狭义相对论练习(答案版)

1、狭义相对论练习4-1 一飞船以0.99c的速率平行于地面飞行，宇航员测得此飞船的长度为400m。（1）地面上的观察者测得飞船长度是多少？ （ 2）为了测得飞船的长度，地 面上需要有两位观察者携带着两只同步钟同时站在飞船首尾两端处。那么这两位观察者相距多远？ （ 3）宇航员测得两位观察者相距多远？【解】 l 10 Ji u2/c2 400J1 0.992 56.4 （m）（2）这两位观察者需同时测量飞船首尾的坐标，相减得到飞船长度，所以 两位观察者相距是56.4 m。（3）上的两位观察者相距56.4 m,这一距离在地面参考系中是原长， 宇航 员看地面是运动的，他测得地面上两位观察者相距为1 10

2、 1 u2/c2 56.4 . 1 0.992 7.96 （m）所以宇航员测得两位观察者相距 7.96 m。4-2 一艘飞船原长为10,以速度v相对于地面作匀速直线飞行。飞船内一小球从尾部运动到头部，宇航员测得小球运动速度为u,求地面观察者测得小球运动的时间。【解】宇航员测得小球离开尾部的时空坐标为 （xjt），小球到达头部的时空坐标为（x2',t2'）。地面上测得小球运动的时间为:t t2 t1一11(.1 V2/c21V2/C2(t2't'片)cx2x110 , t2t1' 10/uvx2'-)-) c1vx1'-Jv2/c2(t1&

3、#39; E2lo（1 uv/c2）u-,1 v /cL' L0 ,1 u2/c21O.82Lo9.6（光年）1t （ t',1 u2/c24-3在实验室中测得两个粒子均以 0.75c的速度沿同一方向飞行，它们先后击 中同一静止靶子的时间间隔为5 M0-8 s。求击中靶子前两个粒子相互间的距离。【解】x u t 11.25(m)4-4 一星体与地球之间的距离是16光年。一观察者乘坐以0.8c速度飞行的飞船从地球出发向着星体飞去。该观察者测得飞船到达星体所花的时间是多少？试解释计算结果。【解】星体与地球之间的距离是原长，飞船上的观察者测得的距离是测长，测长为：L' .t&

4、#39; 12（年）0.8c地球上的观察者测得飞船到达星体所花的时间为:k 20（年）0.8c飞船上的观察者测得的时间是原时，地球上的观察者测得飞船到达星体所 花的时间为测时，这正是时间膨胀的一种表现。4-5 一根固有长度为1 m的尺子静止在S系中，与O'轴成30°角。如果在S 系中测得该尺与Ox轴成45°角，则S'系相对于S系的速度u是多少？ S系测 得该尺的长度是多少？3【解】在S'系中，米尺在x'轴万向的投影长度为：x' Lo cos30 (m)2在y'轴方向的投影长度为：y' L0sin300.5(m)在S系中

5、，米尺在y轴方向的投影长度不变，y y' 0.5(m)由于米尺在S系中测得该尺与Ox轴的夹角为45°,则在x轴方向的投影长度为：x 0.5( m),即x <1 u2/c2x'0.5 Z1 u2/c22S'系相对于S系的速度为：u2c 3S系中测得该尺的长度为：L 6 0.5 0.707(m)4-6 立方体的质量和体积分别为 m0和V。求立方体沿其一棱的方向以速速u运动时的体积和密度。【解】设立方体沿x方向运动，立方体的一条棱边平行于 x轴。立方体的原边长为a0 3 V0运动时，沿x轴方向边长为：a' V1 u2/c2a0因此物体的体积为：V

6、9; 1 u2/c2a0 a0 a0 V0 . 1 u2/c21运动时，物体的质重为：m ,m0.1 u2/c2 0因此运动时物体的密度为：1m12.2 m02 . 2. 1'm0 V0 1 u /c - (1 u /c )V ,1 u2/c2.V。4-7天津和北京相距120 km。在北京于某日上午9时整有一工厂因过载而断电。同日在天津于9时0分0.0003秒有一自行车与卡车相撞。试求在以 0.8c沿北京到天津方向飞行的飞船中的观察者看来，这两个事件相距多远？这两个事件之间的时间间隔是多少？哪一事件发生的更早？1,天津发生事件2。【解】（1）设飞船为S'系，地球为S系，北京发生

7、事件 飞船测得这两个事件的距离为:X0 ut2/c2, X0 Ut1X x2 X1,，2 2,1 u /c120 103 0.8 3 108 0.0003d 0.82380 10 (m) 80 (km)（2）飞船测得这两个事件的时间间隔为:t'rU2/c2(ulx)c1(0.00031 0.820.8 3 1083120 10(3 108)2)3.33 10 5 (s)t' 0,所以天津的事件先发生。4-8地球上的观察者发现，一艘以0.6c的速度航行的宇宙飞船在 5 s后同一个以0.8c的速度与飞船相向飞行的彗星相撞。（1）飞船上的人看到彗星以多大速率向他们接近。（2）按照飞船

8、上观察者的钟，还有多少时间允许它离开原来的 航线以避免相撞？【解】（1）设地球为S系，飞船为S'系。由洛伦兹速度变换，在飞船测得的彗星速度为:0.8c 0.6c- “ 0.95c1 ( 0.8) 0.6即彗星以0.95c的速率向飞船接近。(2)飞船上测得测得离发生碰撞的时间间隔为：t' 1 u2/c2 t 5 ,1 0.62 4(s)4-9 一原子核以0.6c的速率离开某观察者运动。原子核在它的运动方向上向后发射一光子，向前发射一电子。电子相对于核的速度为0.8c。对于静止的观察者，电子和光子各具有多大的速度？【解】设观察者所在参考系为 S系，原子核为S'系。洛伦兹速度

9、变换式vv' u1 vu/ c2由题意可知，u 0.6c,电子v' 0.8c,光子v'电子的速度光子的速度v' uv电子21 vu/c0.8c 0.6c1 0.8 0.60.946cv' u c 0.6cv光子 2 1 vu/c 1 ( 1) 0.64-10 (1)火箭A以0.8c的速度相对于地球向正东飞行， 火箭B以0.6c的速度相对于地球向正西飞行，求火箭 B测得火箭A的速度大小和方向。(2)如果火 箭A向正北飞行，火箭B仍向正西飞行，由火箭B测得火箭A的速度大小和方 向又是如何?【解】取正东为X轴的正向，正北为y轴的正向，根据洛伦兹速度相对变换式V

10、xVx u1 vxu/c2 'vyvy . 1 u2/c2d/ 2，1vxu / c2 , 2Vz，1 u /c/_21 vxu /c(1)将 u0.6c, vx 0.8c, Vy 0 , vz 0代入，得:VxVx u), 21 VxU/C0.8c ( 0.6c)1 0.8 ( 0.6)0.95cvy(vy 1 HZ221vxu / cVz,vz . 1 u2 /c221 vxu/c即在火箭B上测得火箭A的速度大小为0.95c,方向为正东。(2)将 u 0.6c, vx0 , vy 0.8c, vz 0代入，得:vxu1vxu / c210 ( 0.6c)二 0.6c0 ( 0.6)

11、vyvy . 1 u2/c2r21 vxu / c0.8c .1 0.62 0.64c1 0 ( 0.6)vz 1 u2 /c221 vxu/cv . vx'2 vy'2 0.87c,一0.64carctg 46.80.6c即在火箭B上测得火箭A的速度大小为0.87c,方向为东偏北46.8 。94-11北东正负电子对撞机中，电子可以被加速到能量为3.00 10 eV。求：（1）这个电子的质量是其静止质量的多少倍？（2）这个电子的速率为多大？和光速相比相差多少？ （ 3）这个电子的动量有多大?(1 ) 根据EkE-E0122i2=7 m0cm°c,1 u /c2m

12、76;c0.51 106eV 可得:1Ek d13.00 1090.51 1061 58831 u2/c2E01m m0 5883m0.1 u2/c2 0即这个电子的质量是其静止质量的 5883倍。(2)由上式可计算出这个电子的速率为：u 0.999999986c与光速相比，相差：u 1.44 10-8c 4.33 (m/s)(3)电子的动量为：p -Ek_2Ekm0cc由 于Ekm0c2,所 以 有9193 101.6 103 1081.6 10 18 (kg m/s)4-13 (1)把一个静止质量为m0的粒子由静止加速到0.1c所需的功是多少？ (2)c 2.94 108 (m/s)f5m

13、0 24 c 1.34 10 21 (kg m/s) 5E0 4m0c2 3.28 10 13 (J)4-12 一个电子的总能量是它静能的5倍，求它的速率、动量、总能分别是多少?【解】(1)根据E E0 Ek , E mc2, E0 m0c2可得：E m m 5m0E0 m0,1由m i 22 m0,求得电子的速率为：1 v /c,24 v 5(2)电子的动量：p mv(3)电子的能量：Ek E由速率0.89c加速到0.99c所需的功又是多少？ ( 3)两次加速得到的速度增量 是一样的，哪一次需要的功更多，并说明其原因。【解】(1)由相对论的功能关系，电子由静止加速到 0.1c所需的功为:22

14、,1/、22皿 mc - m°c( 1)m0c0.005m0c,1 v /c(2)同理，电子由速率0.89c加速到0.99c所需的功为:22/W2m2c - m1c(-112 2v2 /c1 v12/c2)m°c2-.1 0.992.1 0.892、22)m0c 4.9m0c4-14 一个电子由静止出发，经过电势差为1.0 104 V的均匀电场，电子被加速。 已知电子静止质量为m0=9.11 10-31 kg,求：(1)电子被加速后的动能；(2)电 子被加速后质量增加的百分比；(3)电子被加速后的速率。【解】(1)根据 Ek eV 1.6 10 19 104 1.6 10

15、15 (J)(2)由相对论的动能表达式 Ek mc2-m0c2,可得质量的增量为:m m mb Ek 1.78 10 32 (kg)c电子质量增加的百分比为：m 1.7810 32m09.11 10 312%31 一(3)电子加速后质量为：m m m0 9.29 10 (kg)1由质速关系式m,m0 ,可得:1 v2/c2v c,i (mm0)23 io89.11 271 ()5.85 10 (m/s)9.294-15太阳发出的能量是由质子参与一系列反应产生的，其总结果相当于热核反1111141 _应：1H1H1H1H2He20eo已知：一个质子(11H )的静止质量是 mP 1.672 65

16、 10 27 kg , 一个氨核(；He)的静止质量是mHe 6.64250 10 27kg , 一个正电子(0e)的静止质量是me 9.11 10 31 kg。求：这一反应所释放的能量是多少？ (2)消耗1kg的质子可以释放的能量是多少？ (3)目前太阳辐射的总功率为P 3.9 1026 W ,它一秒钟消耗多少千克质子？【解】(1)释放能量为：Emc2(4 1.672 6510-27- 6.6425010-27-2 9.1110-31)(3108)2-124.15 10 (J)(2)消耗1kg的质子释放的能量为：-12 27_ _144.15 10 /(4 1.67265 10 ) 6.20 10 (J/kg)(3)太阳一秒钟消耗质子的质量为：3.9 1026/(6.20 1014) 6.29 1011 (kg/s)4-16两个静止质量都是m0的小球，其中一个静止，另一个以 v=0.8c运动。它们对心碰撞后粘