第3[1]3章+平面问题和轴对称问题

1、金属塑性成形原理 第三章金属塑性变形的力学基础 第3节 平面应变问题和轴对称问题华侨大学华侨大学模具技术研究中心模具技术研究中心主讲：主讲： 刘华刘华华侨大学模具技术研究中心n三维问题简化为平面问题和轴对称问题一、平面应力问题二、平面应变问题三、轴对称问题第3节 平面应变问题和轴对称问题华侨大学模具技术研究中心1）物体内所有质点在与某一方向垂直的平面上都没有应力，如取该方向为坐标的z轴，则有 z zx zy 0。z向必为主方向，所有质点都是两向应力状态； 2)各应力分量都与z坐标无关，整个物体的应力分布可以在xy坐标平面上表示出来。 xyz x y xy yx00000 yxijyxxy1ij

2、200 00000一、平面应力问题华侨大学模具技术研究中心 薄壁管扭转，薄壁容器承受内压或板料拉延成形（壁厚或板厚方向的应力相对较小，可忽略）等思考：所对应的应变状态？ (a)拉深 (b)缩口 (c)翻边平面应力状态工艺举例一、平面应力问题华侨大学模具技术研究中心xy x xydxxxx y yxdxxxyxy dyyyy dyyyxyx 0 yzxzz 0yxxxy0 xyyxy0iijx一、平面应力问题华侨大学模具技术研究中心 两向应力状态的特殊情况，特点是在主切应力平面上的正应力为零。 例如：棒料或管料的小变形扭转。 应力莫尔圆2222)2(xyyxyx21222xy应力莫尔圆一、平面应

3、力问题华侨大学模具技术研究中心n纯切应力及其应力莫尔圆一、平面应力问题O12M（0, - ）1L（0, ）1华侨大学模具技术研究中心两个主应力数值上相等，但符号相反，即为纯切应力状态。通常平面应力状态中Z向虽然没有应力，但有应变，只有纯剪切时，没有应力的方向上才没有应变。注 意一、平面应力问题华侨大学模具技术研究中心n平面应变问题 如果物体内所有质点都只在同一坐标平面内发生变形，而该平面的法线方向没有变形，就属于平面变形或平面应变问题。 思考：平面应变状态所对应的应力状态。？二、平面应变问题华侨大学模具技术研究中心 设没有变形的方向为z方向，该方向上的位移分量为零，其余两个方向的位移分量对z的

4、偏导数必为零，所以z=xz=yz =0，则平面应变状态的三个应变分量为x 、 y 、 xy，且满足以下几何方程 12xyxyyxuxvyuvyx 根据体积不变条件有 xy 二、平面应变问题华侨大学模具技术研究中心 平面变形状态下的应力状态有如下特点：没有变形的z方向为主方向，该方向上的剪应力为零，z平面为主平面，z为中间主应力，在塑性状态下，z等于平均应力，即 212zxym证明 见增量理论二、平面应变问题华侨大学模具技术研究中心如果处于变形状态，发生变形的z平面即为塑性流动平面，平面塑性应变状态下的应力张量可写成mmm02000000020000000 xyxyxxyxyijyxyyxz二、

5、平面应变问题华侨大学模具技术研究中心121m122m12m0020000000000200000002ij 上式表明，平面塑性变形时的应力状态就是纯剪应力状态叠加一个应力球张量。 或者二、平面应变问题纯切应力应力球张量华侨大学模具技术研究中心O O1O2O3平面应变状态下的应力莫尔圆二、平面应变问题O121232华侨大学模具技术研究中心平面变形时，由于z是不变量，而且其他应力分量都与z坐标无关，所以其平衡微分方程和平面应力状态是一样的，即 00yxxxyyxyxy二、平面应变问题华侨大学模具技术研究中心 轴对称应力状态 在塑性成形中经常遇到旋转体。当旋转体承受的外力为对称于旋转轴的分布力而且没

6、有周向力时，则物体内的质点就处于轴对称应力状态。此时，旋转体的每个子午面都始终保持平面，而且各子午面之间的夹角始终不变。用圆柱坐标表示的单元体应力状态为：rrrzrzzrzz三、轴对称问题华侨大学模具技术研究中心xyzor drdzd d 三、轴对称问题华侨大学模具技术研究中心10rrrzrrrzr10zrzzrzzrrzr210rzrrrzr三、轴对称问题华侨大学模具技术研究中心三、轴对称问题rd d drdz rdrrrr drrrr drrrzrz r rz r z 华侨大学模具技术研究中心 r z 0rrzrrzr0rzzrzzrzr0000rrzzrz三、轴对称问题华侨大学模具技术研

7、究中心 轴对称问题 讨论轴对称状态的变形时需要用圆柱坐标和球坐标，采用圆柱坐标时，一般状态的应变几何方程为11 2111 212rrrzzzzrrzuvvurrrrvvwurzrwwuzrz 式中：r 径向，周向，z高度方向三、轴对称问题华侨大学模具技术研究中心 轴对称变形时，子午面始终保持平面，向没有位移速度，位移分量u=0，各位移分量均与无关，由此，r = z =0 ， 向成为应变主方向，这时，几何方程简化为12rzzrurwzurwurz三、轴对称问题华侨大学模具技术研究中心 对于均匀变形时的单向拉伸、锥形模挤压和拉拔，以及圆柱体平砧镦粗等，其径向位移分量u与坐标r成线性关系，于是得uurr 所以r 这时，径向正应力和周向正应力分量也相等，即 r证明 见增量理论三、轴对称问题华侨大学模具技术研究中心三、轴对称问题n用球坐标时的单元体及应力状态图 d d rdrd华侨大学模具技术研究中心三、轴对称问题n球坐标时一般平衡微分方程111(2)0sinrrrrrrctgrrrr111()30sinrr