第三章重积分及其应用第二节二重积分的计算ppt课件

1、第二节第二节 二重积分的计算二重积分的计算一一 利用直角坐标系计算二重积分利用直角坐标系计算二重积分二二 利用极坐标系计算二重积分利用极坐标系计算二重积分三三 二重积分的换元法二重积分的换元法一一 利用直角坐标系计算二重积分利用直角坐标系计算二重积分如果区域如果区域D为：为：, bxa ).()(xyx x函数函数、)(x )(x ,ba其中其中在区间在区间上连续，上连续，x区域。区域。则称则称D为为 型型)(xy )(xy abxyo 型区域的特点：型区域的特点：轴的直线轴的直线与区域边界相交不多于两个交点与区域边界相交不多于两个交点.xy穿过区域且平行于穿过区域且平行于y型区域型区域D ：

2、).()(,yxydyc )(yx )(yx xoycdyDD设曲顶柱体的底是设曲顶柱体的底是x型区域型区域D, bxa ).()(xyx 顶为连续函数顶为连续函数),0)(,( yxfzxz yDab( )yx ( )yx xxx ( )A x( , )zf x y 对于任意固定对于任意固定,bax 作与作与x轴垂直的平面，轴垂直的平面， 相应曲顶柱体所得的截面面积相应曲顶柱体所得的截面面积),(xA badxxAV)(由于截面为曲边梯形，由于截面为曲边梯形，所以所以 )(xA )()(),(xxdyyxf DdxdyyxfV),( baxxdxdyyxf)()(),( baxxdxdyyx

3、f)()(),( baxxdyyxfdx)()(),( 无论函数无论函数),(yxf符号如何，符号如何，只要积分区域只要积分区域D为为, bxa ).()(xyx 公式公式 Ddxdyyxf),( badx )()(),(xxdyyxf 总成立。总成立。abxyoD( )yx ( )yx 先对先对y后对后对x的二次积分的二次积分积分区域积分区域D ：).()(,yxydyc xoycdyD Ddxdyyxf),( dcdy )()(),(yydxyxf ( )xy ( )xy 对于既不是对于既不是x型区域，型区域，又不是又不是y型区域，型区域，可以用可以用几条辅助线将区域分成若几条辅助线将区域

4、分成若干个干个x型区域，或型区域，或y型区型区域的并来计算。域的并来计算。如图如图1D2D3Dxoy先对先对x后对后对y的二次积分的二次积分xy211xy o221d y例例1. 计算计算,d DyxI 其中其中D 是直线是直线 y1, x2, 及及yx 所围的闭区域所围的闭区域. x :D I 21d x yyx d 21d x 2121321dxxx89 1221xyx :DIxyx d 21d y yyx2221 21321d2yyy89 y1xy2xy 121 x2 xy21 y解法解法1. 将将D看作看作x型区域型区域, 那么那么解法解法2. 将将D看作看作y区域区域, 那么那么例例

5、2. 计算计算,d Dyx 其中其中D 是抛物线是抛物线xy 2所围成的闭区域所围成的闭区域. 解解: 为计算简便为计算简便, 先对先对 x 后对后对 y 积分积分, :D xyx d Dyx d 21dy 212221d2yyxyy 2152d)2(21yyyy 12612344216234 yyyy845 22 yxy21 y2y2 y2 xy及直线及直线那么那么 oxy2xy 2xy 21(4,2)(1, 1) yx yx yx (4,2)(1, 1) oxy2yx 11D2D Dxydxdy解法解法221DDD 1Dxydxdy 2Dxydxdy :1Dxyx 10 x4 xydyx

6、x 10dx :2Dxyx 241 x xydyx2x 41dx 1022dyxyxyxy24122yxy xxydx 100dx 4122)2)2(2(dxxxx845 例例3. 计算计算,ddsin Dyxxx其中其中D 是直线是直线 ,0, yxy所围成的闭区域所围成的闭区域.解解: 由被积函数可知由被积函数可知,因此取因此取D 为为 xxyD00: xy0d 0dsinxx 0cos x 2 0dsinxxx x先对先对 x 积分不行积分不行, 说明说明: 有些二次积分为了积分方便有些二次积分为了积分方便, 还需交换积分顺序还需交换积分顺序.x型区域型区域 :xyoxy Ddxdyxx

7、sin例例4. 交换下列积分顺序交换下列积分顺序 22802222020d),(dd),(dxxyyxfxyyxfxI解解: 积分域由两部分组成积分域由两部分组成: :1D :2D282yxy 20 y DyxyxfIdd),( 282d),(yyxyxf 20dyxyo22xy 28xy 28yx yx2 2221D2DD2视为视为21DDD 将将y型区域型区域 , :D那么那么2210 xy 20 x280 xy 222 x解解 121)(dxeexx.2183ee xyo25. 05 . 01yx 15 . 02yx yx yx :1Dyx 212141 y :2Dyxy 121 y21

8、DDD :Dxyx 2121 x 121dx Dxydxdye xxxydye21y )1 . 1( )1 . 1(11 D2D1D2yx 2yx xyo 例例6 计算计算 二重积分二重积分 Ddxdyxy,|2其中其中D为为. 10 , 11 yx解解用用2xy 分积分区域分积分区域21DDD Ddxdyxy|2 1)(2Ddxdyxy 2)(2Ddxdyyx :1D12 yx11 x :2D20 xy 11 x dyxy)(2 11dx12x 11dx dyyx)(22x01511 41211()22xxdx 4112xdx 例例7 计算计算,dd)1ln(2yxyyxID 其中其中D 由

9、由,42xy 0 y所围成所围成.xyo24xy 2 2解解 :D240 xy 22 x I dyyyx)1ln(224x 22dx024x 由于由于 dyyyx)1ln(20为奇函数，为奇函数，积分区间是积分区间是,2 , 2 所以所以0 I说明说明如果函数如果函数),(yxf为为x的奇函数的奇函数),(yxf ),(yxf 积分区域积分区域D关于关于y轴对称轴对称),),(),(DyxDyx 那么那么 Ddxdyyxf0),(yx),(yxf ),(yxf ),),(),(DyxDyx 如果函数如果函数),(yxf为为x的偶函数的偶函数),(yxf ),(yxf 积分区域积分区域D关于关于

10、y轴对称，轴对称， 那么那么 Ddxdyyxf),(yx),(yxf ),(yxf 1),(2Ddxdyyxf其中其中0,),( ),(1 xDyxyxD0,),( ),(1 yDyxyxD例例8 计算计算,dd)1ln(2yxyyxID 其中其中D 由由,42xy 1,3 xxy所围成所围成.解解: 令令)1ln(),(2yyxyxf 21DDD (如下图如下图),1上上在在D),(),(yxfyxf ,2上上在在D),(),(yxfyxf yxyyxIDdd)1ln(12 0 yxyyxDdd)1ln(22 xyo24xy xy3 1 xxy3 )3 , 1()3 , 1( )3, 1(

11、D1D2Dxyz例例9求由两直交圆柱面求由两直交圆柱面222222,RzxRyx 所围立体的体积。所围立体的体积。o222Ryx 22xRz xyo22xRy RDD解解第一象限部分立体如图第一象限部分立体如图所示，所示， :D220 xRy Rx 0设其在设其在xoy面投影为面投影为D由对称性得由对称性得 DdxdyxRV228 dyxR22822xR 0 Rdx03163R 二二 利用极坐标计算二重积分利用极坐标计算二重积分在极坐标在极坐标 sincosyx下如何计算下如何计算,),( Ddyxf ?, d用同心圆用同心圆 常数，常数，半直线半直线 常数划分积分常数划分积分区域区域D oi

12、 1 i j 1 j j i k j i ),(kk 2211()22kjjiji 1(2)2jjji ()2jjjji ,jji ijkijk sin,cos 取取 Ddyxf ),( nkkkkf10),(lim . . .ijkijk sin,cos ikjk ijjijnkijf )sin,cos(1 Dddf )sin,cos( Ddyxf ),( Dddf )sin,cos( ddd 极坐标下面积元素极坐标下面积元素 d d d d o d)sin,cos(f设设 :D那么那么 Df dd)sin,cos( d)(1 )(2 )()(21 o 1( ) 2( ) D特别特别 :D)

13、(0 o ( ) D Df dd)sin,cos( d)sin,cos(f0)( d极坐标下的二次积分极坐标下的二次积分 o( ) :D)(0 20 Df dd)sin,cos( d)sin,cos(f0)( 20dD解解 Ddxdyyxyx2222)sin(2024d . 4 2 1 D1Dxyo224xy221xy1sin4Dd d dsin412 20 dxyo1)1(22 yxxy D2cos 2 4 例例11 计算二重积分计算二重积分,22dxdyyxD 其中其中D为为. 1)1( ,22 yxxy解解dxdyyxD 22 Ddd d2 42 d cos203428cos3d 921

14、016 例例12 将二重积分将二重积分 Ddxdyyxf)(22化为极坐标化为极坐标下二次积分下二次积分1）D224,2,3yyxyyxxyxy 是是围成。围成。xyo22yyx 24yyx xy xy3 D2sin 4sin 4 3 解解 Ddxdyyxf)(22 Dddf )(2 df)(2 sin2 sin4 34 d例例12 将二重积分将二重积分 Ddxdyyxf)(22化为极坐标化为极坐标下二次积分下二次积分2）211:xyxD xyo21xy xy 1D解解 Ddxdyyxf)(22 Dddf )(2 df)(21cossin 1 1cossin 1 20 d例例1313 计算二重

15、积分计算二重积分,22 Ddxdyyx其中其中D为区域为区域.2, 12222xyxyx 221xy 222xyxxyo3 1 2cos 解解由对称性得由对称性得 1222DDdxdyyx1D 12Ddd 2D3D 222Ddd 322Ddd 2 d202cos d2 3 2 d201 d03 233cos316 d 3032 d 9218394 xyoa 例例14 计算二重积分计算二重积分,)(22 Dyxdxdye其中其中222:ayxD 解解 Dyxdxdye)(22 Ddde 2 de2 20d0a 20)1(212dea)1(2ae )1(42222220, 0)(ayxayxyxe

16、dxdye R22D例例15 计算广义积分计算广义积分 02dxeIxxyoRS解解设设,02 RxRdxeI那么那么IIRR lim 2RI Rxdxe02 Rydye02 RyxRdyedx0)(022 Syxdxdye)(22其中其中RyRxS 0 ,0:0, 0,2:2222 yxRyxD0, 0,:2221 yxRyxD1D记记)1(42222220, 0)(ayxayxyxedxdye 所以所以 02dxex Syxdxdye)(22 222)(Dyxdxdye 122)(DyxdxdyexyoRR2S2D1D所以所以由于由于 122)(Dyxdxdye)1(42Re 4 )( R

17、 222)(Dyxdxdye)1(422Re 4 )( R SyxRdxdye)(22lim4 2limRRI 2I 所以所以 I2 xyzo1)1(22 yx224yxz 例例16 求求, 4222 zyx1)1(22 yx部分的体积。部分的体积。解解第一象限部分立体如图第一象限部分立体如图设其在设其在xoy面投影为面投影为D0, 1)1(:22 xyxD由对称性得由对称性得 V Ddxdyyx2244 Ddd 244 d244 20 d cos20)322(332 DD2cos 三三 二重积分换元法二重积分换元法baxxfd)() )(txtttfd)()(定积分换元法定积分换元法 ),(

18、),(:vuyyvuxxTDDvu ),(满足满足上上在在Dvuyvux ),(, ),()1(一阶导数连续一阶导数连续;雅可比行列式雅可比行列式上上在在D )2(;0),(),(),( vuyxvuJ(3) 变换变换DDT :那那么么 Dyxyxfdd),( Dvuyvuxf),(),(定理定理:,),(上连续上连续在闭域在闭域设设Dyxf变换变换:是一一对应的是一一对应的 ,vuvuJdd),(ovuDoyxDT证明略证明略例如例如, 直角坐标转化为极坐标时直角坐标转化为极坐标时, cos,sinxy ( , )( , )x yJ cos sin sin cos Dyxyxfdd),(cos ,sin)ddDf 例例17 计算计算其中其中D 是是 x 轴轴 y 轴和直线轴和直线2 yx所围成的闭域所围成的闭域. 解解: 令令,xyvxyu 那那么么2,2uvyuvx ),(),(vuyxJ yxeDxyxydd Dvuvuedd21 20d21vvveed)(21120 1 ee2 yxDxoy21212121 21 vvvuue dxyxye ,ddyx)(DD DD 2 vvu vu uovybx 2yax 2Doyxxqy 2xpy 2,22yxvxyu 例例18 计算由计算由,22xqyxpy ybxyax 22,)0,0(baqp 所围成的闭区域