入_八.二21 + X1 + 入3_ (0.1-,-)9于是雨=产-=(。!10 1+- )3故 NQ = NM+ M

10、Q = -mN + AB = (1,一). i2: 4nQ = 0 + 2x(-二) + (T)x(-) = 0 ,55PDLNQ.(资料来源：168) N为所求二面角的平面角. 八/S NMNQ 娓 cos 4MNQ =： = ,INA/klNQI 6注：该题还有很多方法解决各个小问，以上方法并非最简.18解析：(1)传统方法易得证明(略)(2)传统方法或向量法均易解得8 = 30。；(3)解 以A为坐标原点，直线ad.ap分别为y轴、z轴，过A点垂直于平面的直线为X轴，建立空间直角坐标系(如图).由题设条件，相关各点的坐标为点,&(1_止苧出 11 2“(1+2) = - h。石2

11、23A( 0.0.0). B( tz.Ok C( a.0)Q(O.a.O).P(O.O.a),E(Ha)所以 AE =>),AP= (0.0m),正=(苧a,"-")2222BP= (,设点F是棱PC上的而“正=(乎心%.-&), 其 中0</i<l , 则而=丽+际=(-+2).“(1 -义)22u(l -2) =铲解得"2=>即/月时，诉=一；元+；族.亦即，F是的中点 时，而工冗共面，又"U平面4”,所以当F是的中点时，BF / 平面4EC.19解析：以G点为原点，面、瓦.、/为X轴、y轴、 z轴建立空间直角坐标系，

12、则4(2, 0, 0),以0, 2, 0),P(0, 0, 4),故 £(1, 1, 0), ge=(1, 1, 0), pc=(0, 2, 4)。8s反，正”至三。/l=二, GE PC yl2 .V2010.与所成的余弦值为陪.(2)平面的单位法向量=(0, ±1, 0) o; GD =-AD = BC =(- , - , 0), 442 2,点到平面的距离为I南1=,.设厂(0, y, z),则 5F=(o,y,z)-(-|,/o)=(H，z)。V DF 1GC , DF GC =0 ,(资料来源：168)口 rr 33即弓，2.0) = 2y-3 = 0,y =,又

13、斤=4比7 ,即(0, , z4)=入(0, 2, 4),/. 1,223>/5故 6(0,1), 而=(0,：,3),记=(0二，1),.二”=3。222FC T20解析:(1)._L平面，u平面，_L, ,四边形是正方形，.，平面， ,.,u平面，平面，平面.(2)设n=R连结，则，, =2, =4,=2,=3,.五= = 2 3 = 6,设点力到平面的距离为h, 丁 _L平面，, 5k h= 5k , .*.6 , h= *2*2*4, .*./?即点力到平面的距离为.(3)设=a,以力为原点，、所在直线分别为x、y、z轴建 立空间直角坐标系，为计算方便，不妨设=1,则C(l,l,0), 5(0,0, a), Ml,0,0), Z?(0,l,0),/. SC = (1,L a), SB = (1,0, a), SB = (0,1, a),再设平面、平面的法向量分别为i=(X1, 71, Z1), n2=(尼,%, Z