典型课教学（新）

1、上好上好“典型课典型课”提高教学质量和效益提高教学质量和效益人民教育出版社中数室人民教育出版社中数室 李龙才李龙才 引言引言一、概念课的教学一、概念课的教学二、原理、定理、公式等规则课的教学二、原理、定理、公式等规则课的教学三、引言课（起始课）的教学三、引言课（起始课）的教学四、大力提高教学质量和效益四、大力提高教学质量和效益1.1.典型课典型课 概念课概念课 规则课规则课原理、原理、定理、性质、公式定理、性质、公式等等 引言课（起始课）引言课（起始课） 复习复习课、习题课课、习题课概念概念课课、规则课尤其是概念课乃重中之重规则课尤其是概念课乃重中之重引引 言言2.2. 当前当前数学教学中存在

2、的一些问题数学教学中存在的一些问题 数学数学教学教学“不自然不自然”，强加于人，压抑了学生的数，强加于人，压抑了学生的数学学习兴趣；学学习兴趣； 缺乏问题意识，不利于创新精神和实践能力的缺乏问题意识，不利于创新精神和实践能力的培养培养 不重视基本概念、核心数学思想的教学，不利于学不重视基本概念、核心数学思想的教学，不利于学生数学素养的提高；生数学素养的提高； 重结果轻过程，损害数学思维过程的完整性，不利重结果轻过程，损害数学思维过程的完整性，不利于数学思维能力的培养；于数学思维能力的培养； 解题教学注重解题教学注重“题型题型+ +技巧技巧”，学生机械重复、模，学生机械重复、模仿记忆，缺少独立思

3、考的机会，数学思维发展迟仿记忆，缺少独立思考的机会，数学思维发展迟缓，并导致学生数学课业负担过重；缓，并导致学生数学课业负担过重； 学生学习方法单一、被动，缺少归纳、抽象等活学生学习方法单一、被动，缺少归纳、抽象等活动，对培养学习习惯、数学能力、数学素养以及动，对培养学习习惯、数学能力、数学素养以及创新精神等不利创新精神等不利. . 3.3.解决解决之之道道 搞好日常教学，特别是典型课的教学搞好日常教学，特别是典型课的教学 如何上出高质量的课？如何上出高质量的课？三个理解三个理解数学、学生、教学数学、学生、教学理解数学理解数学: :了解数学概念的背景，把握概念的逻辑意了解数学概念的背景，把握概

4、念的逻辑意义，理解内容所反映的思想方法，挖掘知识所蕴含的义，理解内容所反映的思想方法，挖掘知识所蕴含的科学方法、理性思维过程和价值观资源，区分核心知科学方法、理性思维过程和价值观资源，区分核心知识和非核心知识等识和非核心知识等. .理解学生、理解教学：调动学生的思维，提供抽象概理解学生、理解教学：调动学生的思维，提供抽象概括的机会括的机会, ,注重思想方法的引导注重思想方法的引导 高质量课的根本标准：学生保持高水平的高质量课的根本标准：学生保持高水平的数学思维活动数学思维活动.一、关于概念的教学一、关于概念的教学习惯习惯做法做法 快速给出定义快速给出定义 提出提出 “准确理解准确理解”定义的注

5、意点定义的注意点 例题示范（巩固、应用）例题示范（巩固、应用） 练习巩固练习巩固课堂、课后课堂、课后 纠正错误纠正错误 “纠错教学法纠错教学法”案例：高中函数概念的案例：高中函数概念的“注意事项注意事项” 集合集合A，B都是数集；都是数集； 任意性；任意性； 唯一性；唯一性； 可以一对一、多对一，但不能一对多；可以一对一、多对一，但不能一对多； yf(x)是一个整体，不是是一个整体，不是f与与x的乘积；的乘积； 值域值域C=f(x)|xA是集合是集合B的子集；的子集； 函数的三要素三者缺一不可，值域可由定义域函数的三要素三者缺一不可，值域可由定义域和对应法则唯一确定和对应法则唯一确定.结果：结

6、果：在不适当的时候、用不适当的方法强调细在不适当的时候、用不适当的方法强调细节，把学生节，把学生“教糊涂了教糊涂了”. .l一项调查一项调查（回收有效问卷（回收有效问卷843843份）份）问题：问题：函数概念函数概念的教学重点是什么？图的教学重点是什么？图1 1表示函数吗表示函数吗？结果：结果：91%91%的的教师把求函数的定义域教师把求函数的定义域、值域值域（而不是理解定义域、值域的（而不是理解定义域、值域的意意义）列入义）列入函数概念教学的重点；函数概念教学的重点；8686% %的教师的教师没有没有把让学生明确把让学生明确“函数是函数是描描述变化规律述变化规律的一种数学模型的一种数学模型”

7、作为重点；作为重点；89%89%的教师的教师认认为图为图1 1不能表示函数，原因是不能表示函数，原因是“其中的对应关系不确定其中的对应关系不确定” 概念教学的核心概念教学的核心概括：以典型丰富的实例为概括：以典型丰富的实例为载体，引导学生展开观察、分析各事例的属性、载体，引导学生展开观察、分析各事例的属性、抽象概括共同本质属性，归纳得出数学概念；抽象概括共同本质属性，归纳得出数学概念； 注：背景实例要体现当前概念的数学本质注：背景实例要体现当前概念的数学本质 在此过程中要体现引入新概念的必要性以及概念在此过程中要体现引入新概念的必要性以及概念的合理性的合理性 接着再进行概念辨析，才有能把握接着

8、再进行概念辨析，才有能把握“注意事项注意事项”（1 1）教师要搞清本节课的核心任务）教师要搞清本节课的核心任务（2 2）体现思想性、必要性）体现思想性、必要性（3 3）从典型实例出发引出函数概念）从典型实例出发引出函数概念目的：目的： 加强背景，体现加强背景，体现“函数模型函数模型”思想；思想； 加强概念形成过程；加强概念形成过程； 体现函数的本质：数集之间的对应法则；体现函数的本质：数集之间的对应法则； 在学生头脑中形成丰富的函数例证在学生头脑中形成丰富的函数例证. . 抽象概念的学习要从具体例证开始抽象概念的学习要从具体例证开始 理解抽象概念需要具体例证的支持理解抽象概念需要具体例证的支持

9、案例：函数概念的处理案例：函数概念的处理我们的建议我们的建议典型背景实例典型背景实例归纳、概括归纳、概括获得定义获得定义（3 3）实例的选择）实例的选择 解析式、图象、表格解析式、图象、表格目的目的形成正确的函数概念：形成正确的函数概念： 函数是刻画变量间依赖关系的法则；函数是刻画变量间依赖关系的法则； 不一定都有解析式，即不一定都有解析式，即y= =f( (x) )可以是解析式，可以是解析式，也可以是图，还可以是表格；也可以是图，还可以是表格； 强调函数的三要素强调函数的三要素集合对应语言集合对应语言. .（4 4）归纳概括出定义）归纳概括出定义（5 5）函数概念的辨析函数概念的辨析以实例（

10、正例、以实例（正例、反例）反例） 为为载体分析关键词的含义载体分析关键词的含义；反例：下图是一只蚂蚁在矩形的墙面上爬行图，蚂蚁离地的反例：下图是一只蚂蚁在矩形的墙面上爬行图，蚂蚁离地的高度高度h是离起点的水平距离是离起点的水平距离t的函数吗？为什么？的函数吗？为什么？离地高度h/cm2水平距离t/cm 1 2 6 4 5 61345 3.正例：蚂蚁离起点的水平距离正例：蚂蚁离起点的水平距离t是离地的高度是离地的高度h的函数的函数吗？为什么？吗？为什么？（6）函数概念的精致化）函数概念的精致化核心：进一步加深对核心：进一步加深对“数集之间的对应法则数集之间的对应法则”的理解的理解 再次与初中函数

11、的再次与初中函数的“变量说变量说”进行比较进行比较 三种表示法三种表示法 基本初等函数模型基本初等函数模型 函数拟合函数拟合案例：函数单调性定义的案例：函数单调性定义的“注意事项注意事项” 大家能说说吗？大家能说说吗？函数性质的讨论函数性质的讨论 加强研究方法的引导加强研究方法的引导 变化之中保持的变化之中保持的“不变性不变性”就是性质；变化过就是性质；变化过程中出现的规律性就是性质程中出现的规律性就是性质.现实世界中的某些现实世界中的某些变化会随着时间的推移而有增有减、有快有慢变化会随着时间的推移而有增有减、有快有慢，有时达到最大值有时处于最小值，有时达到最大值有时处于最小值这些现这些现象反

12、映到数学中，就是函数值随自变量的增加象反映到数学中，就是函数值随自变量的增加而增加还是减少、什么时候函数值最大、什么而增加还是减少、什么时候函数值最大、什么时候函数值最小时候函数值最小这就是我们要研究的函数这就是我们要研究的函数性质性质“单调性单调性”“”“最大值最大值”“”“最小值最小值”.高中阶段接触的函数性质：高中阶段接触的函数性质： 函数的增与减（单调性）函数的增与减（单调性）重点重点 函数的最大值、最小值函数的最大值、最小值 函数的增长率、衰减率函数的增长率、衰减率 函数增长（减少）的快与慢函数增长（减少）的快与慢 函数的零点函数的零点 函数（图象）的对称性（奇偶性）函数（图象）的对

13、称性（奇偶性） 函数值的循环往复（周期性）函数值的循环往复（周期性） 案例：函数的单调性案例：函数的单调性 加强几何直观、数形结合加强几何直观、数形结合“三步曲三步曲” 观察图象，描述变化规律（上升、下降）观察图象，描述变化规律（上升、下降） 结合图、表，用自然语言描述变化规律（结合图、表，用自然语言描述变化规律（y随随x的增大而增大或减小），在此过程中，也体现的增大而增大或减小），在此过程中，也体现了必要性；了必要性； 用数学符号语言描述变化规律用数学符号语言描述变化规律单调性小结单调性小结 体现思想性体现思想性 如何研究函数，即研究什么如何研究函数，即研究什么. . 体现必要性体现必要性

14、通过通过“数学实例数学实例”加强概念形成过程加强概念形成过程 抽象概括出本质特征抽象概括出本质特征 辨析辨析以实例（正例、反例）为载体分析关键以实例（正例、反例）为载体分析关键词的含义；词的含义； 精致化（后续学习）精致化（后续学习） 与奇偶性等函数其他性质的联系，进一步研究基与奇偶性等函数其他性质的联系，进一步研究基本初等函数的单调性，用导数工具研究初等函数本初等函数的单调性，用导数工具研究初等函数的单调性的单调性另一类案例另一类案例 直线与平面垂直的定义直线与平面垂直的定义 先让通过实例，如电线杆与他在地面上的影子之间先让通过实例，如电线杆与他在地面上的影子之间的位置关系，让学生的位置关系

15、，让学生“直观感受直观感受”这种位置关系，这种位置关系，给出定义，把主要精力放在对给出定义，把主要精力放在对“合理性合理性”的认识上，的认识上，通过正、反例理解定义的关键词通过正、反例理解定义的关键词. . 必须向学生交待清楚：用必须向学生交待清楚：用“说得清道得明说得清道得明”的几何的几何关系（即关系（即“直线与直线垂直直线与直线垂直”）来定义）来定义“无法说清无法说清”的几何关系（即的几何关系（即“直线与平面垂直直线与平面垂直”）是化归的方）是化归的方法，一种公理化思想，学生则只要采用接受式学习法，一种公理化思想，学生则只要采用接受式学习方式即可方式即可. .概念教学的基本环节概念教学的基

16、本环节 适度体现思想性与必要性适度体现思想性与必要性 典型丰富的具体例证典型丰富的具体例证属性的分析、比较、综属性的分析、比较、综合；合； 概括共同本质特征得到概念的本质属性；概括共同本质特征得到概念的本质属性； 下定义（准确的数学语言描述）；下定义（准确的数学语言描述）； 概念的辨析概念的辨析以实例（正例、反例）为载体分以实例（正例、反例）为载体分析关键词的含义；析关键词的含义； 用概念作判断的具体实例用概念作判断的具体实例形成用概念作判断形成用概念作判断的具体步骤；的具体步骤； 概念的概念的“精致精致”建立与相关概念的联系建立与相关概念的联系. .函数奇偶性的教学函数奇偶性的教学 急功近利

17、的做法急功近利的做法（1）给出函数）给出函数y=x2和和y=x的图像，并提出问的图像，并提出问题：如果从图象的对称性观察，两个图象题：如果从图象的对称性观察，两个图象各有什么特点？各有什么特点？（2）给表格并提问：数量关系上有何特征？）给表格并提问：数量关系上有何特征？（3）能否描述一下函数）能否描述一下函数y=x2的特征？的特征？ 学生的回答：对于学生的回答：对于y=x2，当，当x取任意数时取任意数时y都都取正数；函数图像关于取正数；函数图像关于y轴对称；自变量取轴对称；自变量取一对相反数时，函数值相等；一对相反数时，函数值相等；（4）对于定义域内任意一个）对于定义域内任意一个x，是否都有，

18、是否都有 f(x)f(x)？（5）能否描述一下偶函数的定义？）能否描述一下偶函数的定义？“一个函数打天下一个函数打天下”，缺乏概括的基础，缺乏概括的基础.注重概括过程的做法注重概括过程的做法 典型、丰富的例证典型、丰富的例证不止一个：不止一个：y=x2，y=|x|， y=x22； 从观察图象、概括共同特征入手；从观察图象、概括共同特征入手； 列表，从数的角度描述特征；列表，从数的角度描述特征； 形、数对照形、数对照从形到数从形到数用函数符号语言用函数符号语言描述特征；描述特征； 概念的精致：内涵、外延的深加工，概念要素概念的精致：内涵、外延的深加工，概念要素的具体界定；组织的具体界定；组织建立

19、相关知识的联系建立相关知识的联系.概念教学还应揭示蕴含的思想方法概念教学还应揭示蕴含的思想方法案例：曲线与方程案例：曲线与方程高中观摩课高中观摩课 忽视引入概念的必要性忽视引入概念的必要性 从已学直线的方程出发，平铺直叙，学生不知目的从已学直线的方程出发，平铺直叙，学生不知目的，也不易理解，也不易理解 忽视与已有知识的联系性（直线的方程、圆的方程忽视与已有知识的联系性（直线的方程、圆的方程、函数与图象）、函数与图象） 对这个概念在解析几何中的作用认识不足对这个概念在解析几何中的作用认识不足 本质上没有真正理解数学本质上没有真正理解数学对概念本身理解不到位对概念本身理解不到位另一种上法另一种上法

20、 引例引例ABC的顶点分别是的顶点分别是A（2，3），），B(4，0)，C（4，0），求），求BC边上中线的方程边上中线的方程 由此引发学生的思考与讨论由此引发学生的思考与讨论 生生：BC边上的中线的方程边上的中线的方程是是3x2y0 师师：都是这个结果吗？：都是这个结果吗？ 该该生或其他学生：还有生或其他学生：还有x0，2 师师：凭什么说：凭什么说“BC边上中线的方程边上中线的方程”就是就是“3x2y0，x0，2”，而不是，而不是“3x2y0”呢呢？ 生：生：3x2y0表示一条直线，而表示一条直线，而“BC边边上的中线上的中线”是一条线段应该有范围是一条线段应该有范围 师：对这里的师：对这里

21、的“曲线曲线”指什么？指什么？“BC边边上的中线上的中线”，它是一条线段而方程，它是一条线段而方程3x2y0表示一条直线，并不是这一条线段表示一条直线，并不是这一条线段 “方程方程”不仅指不仅指“等式等式”，还包括变量的，还包括变量的取值范围！方程也有取值范围！方程也有“定义域定义域” 为什么说为什么说“方程方程3x2y0，x0，2”就成了就成了“BC上的中线上的中线”的方程了呢？它们的方程了呢？它们到底是一个什么关系？到底是一个什么关系？ 生：生：“BC上的中线上的中线”上的点的坐标都能够上的点的坐标都能够满足这个方程满足这个方程 师师：有其他的点的坐标满足这个方程吗？：有其他的点的坐标满足

22、这个方程吗？ 生：没有生：没有 师：反过来呢？师：反过来呢？ 生：以方程生：以方程“3x2y0，x0，2”的的解为坐标的点都在解为坐标的点都在“BC边上的中线边上的中线”吗吗 师：有没有在其他地方的呢？师：有没有在其他地方的呢？ 生：没有生：没有师：这样一来，师：这样一来，“BC边上的中线边上的中线”这条这条“曲曲线线”（我们把线段也说成曲线）与方程（我们把线段也说成曲线）与方程“3x2y0，x0，2”就建立了一种关系就建立了一种关系这种关系就是，这种关系就是，BC边上的中线边上的中线这条线段这条线段上的坐标都满足方程，而以方程上的坐标都满足方程，而以方程“3x2y0，x0，2”的解为坐标的点

23、都在的解为坐标的点都在“BC边边上的中线上的中线”上上意图：意图：以以一一个个典型的、典型的、简单简单的例子为的例子为载体载体，解剖解剖一个一个“麻雀麻雀”，让学生体验让学生体验“曲线曲线”与与“方程方程”之间的之间的关系关系 丰富实例，增强丰富实例，增强体验体验 回答回答下列问题：下列问题： （1）在直角坐标系中，平分第一、三象限的直）在直角坐标系中，平分第一、三象限的直线的方程是什么？为什么？线的方程是什么？为什么？（2）你能够说明为什么以）你能够说明为什么以C（a，b）为圆心）为圆心，r为半径的圆的方程是（为半径的圆的方程是（xa）2+（yb）2=r2吗？吗？ 意图意图：以学生熟悉的事例

24、体验以学生熟悉的事例体验“曲线曲线”与与“方方程程”之间之间的的 关系关系，为抽象、概括做准备，为抽象、概括做准备 概括曲线与方程的概念概括曲线与方程的概念 方程方程f（x，y） 0（代数）要能够称为曲（代数）要能够称为曲线线C（几何）的方程，需要满足什么样的条（几何）的方程，需要满足什么样的条件？件？ （概念建立的合理性）（概念建立的合理性） 方程方程f（x，y） 0（代数）要能够称为曲（代数）要能够称为曲线线C（几何）的方程，需要满足条件：（几何）的方程，需要满足条件：（1）曲线）曲线C上的点的坐标都是方程上的点的坐标都是方程f（x，y） 0的解；的解；（2）以方程）以方程f（x，y） 0

25、的解为坐标的点的解为坐标的点都在曲线都在曲线C上上在此基础上，给出定义在此基础上，给出定义. . 精致精致化化 在在直角坐标系中：直角坐标系中： 几何几何 代数代数点点M 坐标（坐标（x，y） （一一对应）（一一对应） 动（点动（点M规则运动）规则运动） （x，y相互约束）相互约束）曲线曲线C 方程方程f（x，y） 0点点M（x，y）在曲线）在曲线C上上 坐标坐标（x，y）满）满足方程足方程f（x，y） 0 用集合的语言认识曲线与方程的关系用集合的语言认识曲线与方程的关系 设集合设集合C=M|点点M在曲线在曲线C上上；集合；集合F=（x，y）|f（x，y）=0 条件（条件（1）即）即C F；条

26、件（；条件（2）即）即F C合起来即合起来即C=F即：即：只有当曲线只有当曲线C上的点构成的集合与方程上的点构成的集合与方程f（x，y）的解为坐标的点构成的集合完全一）的解为坐标的点构成的集合完全一致时，曲线致时，曲线C才能称为方程才能称为方程f（x，y）的曲线）的曲线，方程，方程f（x，y）才能称为曲线）才能称为曲线C的方程的方程 进而初步揭示出在解析几何中的地位与作进而初步揭示出在解析几何中的地位与作用用 后续再来探讨后续再来探讨“函数及其图象函数及其图象”和和“曲线曲线与方程与方程”的关系的关系 案例：案例：定积分概念的引入定积分概念的引入 着重揭示定积分的思想方法和求解问题的一着重揭示

27、定积分的思想方法和求解问题的一般步骤般步骤（1 1）通过解决曲边梯形的面积、变速直线运动的路）通过解决曲边梯形的面积、变速直线运动的路程这两个典型问题，着重揭示出定积分的思想方程这两个典型问题，着重揭示出定积分的思想方法：在每个局部小范围内法：在每个局部小范围内“以直代曲以直代曲” “以不变代变以不变代变 ”和逼近的思想事实上，这就和逼近的思想事实上，这就是定积分概念中蕴涵的最本质思想，这也是应用是定积分概念中蕴涵的最本质思想，这也是应用定积分解决实际问题的思想方法定积分解决实际问题的思想方法 （2 2）给出求解这类问题的一般步骤）给出求解这类问题的一般步骤“四步曲四步曲” ：分割、近似代替、

28、求和、取极限：分割、近似代替、求和、取极限 曲边梯形的面积曲边梯形的面积 问题的引出（必要性）问题的引出（必要性） 如何求由抛物线如何求由抛物线y=xy=x2 2与直线与直线x=1,y=0,x=1,y=0,所所围成的平面图形部分的面积围成的平面图形部分的面积S S？ 解决问题的关键（思想方法）解决问题的关键（思想方法） 通过回顾求一种特殊的曲边形通过回顾求一种特殊的曲边形圆的圆的面积的过程，通过类比启发学生得到解面积的过程，通过类比启发学生得到解决问题的思想方法决问题的思想方法局部小范围内局部小范围内“以直代曲以直代曲”“”“以不变代变以不变代变 ”和逼近的思和逼近的思想想 解决问题的解决问题

29、的“四步曲四步曲” 第一步第一步分割分割 把区间把区间0,10,1等分成等分成n n个小区间，原来的曲边梯形就被分个小区间，原来的曲边梯形就被分成成n n个小曲边梯形个小曲边梯形 第二步第二步近似代替近似代替 在每个小区间上进行近似代替，在每个小区间上进行近似代替， “以直代曲以直代曲”，求出，求出每个小曲边梯形面积的近似值（用左段点处的函数值）每个小曲边梯形面积的近似值（用左段点处的函数值） 第三步第三步求和求和 求出所有这些近似值的和，就得到原来的曲边梯形面积求出所有这些近似值的和，就得到原来的曲边梯形面积的近似值的近似值 第四步第四步取极限取极限 对曲边梯形面积的近似值取极限得到曲边梯形

30、的面积对曲边梯形面积的近似值取极限得到曲边梯形的面积 通过图形可以看出，随着分割越来越细，近似通过图形可以看出，随着分割越来越细，近似值不断趋向于曲边梯形的面积；通过数值表可值不断趋向于曲边梯形的面积；通过数值表可以使学生能够定量地看出，随着区间等分数以使学生能够定量地看出，随着区间等分数n n的增大，曲边梯形的面积趋向于常数的增大，曲边梯形的面积趋向于常数 13 设置设置“探究探究”栏目，先用右端点处的函数栏目，先用右端点处的函数值进行近似代替，求出曲边梯形的面积，值进行近似代替，求出曲边梯形的面积，再借助几何直观（可利用信息技术手段）再借助几何直观（可利用信息技术手段）得出面积的一般表达式

31、：得出面积的一般表达式： 变速直线运动的路程变速直线运动的路程 类比求曲边梯形面积的过程，类比求曲边梯形面积的过程， 从函数值与物从函数值与物理意义两方面分析、解决问题理意义两方面分析、解决问题. .得到结果后，得到结果后， 再从反方向上推断出该再从反方向上推断出该路程在数值上等于一个曲边梯形的面积，从而路程在数值上等于一个曲边梯形的面积，从而为给出定积分的几何意义作铺垫为给出定积分的几何意义作铺垫. .教学中应选择关键探究栏目教学中应选择关键探究栏目 让学生抽象概括出共性，让学生抽象概括出共性，引入定积分引入定积分概念概念提供抽象概括的机会提供抽象概括的机会. . 回归概念解决问题回归概念解

32、决问题l 关注用导数本质及其几何意义解决问题关注用导数本质及其几何意义解决问题二、原理、定理、公式等规则课的教学二、原理、定理、公式等规则课的教学 通常做法通常做法 快速给出原理、快速给出原理、定理、定理、公式公式 给出注意事项给出注意事项 重心放在应用重心放在应用原理、定理、原理、定理、公式解题，往往侧重公式解题，往往侧重题型、侧重解题结果题型、侧重解题结果 造成讲过的不一定会做，没讲过的一定不造成讲过的不一定会做，没讲过的一定不会做会做没有发展性没有发展性 20102010年北京理科卷年北京理科卷15 15 ：已知函数：已知函数：（）求）求 的值；的值；（）求）求 的最大值和最小值的最大值

33、和最小值. . 22cos2sin4cosxxx(x)f()3f(x)f 数学归纳法数学归纳法l 关键：帮助学生关键：帮助学生“理解理解”数学归纳法的原理数学归纳法的原理;l 具体做法：通过实例具体做法：通过实例( (生活中、数学中生活中、数学中) )，引引导学生导学生“归纳归纳”出数学归纳法的原理出数学归纳法的原理.l 结果：利用数学归纳法证明简单数学命题时结果：利用数学归纳法证明简单数学命题时，知道怎么做，为什么这么做，有效避免生，知道怎么做，为什么这么做，有效避免生搬硬套搬硬套. 一个数学问题（需要探索新的证明方一个数学问题（需要探索新的证明方） “对于数列对于数列a an n，已知，已

34、知a a1 11 1，a an n+1+1 （n n 1 1，2 2，），通过对），通过对n n = 1= 1，2, 3, 42, 3, 4前前4 4项项的归纳，我们已经猜想出其通项公式为的归纳，我们已经猜想出其通项公式为 a an n ” 逐一验证是不可能的，需要寻求一种方法：逐一验证是不可能的，需要寻求一种方法：通过有限个步骤的推理，证明通过有限个步骤的推理，证明n n取所有正整数取所有正整数都成立都成立 1nnaa1n “多米诺骨牌多米诺骨牌”全部倒下的原理全部倒下的原理 使使“多米诺骨牌多米诺骨牌”全部倒下的两个条件：全部倒下的两个条件： 第一块骨牌倒下；第一块骨牌倒下； 任意相邻的两

35、块骨牌，前一块倒下一定任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下导致后一块倒下 两个条件的作用：两个条件的作用： 条件：奠基；条件：递推关系条件：奠基；条件：递推关系利用利用“多米诺骨牌多米诺骨牌”原理证明这个数学猜原理证明这个数学猜想（经历利用合情推理提出猜想想（经历利用合情推理提出猜想 逻辑推理进行证明）逻辑推理进行证明）数学归纳法的原理：数学归纳法的原理：（归纳奠基（归纳奠基）：命题对）：命题对n=n0成立成立(n0为使猜想为使猜想成立的最小的正整数成立的最小的正整数)；（归纳递推）：命题若对（归纳递推）：命题若对n=k成立，则对成立，则对k1也成立（也成立（kn0）学生普遍存在的

36、问题：学生普遍存在的问题： 为什么第二步能在假设下进行证明？为什么第二步能在假设下进行证明？ 第二步实际上是证明一个命题：第二步实际上是证明一个命题：“假设假设n=kn=k（knkn0 0）时命题成立，证明当）时命题成立，证明当n=kn=k1 1时命题也时命题也成立成立” 其本质是证明一个递推关系，归纳递推的作用其本质是证明一个递推关系，归纳递推的作用是从前往后传递是从前往后传递. . 案例：距离公式案例：距离公式 点到点的距离点到点的距离 特殊情形特殊情形实际是可以看成数轴上两点实际是可以看成数轴上两点间的距离；间的距离； 一般情形，构造直角三角形，转化为：已一般情形，构造直角三角形，转化为

37、：已知两直角边，求斜边知两直角边，求斜边. 两类情况的统一表示两类情况的统一表示.u不仅得出公式本身，还蕴含着解决问题的不仅得出公式本身，还蕴含着解决问题的思路的引导思路的引导. 点到直线的距离点到直线的距离一般思路：转化为两点间的距离一般思路：转化为两点间的距离u求法求法1（自然思路）：作垂线（其方程易求（自然思路）：作垂线（其方程易求），求垂足的坐标（可求），求给定的点），求垂足的坐标（可求），求给定的点与垂足的距离与垂足的距离.u第第2,3步很复杂步很复杂易想不易计算易想不易计算 在解决解析几何问题时经常遇到在解决解析几何问题时经常遇到. 上述方法中的难点在于求交点坐标，以及两点之上述方

38、法中的难点在于求交点坐标，以及两点之间的距离，如果是一条平行于坐标轴的线段，交间的距离，如果是一条平行于坐标轴的线段，交点坐标和线段长度就都很好求了点坐标和线段长度就都很好求了 从两点间距离公式的推导过程得到启示从两点间距离公式的推导过程得到启示 根据上述思考以及借鉴两点间距离公式的推导，根据上述思考以及借鉴两点间距离公式的推导，将将|P|P0 0Q|Q|放到一个直角三角形中求解放到一个直角三角形中求解. .u 两种方法：两种方法： 面积法；面积法； 利用直角三角形中的边角关系（涉及三角函数）利用直角三角形中的边角关系（涉及三角函数） 不仅得出公式本身，还蕴含着解决问题的不仅得出公式本身，还蕴

39、含着解决问题的思路、策略的引导思路、策略的引导 不要求证明的定理不要求证明的定理案例：直线与平面垂直的判定定理案例：直线与平面垂直的判定定理n 关键关键: :设计反映定理核心的系列探究活动设计反映定理核心的系列探究活动, ,发现定理发现定理l 直观操作、直观感知直观操作、直观感知l 探讨本质特征探讨本质特征l 猜想判定定理；猜想判定定理；l 理性思辨理性思辨让三角形纸板转起来，符合直线与让三角形纸板转起来，符合直线与平面垂直的定义；平面垂直的定义；l 给出给出定理；定理；l 揭示思想方法揭示思想方法. .规则课教学小结规则课教学小结 原理教学的重心放在原理教学的重心放在“抽象概括抽象概括”出原

40、理上出原理上 定理教学定理教学 结果：使学生掌握定理包含的条件和结论，掌握定理结果：使学生掌握定理包含的条件和结论，掌握定理的证明方法的证明方法. .进而掌握定理间的关系，能应用定理解进而掌握定理间的关系，能应用定理解决问题决问题. . 过程：发现和提出猜想，并通过推理论证获得定理过程：发现和提出猜想，并通过推理论证获得定理. .其中关键是引导学生发现条件与结论之间的联系，进其中关键是引导学生发现条件与结论之间的联系，进而发现证明方法而发现证明方法. .通过简单应用，及时巩固，加深对通过简单应用，及时巩固，加深对定理的理解定理的理解. . 公式教学公式教学 公式的背景和应用（来龙去脉），推导，

41、辨析，公式的背景和应用（来龙去脉），推导，辨析， 联系（如余弦定理与勾股定理）联系（如余弦定理与勾股定理） 原理、定理、公式中（推导过程中）蕴含原理、定理、公式中（推导过程中）蕴含着解决问题的思路、策略着解决问题的思路、策略案例：归纳推理案例：归纳推理归纳推理的一般步骤归纳推理的一般步骤： 对某类事物的部分对象对某类事物的部分对象( (有限的资料有限的资料) )进行进行观察、分析、整理；观察、分析、整理； 提出猜想；提出猜想； 检验猜想检验猜想! ! 教学教学中得出归纳推理含义不到位中得出归纳推理含义不到位例观察下面等式：例观察下面等式： 0+1 =10+1 =1， 1+8 =2+3+41+8

42、 =2+3+4， 8+27 = 5+6+7+8+98+27 = 5+6+7+8+9， 27+64=10+11+12+13+14+15+1627+64=10+11+12+13+14+15+16， 由上面等式，你能归纳得出什么猜想？由上面等式，你能归纳得出什么猜想？一线教研员、教师提供的方案一线教研员、教师提供的方案分析：可以按第一个等式，第二个等式，分析：可以按第一个等式，第二个等式，第，第n n 个等式的顺序依次观察，观察时，要考虑前个等式的顺序依次观察，观察时，要考虑前后等式中的联系，观察等式序号与等式内各数后等式中的联系，观察等式序号与等式内各数之间存在的关系之间存在的关系, ,找出规律，

43、得出一般性的猜找出规律，得出一般性的猜想想. .解：解： 等式左边是一个奇数与一个偶数的和，右等式左边是一个奇数与一个偶数的和，右边是奇数个连续自然数的和；边是奇数个连续自然数的和； 奇数与偶数的和等于奇数个连续自然数的和；奇数与偶数的和等于奇数个连续自然数的和； 左边第左边第1 1项项= (= (序号序号 1) 1)3 3，第，第2 2项项= =序号序号3 3 ，右，右边第一项边第一项= =序号，是序号，是(2(2序号序号-1)-1)个连续自然数个连续自然数的和的和. . 我们修改后的呈现方式我们修改后的呈现方式分析：分析：按第按第1 1个等式，第个等式，第2 2个等式个等式的顺序依次的顺序

44、依次观察，观察的主要目的是考察等式中的数、项观察，观察的主要目的是考察等式中的数、项数与等式序号之间的关系数与等式序号之间的关系. .可以发现，各等式左可以发现，各等式左边的数在变化，但总是两项；右边的数在变化边的数在变化，但总是两项；右边的数在变化，但都是连续自然数的和，且项数是（，但都是连续自然数的和，且项数是（2 2序号序号-1-1）. . 若观察若观察0+1=10+1=1后，认为等式的规律是：左边第后，认为等式的规律是：左边第1 1项项= =序号序号-1-1，左边第，左边第2 2项项= =序号，右边序号，右边= =序号，但序号，但观察观察1+8 =2+3+41+8 =2+3+4后，发现

45、第后，发现第2 2个等式不满足这个个等式不满足这个规律，于是把第规律，于是把第1 1、第、第2 2个等式综合起来进行修个等式综合起来进行修正可以发现，对第正可以发现，对第1 1、第、第2 2个等式均有：个等式均有：等式的左边满足：等式的左边满足：第第1 1项项= (= (序号序号 1) 1)3 3，第，第2 2项项= =序号序号3 3；等式的右边满足：等式的右边满足：第第1 1项项=(=(序号序号 1 ) 1 )+1+1，后面的项依次加，后面的项依次加1 1，直到最后一项直到最后一项= =序号序号 经检验，这个规律对第经检验，这个规律对第3 3，第，第4 4个等式依然成立个等式依然成立于是，我

46、们猜想等式满足的规律为：在第于是，我们猜想等式满足的规律为：在第n n个等式中，个等式中，左边左边= =（n-1n-1）3 3+n+n3 3，右边右边=（n-1)n-1) +1+ +1+ （n-1)n-1) +2+ +2+ +n+n. .解：将各已知等式改写为：解：将各已知等式改写为：0 03 3+1+13 3=1=12 2，1 13 3+2+23 3=(1=(12 2+1)+(1+1)+(12 2+2)+(1+2)+(12 2+3),+3),2 23 3+3+33 3=(2=(22 2+1)+(2+1)+(22 2+2)+(2+2)+(22 2+3)+(2+3)+(22 2+4)+(2+4)

47、+(22 2+5)+5). .猜想第猜想第n n个等式是：个等式是：(n-1)(n-1)3 3+n+n3 3=(n-1)=(n-1)2 2+1+(n-1)+1+(n-1)2 2+2+2+ + (n-1) (n-1)2 2+2n-1 +2n-1 =(n =(n2 2-2n+2)+( n-2n+2)+( n2 2-2n+3)+-2n+3)+n+n2 2 ： （1 1）归纳推理的一般进程为：根据部分已知信）归纳推理的一般进程为：根据部分已知信息提出猜想，用其他已知信息检验猜想、修正息提出猜想，用其他已知信息检验猜想、修正猜想，再用已知信息检验新猜想，想得出猜想猜想，再用已知信息检验新猜想，想得出猜想

48、. . (2) (2) 猜想中，运用函数的思想猜想中，运用函数的思想. . （3 3）得出猜想后，应有对猜想进行检验、证明）得出猜想后，应有对猜想进行检验、证明的意识如对本例中得出的猜想，可以给出证的意识如对本例中得出的猜想，可以给出证明如下：明如下： 所以等式成立，即猜想是一个真命题所以等式成立，即猜想是一个真命题. . 三、引言课（起始课）教学三、引言课（起始课）教学章引言（起始课）章引言（起始课） 引言是全章的起始、序曲，是全章内容的引导性材料，引言是全章的起始、序曲，是全章内容的引导性材料，具有先行组织者的重要作用具有先行组织者的重要作用. .好的引言，对于好的引言，对于加强基本思加强

49、基本思想教学、培养发现和提出问题想教学、培养发现和提出问题的能力等都有重要作用的能力等都有重要作用. . 引言的主要内容引言的主要内容 1.1.本章内容的引入本章内容的引入. .借助适当的问题情境（实际的或数借助适当的问题情境（实际的或数学内部的）引入本章内容，体现必要性学内部的）引入本章内容，体现必要性. . 2.2.本章内容的概述本章内容的概述. .使学生了解本章内容的概貌使学生了解本章内容的概貌. . 3.3.本章方法的引导本章方法的引导. .使学生了解本章的主要数学思想方使学生了解本章的主要数学思想方法和学习（研究）方法法和学习（研究）方法. . 章引言的教学要设置恰当的过程章引言的教

50、学要设置恰当的过程 宜粗不宜细宜粗不宜细案例：案例：数系的扩充与复数的引入数系的扩充与复数的引入l 必要性：必要性：由数学内部的矛盾由数学内部的矛盾x x2 21 10 0在实数集中在实数集中无解无解，产生，产生认知冲突，引发数的范围进行扩充的认知冲突，引发数的范围进行扩充的必要性，从而引入虚数的概念，必要性，从而引入虚数的概念，进而进而建立复数的建立复数的概念概念l 思路的引导（思想方法的思路的引导（思想方法的 引导）：能否像引入无引导）：能否像引入无理数而把有理数系扩充到实数系一样，通过引入理数而把有理数系扩充到实数系一样，通过引入新数扩充实数系，进而解决问题新数扩充实数系，进而解决问题.

51、 .l 激发激发兴趣兴趣：复数是复数是1616世纪人们在讨论一元二次方世纪人们在讨论一元二次方程、一元三次方程的求根公式时引入的它在数程、一元三次方程的求根公式时引入的它在数学、力学、电学及其其他学科中都有广泛的应用学、力学、电学及其其他学科中都有广泛的应用复数与向量、平面解析几何、三角函数等都有复数与向量、平面解析几何、三角函数等都有密切的联系，也是进一步学习数学的基础密切的联系，也是进一步学习数学的基础l 介绍本章主要内容：通过解方程等具体问题，感介绍本章主要内容：通过解方程等具体问题，感受引入复数概念的必要性，了解扩充过程，学习受引入复数概念的必要性，了解扩充过程，学习基本知识，感受基本

52、知识，感受理性思维在数系扩充中的作用理性思维在数系扩充中的作用. .l 由此，由此，学生在看书时能够学生在看书时能够初步初步体验到体验到“数系的不数系的不断扩充体现了人类在数的认识上的深化就像人类断扩充体现了人类在数的认识上的深化就像人类进入太空实现了对宇宙认识的飞跃一样复数的进入太空实现了对宇宙认识的飞跃一样复数的引入是对数的认识的一次飞跃引入是对数的认识的一次飞跃”以及这些话的以及这些话的深刻含义深刻含义l 在正文第一节课中，进一步渗透理性思维，特别在正文第一节课中，进一步渗透理性思维，特别是运算律的作用是运算律的作用案例：平面向量章引言案例：平面向量章引言 确定一点相对于另外一点的位置等

53、几何背景，位移、速度确定一点相对于另外一点的位置等几何背景，位移、速度、力等物理背景，指出将对它们进行抽象就是数学中的向、力等物理背景，指出将对它们进行抽象就是数学中的向量；量； 与与实数进行实数进行类比介绍章引言，实数集合有运算、运算律等类比介绍章引言，实数集合有运算、运算律等，本章要研究向量的运算、运算律；本章要研究向量的运算、运算律；这时再提出平面向量这时再提出平面向量这一章要解决的主要问题、基本过程和主要思想方法这一章要解决的主要问题、基本过程和主要思想方法 渗透学习、研究的套路（数学思想与方法）渗透学习、研究的套路（数学思想与方法） 数学中定义了数学对象必须要定义运算、研究运算律数学

54、中定义了数学对象必须要定义运算、研究运算律. .如果没有运算，向量只是一个如果没有运算，向量只是一个“路标路标”因为有了运算，因为有了运算，向量的力量无限向量的力量无限 向量向量是近代数学中重要和基本的概念之一，有是近代数学中重要和基本的概念之一，有深刻深刻的的几何背景，是解决几何问题的有力工具向量概几何背景，是解决几何问题的有力工具向量概念念引入引入后，全等和平行（平移）、相似、垂直、勾后，全等和平行（平移）、相似、垂直、勾股定理就股定理就可转化可转化为向量的加（减）法、数乘向量、为向量的加（减）法、数乘向量、数量积运算（数量积运算（运算运算律），从而把图形的基本性质转律），从而把图形的基本

55、性质转化为向量的运算体系化为向量的运算体系 向量向量是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有有着着极其丰富的实际背景，在数学和物理学科中具有极其丰富的实际背景，在数学和物理学科中具有广广泛的泛的应用应用可结合平面向量第可结合平面向量第1课时具体内容课时具体内容 课标要求：通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景课标要求：通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示 向量的定义向量的定义确定两点的相对位置等几何背景，位移、速确定两点的相对位置等几何背景，位移、

56、速度、力等物理背景，抽象概括出向量的概念；度、力等物理背景，抽象概括出向量的概念； 向量的几何表示向量的几何表示与用数轴上的点表示实数类比，引出有与用数轴上的点表示实数类比，引出有向线段；向线段；与实数类比发现向量这个集合中有两个特殊的元素与实数类比发现向量这个集合中有两个特殊的元素零向量、单位向量零向量、单位向量. .（这里可以引申出需研究运算、运算（这里可以引申出需研究运算、运算律）律） 先介绍平行向量，再解决确定性（代表性）的问题先介绍平行向量，再解决确定性（代表性）的问题定义定义相等，进而介绍共线向量相等，进而介绍共线向量案例：必修案例：必修3“统计统计”章引言章引言 引入引入体现必要

57、性与统计思想体现必要性与统计思想我们我们生活在一个数字化时代，时刻都在与数据打交道，例如，生活在一个数字化时代，时刻都在与数据打交道，例如，产品的合格率、农作物的产量、商品的销售量、当地的气温、产品的合格率、农作物的产量、商品的销售量、当地的气温、自然资源、就业状况、电视台的收视率自然资源、就业状况、电视台的收视率 你知道这些数据是怎你知道这些数据是怎么来的吗？实际上它们是通过调查获得的么来的吗？实际上它们是通过调查获得的 怎样调查呢？是对怎样调查呢？是对考察对象进行全面调查吗？例如，为了了解一批计算器的使用考察对象进行全面调查吗？例如，为了了解一批计算器的使用寿命，我们能将它们逐一测试吗？很

58、明显，这既不可能，也没寿命，我们能将它们逐一测试吗？很明显，这既不可能，也没必要实践中，由于所考察的总体中的个体数往往很多，而且必要实践中，由于所考察的总体中的个体数往往很多，而且许多考察带有破坏性，因此，我们通常只考察总体中的一个样许多考察带有破坏性，因此，我们通常只考察总体中的一个样本，通过样本来了解总体的情况进一步，从节约费用的角度本，通过样本来了解总体的情况进一步，从节约费用的角度考虑，在保证样本估计总体达到一定精度的前提下，样本中包考虑，在保证样本估计总体达到一定精度的前提下，样本中包含的个体数越少越好于是，如何设计抽样方法，使抽取的样含的个体数越少越好于是，如何设计抽样方法，使抽取

59、的样本能够真正代表总体，就成为我们要关注的一个关键问题否本能够真正代表总体，就成为我们要关注的一个关键问题否则，如果样本的代表性不好，那么对总体的判断就会出现则，如果样本的代表性不好，那么对总体的判断就会出现错误错误 介绍本章主要内容介绍本章主要内容 那么那么，怎样从总体中抽取样本呢？如何表示，怎样从总体中抽取样本呢？如何表示样本数据呢？如何从样本数据中提取基本信样本数据呢？如何从样本数据中提取基本信息（样本分布、样本数字特征等），来推断息（样本分布、样本数字特征等），来推断总体的情况呢？这些正是本章要研究解决的总体的情况呢？这些正是本章要研究解决的问题问题 立体几何章引言（上海、江苏略）立体

60、几何章引言（上海、江苏略）四、四、大力提高教学质量和效益大力提高教学质量和效益1.“1.“理解数学理解数学”是教好数学的前提是教好数学的前提 理解数学就是要了解数学概念的背景，掌握概念的逻辑意理解数学就是要了解数学概念的背景，掌握概念的逻辑意义，理解内容所反映的思想方法，把握概念的多元联系表义，理解内容所反映的思想方法，把握概念的多元联系表示，挖掘数学知识所蕴含的科学方法、理性精神等价值观示，挖掘数学知识所蕴含的科学方法、理性精神等价值观资源资源. . 理解教学内容，弄清理解教学内容，弄清“是什么是什么” ” ； 理解教学内容之间的联系，在概念体系中认识核心概念；理解教学内容之间的联系，在概念