《概率论与数理统计》课件之8

1、Ch2-12.5 随机变量函数的分布随机变量函数的分布方法方法 将与Y 有关的事件转化成 X 的事件求求 随机因变量Y= g ( X )的密度函数 或分布律)(yfY问题问题 已知已知随机变量 X 的密度函数 或分布律)(xfXCh2-2设随机变量 X 的分布律为, 2 , 1,)(kpxXPkk由已知函数 g( x)可求出随机变量 Y 的所有可能取值，则 Y 的概率分布为, 2 , 1,)()(:ipyYPikyxgkki离散型随机变量函数的分布离散型随机变量函数的分布Ch2-3例例1 1 已知 X 的概率分布为X pk-1 0 1 221418181求 Y 1= 2X 1 与 Y 2= X

2、 2 的分布律解解Y 1pi-3 -1 1 321418181Ch2-4Y 2pi1 0 1 421418181Y 2pi0 1 4218381Ch2-5例例2 2 已知 X 的概率分布为, 2 , 1 , 0,)2(kpqkXPk其中 p + q = 1, 0 p 0 时，)(11)(byafayfXYba,Ch2-10当a 0 时，)(yXyP)()(yFyFXX0y Ch2-14)(yFY0, 0y0),()(yyFyFXX故)(yfY0, 0y0,)()(21yyfyfyXX)(yfY0, 0y0,2122/ 1yeyyCh2-15解二解二 从密度函数出发yyy1x11)( xx2x2

3、2)( xx0)(yyYyP)()(222111xxXxPxXxxP2211)()()()(xxfxxfyyfXXY即当 y 0 时yyy2xy Ch2-1621)()()(21xxXxxXYdxdyxfdxdyxfyf21)()(21xxXxxXdxdyxfdxdyxfyxXyxXdxdyyfdxdyyf)()(Ch2-172)(2)(2221|2|121|2|1yyeyey221yey0,210, 0)(2yeyyyfyY故此答案是否此答案是否 对 ？0,210, 0)(2yeyyyfyY应修正为Ch2-18一般地yx1x2x3y = g(x)xnxxnXxxXxxXYdxdyxfdxdy

4、xfdxdyxfyf)()()()(2121 xnCh2-19特别地，若g(x)为单调函数，则1)()(1xxXYdxdyxfyfy = g(x)xyx1其中x1= g 1(y)Ch2-20例例6 6 设xxxfX,)1 (1)(231XY求 f Y (y)x31xyy(1 - y)3解解3)1(3)1 ()(yxXYdxdyyfyf3)1(3)1 (yxXdydxyfyyy,)1 (1)1 (362Ch2-21例例7 7 设 X 的概率密度函数为其他, 00,2)(2xxxfXXYsin求的概率密度函数解解故当 y 0 或 y 1 时yf Y (y) = 0 x)0(sinxxy100.51

5、1.522.530.20.40.60.81y由图可知, Y 的取值范围为(0,1)Ch2-22yarcsiny - arcsiny1x)0(sinxxy00.511.522.530.20.40.60.81当 时222)arcsin(2arcsin211)(yyyyfY212y故其他, 010,12)(2yyyfY01yCh2-23注意注意 连续随机变量的函数的分布 函数不一定是连续函数例如例如 X U (0,2)其他, 020,21)(xxfX1100, 1, 0)(xxxxxg令Y=g (X)xy11, 110,2, 0, 0)(yyyyyFYFY (y)不是连续函数Ch2-24设随机变量 服从(0,1)内均匀分布,X1( )/2Xg Y又其中dteygyot2222)(求随机变量 的概率密度.Y第第 7 7 周周 问问 题题Ch2-25 设随机变量设随机变量Z服从参数为服从参