接触问题分析ppt课件

1、第四章第四章 接触问题分析接触问题分析目的：以接触问题为例，引见边境非线性问题。目的：以接触问题为例，引见边境非线性问题。特点：与线性有限元方法比较，边境条件是待求的。特点：与线性有限元方法比较，边境条件是待求的。内容：内容：l 引言引言l 经典的接触问题求解方法经典的接触问题求解方法l 数学规划方法求解接触问题数学规划方法求解接触问题引言引言1/5)1/5)接触景象是普遍存在的。实践的工程构造系统往往分成几个非永久性接触景象是普遍存在的。实践的工程构造系统往往分成几个非永久性连在一同的部分，这些部分之间的力靠它们之间的挤压、甚至冲连在一同的部分，这些部分之间的力靠它们之间的挤压、甚至冲击来传

2、送。击来传送。研讨现状：简单的弹性接触问题在研讨现状：简单的弹性接触问题在19世纪末世纪末Hertz就曾经开场研讨，就曾经开场研讨，但只需在有限元方法及计算机出现以后，接触问题的研讨才有但只需在有限元方法及计算机出现以后，接触问题的研讨才有了长足开展，并到达适用化程度。了长足开展，并到达适用化程度。接触实例：齿轮的齿间啮合；汽气轮机及发动机中叶片接触实例：齿轮的齿间啮合；汽气轮机及发动机中叶片与轮盘的榫接；两物体的撞击动态接触。与轮盘的榫接；两物体的撞击动态接触。 接触问题的特点：属边境非线性问题，边境条件不再是定解条件，而接触问题的特点：属边境非线性问题，边境条件不再是定解条件，而是待求结果

3、；两接触体间接触面积与压力随外载的变化而变，并是待求结果；两接触体间接触面积与压力随外载的变化而变，并与接触体的刚性有关。这是该问题的特点，也是困难所在。与接触体的刚性有关。这是该问题的特点，也是困难所在。引言引言2/5)2/5)研讨内容：研讨内容： 对以上四方面内容，不少学者进展了研讨，提出了不同的实际与对以上四方面内容，不少学者进展了研讨，提出了不同的实际与方法，对同一问题，各种实际各有优缺陷，尚未到达共识。基于接触方法，对同一问题，各种实际各有优缺陷，尚未到达共识。基于接触问题的难度、研讨的不成熟、加之其适用性，它不断是固膂力学研讨问题的难度、研讨的不成熟、加之其适用性，它不断是固膂力学

4、研讨的热点。的热点。l接触方式问题：描画两接触体间的力的传送、描画不同载荷接触方式问题：描画两接触体间的力的传送、描画不同载荷下接触形状的变化；处理如何描画的问题下接触形状的变化；处理如何描画的问题l几何约束问题：表示接触面上两物体位移所要满足的条件；几何约束问题：表示接触面上两物体位移所要满足的条件；处理究竟以什么详细方式来描画、即怎样描画？处理究竟以什么详细方式来描画、即怎样描画？l摩擦定律问题：反映接触面上力与位移或压力与切向力之间摩擦定律问题：反映接触面上力与位移或压力与切向力之间的关系；的关系；l求解方法问题：建立数学方程并加以求解。求解方法问题：建立数学方程并加以求解。 引言引言3

5、/5)3/5)研讨内容浅析：研讨内容浅析：接触方式问题：处理接触面上接触力的传送问题。接触方式问题：处理接触面上接触力的传送问题。点面点面node-to-surface接触方式：先将两接触体人为地分为接触方式：先将两接触体人为地分为自动体自动体master body与被动体与被动体slave body，并假定自，并假定自动体网格中的一个结点可与被动体外表上的恣意一点不一动体网格中的一个结点可与被动体外表上的恣意一点不一定是网格结点相接触。优点两接触体可根据本身情况剖定是网格结点相接触。优点两接触体可根据本身情况剖分网格。缺陷方法较复杂、编程难度大。分网格。缺陷方法较复杂、编程难度大。点点点点n

6、ode-to-node接触方式：将两接触体的接触面分成同样接触方式：将两接触体的接触面分成同样的网格，使结点组成一一对应的结点对，假定接触力的传送的网格，使结点组成一一对应的结点对，假定接触力的传送经过结点对实现，接触面上各部分区域的接触形状也相应地经过结点对实现，接触面上各部分区域的接触形状也相应地按结点对来判别。优点直观、简单、易于编程。缺陷对按结点对来判别。优点直观、简单、易于编程。缺陷对于复杂接触面情形，网格结点一一对应不易做到。于复杂接触面情形，网格结点一一对应不易做到。引言引言4/5)4/5)研讨内容浅析研讨内容浅析: 续续几何约束问题：与接触方式亲密相关。实践上，在接触方式确定的

7、几何约束问题：与接触方式亲密相关。实践上，在接触方式确定的同时，接触体边境的约束性也随之确定，即相应地以点对点方同时，接触体边境的约束性也随之确定，即相应地以点对点方式或点对面方式可对接触面间的几何约束予以描画。式或点对面方式可对接触面间的几何约束予以描画。摩擦定律问题：我们都知道已被广泛采用的库仑摩擦定律问题：我们都知道已被广泛采用的库仑Coulomb摩擦摩擦定律，其中的摩擦系数为常数。实践上，摩擦系数不仅取决于定律，其中的摩擦系数为常数。实践上，摩擦系数不仅取决于接触体的资料，而且与接触面光滑度、资料的加工过程、接触接触体的资料，而且与接触面光滑度、资料的加工过程、接触面光滑条件、外表压力

8、等多种要素有关。即使是同样的接触物面光滑条件、外表压力等多种要素有关。即使是同样的接触物体，摩擦系数随载荷大小、滑动情况也会变化。由于摩擦机理体，摩擦系数随载荷大小、滑动情况也会变化。由于摩擦机理非常复杂，因此，目前依然多采用库仑摩擦定律，只是将静、非常复杂，因此，目前依然多采用库仑摩擦定律，只是将静、动摩擦系数分开处置。本章引见接触问题的经典解法时，也采动摩擦系数分开处置。本章引见接触问题的经典解法时，也采用库仑摩擦定律；引见接触问题的数学规划解法时，将采用数用库仑摩擦定律；引见接触问题的数学规划解法时，将采用数学上表述更严谨的学上表述更严谨的Klarbring广义摩擦定律。广义摩擦定律。

9、引言引言5/5)5/5)研讨内容浅析研讨内容浅析: 续续求解方法问题：在这方面，许多科学家倾注了大量的精神。求解方法问题：在这方面，许多科学家倾注了大量的精神。数学规划方法：利用基于有限元离散的数学规划方法直接求系统数学规划方法：利用基于有限元离散的数学规划方法直接求系统总势能极值或驻值问题，其涉及的命题可表述为：总势能极值或驻值问题，其涉及的命题可表述为：经典方法：利用有限元方法，经过迭代进展求解。经典方法：利用有限元方法，经过迭代进展求解。l 寻求一组位移矢量寻求一组位移矢量 ；l 使系统总势能使系统总势能 取驻值；取驻值；l 并满足条件并满足条件 。 q 0h q 目前，接触问题分析的方

10、法主要还是经典方法，即从各种变目前，接触问题分析的方法主要还是经典方法，即从各种变分原理出发，将几何约束和摩擦定律引入泛函，最终获得接触问分原理出发，将几何约束和摩擦定律引入泛函，最终获得接触问题的控制方程。这是由于大型工程构造分析，大多都采用有限元题的控制方程。这是由于大型工程构造分析，大多都采用有限元方法，而经典方法依然在此框架之内。本章那么偏重引见接触问方法，而经典方法依然在此框架之内。本章那么偏重引见接触问题的数学规划解法，主要从可研讨的角度思索。题的数学规划解法，主要从可研讨的角度思索。二次二次规划规划问题问题线性互补问题线性互补问题引入单边约束条件引入单边约束条件经典的接触问题求解

11、方法经典的接触问题求解方法1/3)1/3)普通采用三个假设：普通采用三个假设：l 接触外表是凸的、延续的；接触外表是凸的、延续的；l 接触外表服从库仑摩擦定律；接触外表服从库仑摩擦定律；l 接触方式是点点接触方式。接触方式是点点接触方式。 接触的接触的A、B两物体两物体(a) 能够接触区；能够接触区；(b) 接触区部分坐标系接触区部分坐标系(a)AB能够接触区能够接触区边境的接触形状断定性条件边境的接触形状断定性条件分别为：分别为： 1开式开式opening接触：此时接触：此时 ， 即法向间隙大于等于即法向间隙大于等于0； 0zr 2粘式粘式cohesive接触：此时接触：此时 ， ；即法向无

12、间隙，；即法向无间隙，且在一个载荷增量步始末，整个切平且在一个载荷增量步始末，整个切平面无相对滑动；面无相对滑动； 0zr 0 xr0yr3滑移滑移sliding接触：此时接触：此时 ， 且且 ，即法向无间隙，且，即法向无间隙，且切平面的两个方向均有相对滑动；切平面的两个方向均有相对滑动； 0zr 0 xr0yr4混合混合mixed接触：此时接触：此时 ， 与与 中一个为中一个为0、一个不为、一个不为0，即法向无间隙，切平面的一个方向无即法向无间隙，切平面的一个方向无相对滑动、而另一个方向有相对滑动。相对滑动、而另一个方向有相对滑动。 0zr xryry(b)xz法向法向切平面切平面r表示接触

13、点对间的间隙表示接触点对间的间隙 经典的接触问题求解方法经典的接触问题求解方法2/3)2/3)定解条件：定解条件：四类接触形状，对应的定解条件为：四类接触形状，对应的定解条件为：1开式开式0allblblFFFF, ,lx y z2粘式粘式, ,0,alblalblazbzzFFlx y zqqlx yqqr 3滑移滑移1, ,cossintanalblaxaxazazayayazazbyaybxaxazbzzFFlx y zFFFFFFFFqqqqqqr 4混合混合, ,0alblaxaxazazaybyazbzzFFlx y zFFFFqqqqr 假定假定x 方向滑动方向滑动经典的接触问题

14、求解方法经典的接触问题求解方法3/3)3/3)接触区有限元方程：接触区有限元方程：将定解条件代入，接触方程将定解条件代入，接触方程就成为定解问题。代入时可就成为定解问题。代入时可运用间接的接触单元法，也运用间接的接触单元法，也可直接代入。直接带入时的可直接代入。直接带入时的计算步骤计算步骤K qF 静力凝聚静力凝聚*CLCKqFF 等效刚度等效刚度接触区位移接触区位移接触区载荷接触区载荷非接触区非接触区凝聚载荷凝聚载荷接触方程！接触方程！Trial-Error-Iteration过程：过程：Step 1，试求解，试求解trial：假定初始的接触形状，然后依：假定初始的接触形状，然后依此获得相应

15、的定解条件，以得到新的边境条件并求解，此获得相应的定解条件，以得到新的边境条件并求解，同时得到接触力；同时得到接触力；Step 2，计算误差，计算误差error：假设新得到的接触力与接：假设新得到的接触力与接触位移满足初始假定的接触形状，那么为真解。否那触位移满足初始假定的接触形状，那么为真解。否那么转入么转入Step 3；Step 3，迭代，迭代iteration：更新接触形状及相应的定解：更新接触形状及相应的定解条件，转入条件，转入Step 1进展迭代。进展迭代。阅历阐明，接触迭代往往只需几步就阅历阐明，接触迭代往往只需几步就可很快收敛，这种实验可很快收敛，这种实验trial误误差差err

16、or迭代迭代iteration的方的方法，又称为经典方法，由于归根究竟法，又称为经典方法，由于归根究竟求解的依然是求解的依然是 型方程。型方程。KUF留意：引入定解条件需思索坚持刚度矩阵的良好形状，一方面为了与留意：引入定解条件需思索坚持刚度矩阵的良好形状，一方面为了与所选求解器一致，一方面可适用于处理大型问题。所选求解器一致，一方面可适用于处理大型问题。数学规划方法求解接触问题数学规划方法求解接触问题1/17)1/17)概述：概述：接触问题的共有特征：接触形状包括接触区的大小、压力分布、接触问题的共有特征：接触形状包括接触区的大小、压力分布、位移、变形等分析前未知。位移、变形等分析前未知。数

17、学规划解法：从数学角度，接触问题是一个优化问题，实践的数学规划解法：从数学角度，接触问题是一个优化问题，实践的接触形状就是该优化问题的最优解。接触形状就是该优化问题的最优解。迭代法：即实验误差迭代的格式。迭代法：即实验误差迭代的格式。二维弹性体为研讨对象，较系统地论述接触问题的数学规划解法：二维弹性体为研讨对象，较系统地论述接触问题的数学规划解法：接触问题的数学规划方法描画；接触问题的数学规划方法描画；无摩擦接触问题的数学规划方法；无摩擦接触问题的数学规划方法；有刚体自在度的弹性接触问题；有刚体自在度的弹性接触问题；摩擦接触问题的数学规划方法。摩擦接触问题的数学规划方法。 数学规划方法求解接触

18、问题数学规划方法求解接触问题2/17)2/17)接触问题的势能变分原理及其等价方式接触问题的势能变分原理及其等价方式边境分为给定外力边境边境分为给定外力边境 ，位移边境以及能够发生接触的边境。，位移边境以及能够发生接触的边境。 1力边境条件力边境条件 2位移边境条件位移边境条件oniiuuuonijjitnt,A BA、B两物体上的能够接触区ABCnCACBCC构造公共接触区构造公共接触区 ，使以后对接触区上所做的定义和运算都在，使以后对接触区上所做的定义和运算都在 上进展。上进展。确定确定 的方法很多的方法很多 ，在大变形讨论中会显示出各自的优劣。对于小变形问，在大变形讨论中会显示出各自的优

19、劣。对于小变形问题，各种方法都很接近。题，各种方法都很接近。 确定后，随之可确定接触区的公共法线方向确定后，随之可确定接触区的公共法线方向 和和切线方向切线方向 。 CCCCCnC数学规划方法求解接触问题数学规划方法求解接触问题3/17)3/17)接触问题的势能变分原理及其等价方式续接触问题的势能变分原理及其等价方式续接触问题的接触条件非穿透性条件接触问题的接触条件非穿透性条件non-penetration condition 0ABnnnnuugC on A、B两物体在公法两物体在公法线方向的位移分量线方向的位移分量 代表它们在法线方向的间隙代表它们在法线方向的间隙! 系统的总势能可表示为系

20、统的总势能可表示为( )()tiijiiiitVVuUdVf u dVtu dABVVVABttt 11()22TijijijUD 势能原理表述为这样一个命题势能原理表述为这样一个命题proposition：在一切满足几何：在一切满足几何关系、位移边境条件及接触条件的关系、位移边境条件及接触条件的位移场中，真实解使得系统的总势位移场中，真实解使得系统的总势能取最小值。能取最小值。 find, onmin( ). .0iiiiuinuHu uuust数学上称为单边数学上称为单边unilateral约束条件！约束条件！数学规划方法求解接触问题数学规划方法求解接触问题4/17)4/17)接触问题的势

21、能变分原理及其等价方式续接触问题的势能变分原理及其等价方式续借助于拉氏乘子法，引入变位借助于拉氏乘子法，引入变位dislocation势势2, ,CinCud 接触势部分接触势部分剩余变量剩余变量构造构造 Lagrange 泛函泛函*, ,( ), ,iiiuuu 势能原理势能原理拉氏泛函的极大极小鞍点问题。拉氏泛函的极大极小鞍点问题。 等价等价下面予以证明下面予以证明数学规划方法求解接触问题数学规划方法求解接触问题5/17)5/17)接触问题的势能变分原理及其等价方式续接触问题的势能变分原理及其等价方式续*2, ,()tCiijiiiitnCVVuUdVf u dVtu dd ()0tCij

22、nijiiiitiCVVijiUdVfu dVt u du du 对宗量对宗量 取变分取变分iu,ABtCCij jiijjiVu dnu dV ,0ij jifV in ijjintt on nijjinuC on 对宗量对宗量 取变分取变分 20n C on 对对 取变分，最后得泛函的库取变分，最后得泛函的库-塔塔克克Kuhn-Tucker最优化条件最优化条件 0n00nicit nAC on BC on icit n 或或 B对对A的法向作用力的法向作用力 A对对B的法向作用力的法向作用力经一系列复杂的推导，可将拉氏经一系列复杂的推导，可将拉氏乘子乘子 辨以为辨以为平衡方程平衡方程力边境

23、条件力边境条件拉氏乘子？拉氏乘子？单边约束条件单边约束条件数学规划方法求解接触问题数学规划方法求解接触问题6/17)6/17)无摩擦接触问题的数学规划方法无摩擦接触问题的数学规划方法 前面是积分意义上的普通原理，本节在离散意义上进展分析。前面是积分意义上的普通原理，本节在离散意义上进展分析。11( )22TTTTiAAAAABBBBBuq K qg qq K qg q系统势能离散成：系统势能离散成：接触势离散成：接触势离散成：eTencd eeTTABTTeeerereceencN RMqqdN g d 接触力插值函数接触力插值函数接触区位移插值函数接触区位移插值函数位移向法向的转换矩阵位移向

24、法向的转换矩阵()TABTeeerereeeA qqh 重新记做重新记做经组装经组装TABTerrrreA qqh 0ABrrA qqh相应地，非穿透性条相应地，非穿透性条件离散、组装成：件离散、组装成：数学规划方法求解接触问题数学规划方法求解接触问题7/17)7/17)无摩擦接触问题的数学规划方法续无摩擦接触问题的数学规划方法续 这样，这样，Lagrange函数离散成函数离散成静力凝聚静力凝聚假定两物体均假定两物体均无刚体位移？无刚体位移？ *012TTTTAAABBBAABBTABTrrrq K qq K qg qg qgqqh 0TrgA略去了剩余变量略去了剩余变量 的奉献的奉献*12T

25、TAAABBBrrrrrrrrTTAABBTABrrrrrrrqK qqK qgqgqA qqh 接触问题的特征量是接触区的接触问题的特征量是接触区的相对位移，而不是绝对位移！相对位移，而不是绝对位移！ 第二次凝聚第二次凝聚*12TTTrKPAh ABrrqq 问题变成以下规范的二次规划问题问题变成以下规范的二次规划问题1min2s.t.0TTKPAh 设计变量设计变量数学规划方法求解接触问题数学规划方法求解接触问题8/17)8/17)无摩擦接触问题的数学规划方法续无摩擦接触问题的数学规划方法续 *12TTTrKPAh 引入松弛变量引入松弛变量取变分取变分0TrKPA1TrKAP 假定正定假定

26、正定wAh00,0rTririwaqww1TaAKA1qhAK P典型的线性互补问题，可采用成熟的典型的线性互补问题，可采用成熟的方法，如方法，如Lemke法和法和Graves主旋转法，主旋转法，进展求解。进展求解。取取B的刚度矩的刚度矩阵为无限大阵为无限大可处置弹性体可处置弹性体与刚体与刚体B的的接触问题。接触问题。线性的线性的互补的互补的非负的非负的缺一不可！缺一不可！数学规划方法求解接触问题数学规划方法求解接触问题9/17)9/17)有刚体自在度的弹性接触问题有刚体自在度的弹性接触问题 实践上，接触的两物体之一在将要接触的方向上往往存在刚体自在度，实践上，接触的两物体之一在将要接触的方向

27、上往往存在刚体自在度，在研讨接触时不能逃避。刚体位移也是接触问题中的待求变量，而且，是在研讨接触时不能逃避。刚体位移也是接触问题中的待求变量，而且，是一个自在变量，不像接触位移那样遭到限制。本节将经过求解线性互补问一个自在变量，不像接触位移那样遭到限制。本节将经过求解线性互补问题，一次性地同时求得刚体位移和接触形状。题，一次性地同时求得刚体位移和接触形状。 思索物体思索物体 I、II 接触，其中物体接触，其中物体 I 存在刚体位移，但整个系统有足够的存在刚体位移，但整个系统有足够的约束。此时，离散后的总势能为约束。此时，离散后的总势能为 11111222220102TTeeeTFKuuuJq

28、BKFuuu 去除刚体位移后去除刚体位移后物体物体 I 的位移的位移外力外力 在刚体在刚体位移位移 上做负上做负功添加的势能功添加的势能1Fq力力 在广义在广义位移位移 负方负方向上的分量向上的分量 1Fq最小势能原理可描画成最小势能原理可描画成以下数学问题：以下数学问题： 1212min,s.t., and0eTennnnJ u u qA RBuugA qFind 12,euuq数学规划方法求解接触问题数学规划方法求解接触问题10/17)10/17)有刚体自在度的弹性接触问题续有刚体自在度的弹性接触问题续 引入拉氏乘子，得到引入拉氏乘子，得到 Lagrange 函数为函数为111111222

29、2221201, ,0211TTeeeeTTeTnnFKuuuL u u qq BKFuuuugA qu 利用广义利用广义Kuhn-Tucker最优条件最优条件00,0,0nTnTCFA qAB 1212220,0,0TqMbMb 先求后两式的规范线性互补问题，再先求后两式的规范线性互补问题，再回代第一式求出自在的刚体位移。回代第一式求出自在的刚体位移。qz 和和 非非负且互补负且互补 z1212220,0,0,00,0TTzMbMbzz 可同时求出刚体位移和接触形状可同时求出刚体位移和接触形状的规范线性互补问题。的规范线性互补问题。还可化为还可化为更简约的更简约的方式方式数学规划方法求解接触

30、问题数学规划方法求解接触问题11/17)11/17)摩擦接触问题的数学规划法摩擦接触问题的数学规划法 接触问题分析中还需思索由于相对滑动或趋势产生的摩擦力。摩接触问题分析中还需思索由于相对滑动或趋势产生的摩擦力。摩擦力是非保守力，其构成机理很复杂，与其他量的关系也众说纷纭。擦力是非保守力，其构成机理很复杂，与其他量的关系也众说纷纭。 本节从次微分概念出发，建立广义摩擦定律，针对弹性小变形本节从次微分概念出发，建立广义摩擦定律，针对弹性小变形接触，导出一新型线性互补问题，并给出详细的求解步骤。接触，导出一新型线性互补问题，并给出详细的求解步骤。 五个定义五个定义定义定义1：凸集：凸集 定义定义2

31、：凸函数：凸函数 (1)(1) ( )( )fxyf xf y凸函数的原始定义中用到上方图概念，凸函数的原始定义中用到上方图概念，不便于用来进展判别。这里引见的是凸不便于用来进展判别。这里引见的是凸函数定义的等价方式充要条件。函数定义的等价方式充要条件。 数学规划方法求解接触问题数学规划方法求解接触问题12/17)12/17)摩擦接触问题的数学规划法续摩擦接触问题的数学规划法续 五个定义续五个定义续定义定义3：次微分：次微分sub-differentiation *( )( ),f zf xxzx则称*x 是( )f x 的次梯度。 ( )f x 在x处的次梯度的全体称为( )f x 在x处的

32、次微分， 用( )f x表示。 如果( )f x ， 则称( )f x 在x处是次可微的。 其中, x y代表x与 y的内积。 次微分是对微分概念的推广，例如大家熟知的函数( )f xx在0 x 处是不 可微的，因而不处处可微，但是，根据次微分的定义，它却是处处次可微的，并 且 ( )0( )0f xBxf xx xxB单位球 数学规划方法求解接触问题数学规划方法求解接触问题13/17)13/17)摩擦接触问题的数学规划法续摩擦接触问题的数学规划法续 五个定义续五个定义续定义定义4：法线锥：法线锥normal cone 设C是nR 中的凸集，*nxR，如*x不与C中任何以a为端点的线段成锐角，

33、 即,xC aC ，有*,0 xa x，则称*x 是凸集C 在点a的法线，在点a的法 线矢量的全体所组成的集合称为C在点a的法线锥。 定义定义5：指示函数：指示函数indicator function 设C是nR 中的凸集，定义在凸集C上的指示函数为 0()xCx CxC可以证明，因C 是凸集，()x C必是nR 中的凸函数。 可以证明，若C 是nR 中的非空凸集，则()x C是C 在x的法线锥。 数学规划方法求解接触问题数学规划方法求解接触问题14/17)14/17)摩擦接触问题的数学规划法续摩擦接触问题的数学规划法续 广义摩擦定律广义摩擦定律引入两个函数引入两个函数1TNPP2TNPP 接

34、触切向力接触切向力接触法向力接触法向力摩擦系数摩擦系数经典摩擦定律经典摩擦定律1200TNPP缺乏：缺乏：经典摩擦定律无法保证摩擦定律中在切向所要求的经典摩擦定律无法保证摩擦定律中在切向所要求的 因此，这一要求只能经过迭代修正，才干最终确定，进而获因此，这一要求只能经过迭代修正，才干最终确定，进而获得实践的接触形状。由于迭代的不可防止，给求解带来不便。得实践的接触形状。由于迭代的不可防止，给求解带来不便。 sgn()sgn()TTwP Klarbring等指出，切向滑动速率属于等指出，切向滑动速率属于超势超势 对对 的次微分，即的次微分，即 定义超势定义超势 为闭集为闭集 的指示函的指示函数，

35、即数，即数学规划方法求解接触问题数学规划方法求解接触问题15/17)15/17)摩擦接触问题的数学规划法续摩擦接触问题的数学规划法续 广义摩擦定律续广义摩擦定律续构造闭集也可以证明是凸集构造闭集也可以证明是凸集CJTP;TTNwJ P P结合以上所做的五个定义，结合以上所做的五个定义，经推导可得经推导可得1212121211220,0,0,00,0TTTwPP 1212121211220,0,0,00,0TTTTwgPP 对时间对时间积分积分切向间隙切向间隙以上讨论的是二维情形，三维情形可仿此讨论。以上讨论的是二维情形，三维情形可仿此讨论。(),0,1,2TTTNC PPRP P;TNJ P P0;TTNTTPCJ P PP CPC数学规划方法求解接触问题数学规划方法求解接触问题16/17)16/17)摩擦接触问题的数学规划法续摩擦接触问题的数学规划法续 设设A、B两物体在外力作用下发生接触，凝聚方式的有限元方程为两物体在外力作用下发生接触，凝聚方式的有限元方程为 00PCAAAAPCBBBBKuFFKuFF接触区位移接触区位移外力等效载荷外力等效载荷接触力接触力11CCAACBFFF接触区结点接触区结点一一匹配一一匹配记相对位移记