第7章FIR数字滤波器的设计方法

1、第第7 7章章 FIRFIR数字滤波器的设计方法数字滤波器的设计方法u下下 页页t上上 页页首首 页页O返返 回回7.1 线性相位线性相位FIR数字滤波器的特点数字滤波器的特点7.2 FIR数字滤波器的窗函数设计法数字滤波器的窗函数设计法7.3 频率抽样法设计频率抽样法设计FIR数字滤波器数字滤波器7.4 IIR和和FIR数字滤波器的比较数字滤波器的比较第第7章章 FIR响应数字滤波器的设计方法响应数字滤波器的设计方法 u下下 页页t上上 页页首首 页页O返返 回回FIR数字滤波器具有线性相位的条件数字滤波器具有线性相位的条件()()()( )()( )jjjjHjz eH eH zH eeH

2、e 幅度响应幅度响应: ( )()jHH e( )()H ( ) ( ) 都是常数。都是常数。( )dd 7.1 线性相位线性相位FIR数字滤波器的特点数字滤波器的特点相位响应相位响应:u下下 页页t上上 页页首首 页页O返返 回回10( )( )NnnH zh n z1. 有限长单位冲激响应有限长单位冲激响应h(n)为偶对称为偶对称1100( )(1)( )( )(1)NNnnnnh nh NnH zh n zh Nn z 11(1)(1)(1)100( )( )( )()NNN mNmNmmH zh m zzh m zzH z1mNn令令则有则有7.1 线性相位线性相位FIR数字滤波器的特

3、点数字滤波器的特点u下下 页页t上上 页页首首 页页O返返 回回1111()22201( ) ()2NNNNnnnzh nzz 因此，系统的频率响应因此，系统的频率响应:()jH e11()201()( )( )cos() 2jNNjjz enNH eH zeh nn幅度响应：幅度响应：101( )( )cos() 2NnNHh nn相位响应：相位响应：1( )2N 7.1 线性相位线性相位FIR数字滤波器的特点数字滤波器的特点u下下 页页t上上 页页首首 页页O返返 回回2. 有限长单位冲激响应有限长单位冲激响应h(n)为奇对称为奇对称( )(1)h nh Nn 幅度响应：幅度响应：101(

4、 )( )sin() 2NnNHh nn 7.1 线性相位线性相位FIR数字滤波器的特点数字滤波器的特点相位响应：相位响应：1( )22N 结论：当结论：当FIR滤波器的单位冲激响应滤波器的单位冲激响应h(n)为实序列，具有为实序列，具有偶对称性或者奇对称，那么该偶对称性或者奇对称，那么该FIR滤波器具有线性相位滤波器具有线性相位特性。特性。u下下 页页t上上 页页首首 页页O返返 回回线性相位线性相位FIR数字滤波器的幅度特点数字滤波器的幅度特点1. h(n)偶对称，偶对称，N为奇数为奇数101( )( )cos() 2NnNHh nn由于由于N N为奇数为奇数, ,中间项为中间项为 , ,

5、12Nn1cos()12Nn32011( )()2 ( )cos() 22NnNNHhh nn其余项偶对称其余项偶对称 , ,7.1 线性相位线性相位FIR数字滤波器的特点数字滤波器的特点12Nmn令u下下 页页t上上 页页首首 页页O返返 回回32011()()2() c o s22NmNNHhhmm111(0)(),( )2 (),1, 2222NNNaha nhnn令120()( ) cosNnHa nn02027.1 线性相位线性相位FIR数字滤波器的特点数字滤波器的特点u下下 页页t上上 页页首首 页页O返返 回回2. h(n)偶对称，偶对称，N为奇数为奇数/ 211()( ) co

6、s()2NnHa nn02FIR滤波器的幅度响应如右滤波器的幅度响应如右图所示。图所示。幅度响应具有以下特点：幅度响应具有以下特点：(1)当当 时，时，(2) 对对 呈奇对称，呈奇对称，对对 呈偶对称。呈偶对称。( )0H( )H0,2因此，具有因此，具有h(n)偶对称，偶对称，N为偶数的为偶数的FIR滤波器不能用滤波器不能用于高通滤波器或者带阻滤于高通滤波器或者带阻滤波器。波器。7.1 线性相位线性相位FIR数字滤波器的特点数字滤波器的特点u下下 页页t上上 页页首首 页页O返返 回回3. h(n)奇对称，奇对称，N为奇数为奇数(1 ) / 21()() s in ()NnHann因此，具有

7、因此，具有h(n)奇对称，奇对称，N为奇数的为奇数的FIR滤波器只能实现滤波器只能实现带通滤波器。带通滤波器。幅度响应幅度响应 具有以下特点：具有以下特点：(1)当当 时，时，(2) 对对 呈奇对称。呈奇对称。0, ,2( )0H( )H0, ,2( )H7.1 线性相位线性相位FIR数字滤波器的特点数字滤波器的特点u下下 页页t上上 页页首首 页页O返返 回回4. h(n)奇对称，奇对称，N为偶数为偶数/ 211()() sin()2NnHa nn因此，具有因此，具有h(n)奇对称，奇对称，N为偶数的为偶数的FIR滤波器不能实现滤波器不能实现低通、带阻滤波器。低通、带阻滤波器。幅度响应幅度响

8、应 具有以下特点：具有以下特点：(1)当当 时，时，(2) 对对 呈偶对称。呈偶对称。0,2( )0H( )H( )H0,2对对呈奇对称呈奇对称7.1 线性相位线性相位FIR数字滤波器的特点数字滤波器的特点u下下 页页t上上 页页首首 页页O返返 回回线性相位线性相位FIR数字滤波器零点分布特点数字滤波器零点分布特点线性相位线性相位FIR滤波器的系统函数：滤波器的系统函数：(1)1( )()NH zzH z 线性相位线性相位FIR数字滤波器零点分布特点：互为共轭对称数字滤波器零点分布特点：互为共轭对称0RezImzj*zzz1*1z线性相位线性相位FIRFIR滤波器零点分布图滤波器零点分布图7

9、.1 线性相位线性相位FIR数字滤波器的特点数字滤波器的特点u下下 页页t上上 页页首首 页页O返返 回回设计原理设计原理1.1.根据滤波器技术要求直接设计一个理想数字滤波器的频根据滤波器技术要求直接设计一个理想数字滤波器的频率响应。率响应。2.2.求具有上述频率响应的滤波器对应的冲激响应序列求具有上述频率响应的滤波器对应的冲激响应序列理理想频率响应的滤波器具有矩形频率特性，因而其时域响想频率响应的滤波器具有矩形频率特性，因而其时域响应为无限长的。应为无限长的。3.3.将求得的冲激响应序列截短，并使之具有对称性。将求得的冲激响应序列截短，并使之具有对称性。7.2 FIR滤波器的窗函数设计法滤波

10、器的窗函数设计法u下下 页页t上上 页页首首 页页O返返 回回sin()1( )2()ccjjncdnh needn n)(nhd07.2 FIR滤波器的窗函数设计法滤波器的窗函数设计法理想低通数字滤波器的频率响应为理想低通数字滤波器的频率响应为|()0|jjcdceH e式中式中 表示群延时。表示群延时。u下下 页页t上上 页页首首 页页O返返 回回实际单位冲激响应( )( )( )dh nw n h nn)(nhd07.2 FIR滤波器的窗函数设计法滤波器的窗函数设计法u下下 页页t上上 页页首首 页页O返返 回回这时这时FIR滤波器的频率响应为：滤波器的频率响应为：1100()( )(

11、)NNjj nj ndnnH eh n eh n e()jdHe()1()()()( )()*2jjjjjddRH eH eW eHeWed 式中式中 是窗函数是窗函数w(n)的傅里叶变换的傅里叶变换()jW e11()201sin(/2)()( )1sin(/2)Nj NNjjj njRjneNW eeeWee=？( )( )( )dh nw n h n因为因为则则7.2 FIR滤波器的窗函数设计法滤波器的窗函数设计法u下下 页页t上上 页页首首 页页O返返 回回理想低通滤波器：理想低通滤波器：()( )jjddHeHe12N()()()()*1( )()21( )()2()jjjdjjdR

12、jdRjH eHeW eHeWedeHWdeH 实际滤波器为：实际滤波器为：说明：说明：1.加窗后的滤波器仍然具有线性相位；加窗后的滤波器仍然具有线性相位； 2.加窗后滤波器的幅度特性等于理想低通滤波器的加窗后滤波器的幅度特性等于理想低通滤波器的 幅度特性幅度特性 与矩形窗的幅度特性与矩形窗的幅度特性 的卷积，的卷积， 即即( )H( )RW1( )( )()2dRHHWd7.2 FIR滤波器的窗函数设计法滤波器的窗函数设计法u下下 页页t上上 页页首首 页页O返返 回回0cc0)(Hd0)(WRN/2 N/2 100.5)0(H/)(H7.2 FIR滤波器的窗函数设计法滤波器的窗函数设计法u

13、下下 页页t上上 页页首首 页页O返返 回回加窗处理的影响加窗处理的影响: :1.1.理想频率特性的边沿形成过渡理想频率特性的边沿形成过渡, ,宽度近似为窗函数频率宽度近似为窗函数频率响应的主瓣宽度。响应的主瓣宽度。2.2.在截止频率在截止频率 的两边，的两边， 出现最大肩峰。幅度取决于出现最大肩峰。幅度取决于窗函数幅度特性旁瓣的相对幅度。波动的次数取决于旁瓣窗函数幅度特性旁瓣的相对幅度。波动的次数取决于旁瓣的个数。的个数。c( )H3.3.改变截取长度改变截取长度N N，仅能改变过渡带的宽度，不能改变仅能改变过渡带的宽度，不能改变 的肩峰相对值。称为吉布斯现象。的肩峰相对值。称为吉布斯现象。

14、( )H7.2 FIR滤波器的窗函数设计法滤波器的窗函数设计法u下下 页页t上上 页页首首 页页O返返 回回常用窗函数及其选择原则常用窗函数及其选择原则1. 1. 主瓣宽度窄，以获得较陡的过渡带。主瓣宽度窄，以获得较陡的过渡带。窗函数选择要求：窗函数选择要求：2. 2. 最大旁瓣相对主瓣值尽可能小，改善通带平稳度和增大最大旁瓣相对主瓣值尽可能小，改善通带平稳度和增大阻带衰减。阻带衰减。7.2 FIR滤波器的窗函数设计法滤波器的窗函数设计法u下下 页页t上上 页页首首 页页O返返 回回常用窗函数：常用窗函数：1.矩形窗矩形窗窗函数窗函数：( )( )Nw nRn12()()NjjRRWeWesi

15、n2()sin2RNW频率响应：频率响应：2.三角窗三角窗窗函数窗函数：频率响应：频率响应：21012( )212112BrnNnNwnnNnNN1122221sin()sin()2244()1sinsin22NNjjjBrNNWeeeNN7.2 FIR滤波器的窗函数设计法滤波器的窗函数设计法u下下 页页t上上 页页首首 页页O返返 回回3.汉宁窗（升余弦窗）汉宁窗（升余弦窗）12( )1cos()( )21HanNnwnRnN窗函数窗函数：频率响应：频率响应：12()()NjjHanHanWeWe22()0.5()0.25()()HanRRRWWWWNN4.海明窗（改进升余弦窗）海明窗（改进

16、升余弦窗）窗函数窗函数：2( )0.540.46 cos()( )1HamNnwnRnN频率响应：频率响应：12()()NjjHamHamWeWe22()0.54()0.23()()HamRRRWWWWNN7.2 FIR滤波器的窗函数设计法滤波器的窗函数设计法u下下 页页t上上 页页首首 页页O返返 回回常用窗函数的基本参数：常用窗函数的基本参数：窗类型窗类型窗谱特性指标窗谱特性指标加窗后滤波器性能指标加窗后滤波器性能指标旁瓣峰值旁瓣峰值dBdB主瓣宽度主瓣宽度最小阻带最小阻带衰减衰减dBdB过渡带宽过渡带宽矩形窗矩形窗-13-210.9三角窗三角窗-25-252.1汉宁窗汉宁窗-31-443

17、.1海明窗海明窗-41-533.34 / N8 / N8 / N8 / N2 / N7.2 FIR滤波器的窗函数设计法滤波器的窗函数设计法u下下 页页t上上 页页首首 页页O返返 回回7.2.4 窗函数设计步骤窗函数设计步骤(1)首先由给定滤波器的理想频率响应首先由给定滤波器的理想频率响应 ，利用傅里叶，利用傅里叶拟变换，求理想滤波器的单位冲激响应拟变换，求理想滤波器的单位冲激响应 即：即：()jdHe( )dh n1( )()2jjnddhnHeed(2)根据过渡带以及阻带衰减的要求，选择窗函数的形式，根据过渡带以及阻带衰减的要求，选择窗函数的形式，并估计窗口的大小。并估计窗口的大小。(3)

18、计算滤波器的单位冲激响应计算滤波器的单位冲激响应( )( )( )dh nhn w n(4)检验设计出的数字滤波器是否满足技术指标。检验设计出的数字滤波器是否满足技术指标。7.2 FIR滤波器的窗函数设计法滤波器的窗函数设计法u下下 页页t上上 页页首首 页页O返返 回回例例7-1 设计一个线性相位设计一个线性相位FIR数字低通滤波器，通带截至频数字低通滤波器，通带截至频率率 ，阻带起始频率，阻带起始频率 ，阻带衰减不小于，阻带衰减不小于50dB，抽样频率，抽样频率321.5 10/prad s 323 10/srad s 15cfkHz解解: (1)由模拟滤波器指标求数字滤波器指标：由模拟滤

19、波器指标求数字滤波器指标：通带截至频率：通带截至频率：/0.2pppcTf 阻带起始频率：阻带起始频率：/0.4ssscTf 7.2 FIR滤波器的窗函数设计法滤波器的窗函数设计法u下下 页页t上上 页页首首 页页O返返 回回(2)确定理想线性相位数字低通滤波器的频率响应确定理想线性相位数字低通滤波器的频率响应|()0|jjcdceHe()jdHe其对应的数字频率其对应的数字频率1()0.32cps利用序列傅里叶变换拟变换，可求得理想低通滤波器的单利用序列傅里叶变换拟变换，可求得理想低通滤波器的单位冲激响应：位冲激响应：()11( )()22ccjjnjnddhnHeededsin()()cn

20、n7.2 FIR滤波器的窗函数设计法滤波器的窗函数设计法u下下 页页t上上 页页首首 页页O返返 回回(3)由阻带衰减来确定窗形状，由过渡带确定由阻带衰减来确定窗形状，由过渡带确定N由于由于 ，查表可知，选择海明窗其阻带最小衰减，查表可知，选择海明窗其阻带最小衰减53dB满足要求。满足要求。所要求的过渡带宽所要求的过渡带宽50sdB0.2sp6.6N由于海明窗过渡带宽满足由于海明窗过渡带宽满足所以所以6.6133,162NN7.2 FIR滤波器的窗函数设计法滤波器的窗函数设计法u下下 页页t上上 页页首首 页页O返返 回回(4)由海明窗表达式确定由海明窗表达式确定FIR滤波器的滤波器的h(n)。海明窗函数序列为：海明