理论物理整理习题答案

1、2220( ) ( )xxx dxAx edx利用分部积分234A13/22A（1）（2）粒子的几率密度2322( )( ) ( )( )4xP xxxxx e（3）对几率密度求一阶导数( )0dP xdx2(1)0 xxx e得方程解得方程的根0;1/xxx 将三个根代入几率密度，得2(0)0;lim( )0; (1/ )4xPP xPe1/x可见，处几率最大2.解：（1）2 22xdxAedx 2axedxa利用2A1A（2）xx dx 222xAxedx0（3）221()2Uxdx22222xx edx 22220 xx edx 221210(21)!2naxnnnx edxa利用双阶乘

2、m!表示： 当m是自然数时，表示不超过m且与m有相同奇偶性的所有正整数的乘积。如：3!=1*3=3,6!=2*4*6=48（另0!=1） 当m是负奇数时，表示绝对值小于它的绝对值的所有负奇数的绝对值积的倒数。如：（-7）!=1/(|-5| * |-3| * |-1|)=1/15 当m是负偶数时，m!不存在. 22 314 （）2242利用144.证明：定态薛定谔方程为22222( )1() ( )( )22dxxq xxExdx上式可以改写为2222222222242( )1(2) ( )( )( )222dxqqqxxxxExdx 222222222( )1()( )() ( )222dxq

3、qxxExdx即22122,2qqxxEE作代换则方程可化为标准的一维谐振子方程222111121()1()()22dxxxExdx2211211()()xnnnxN eHx其解为能量为1()2nEn 从而可得2222221()222nnqqEEn1.1.试用证明判断下列算符中哪些是厄米算符？试用证明判断下列算符中哪些是厄米算符？2222,ddddiidxdxdxdx证明：证明： （1）设1和2为任意波函数+12-dddx+21-=ddydzdxdx+1122-=ddydzdxdx +12-=()dddx不是厄米算符习题3（3）设1和2为任意波函数2+122-dddx2+212-=ddydzd

4、xdx+2211-=ddddydzdxdxdxdx+21-=()dddydzdxdxdx+12-=dddydzdxdxdx+2+11222-=dddydzdxddx+2+11222-=dddydzdxddx2+122-=ddydzdxdx2+122-=()ddxdx是厄米算符2.解一维谐振子的能量算符为22222122dHxdx 能量的本征方程为( )( )HxEx222221 ( )22dxxdx2422221(5) ( )( )22xxxx 2利用5( )2x则此态下能量的本征值为523.解（1）动能的平均值222122Tp 22222111()(sin)sinsinrrrr 0022/2

5、2300001()sin 2r ar aeerdrdda TT d 0022/2232000011()sin 2r ar addererdrddar drdr 02222 /320000002sin() 2r arrddedraaa 0222 /32000022 2() 2r arredraaa 0222 /40002(2 ) r arr edraa 220402()4aa 利用分部积分2202 a（2）2004eUU da 同理4.（1）证明：设 、 为系统任意的波函数AB因为 和 是厄米算符所以()A dAd ()B dBd () ()ABdA Bd () ()ABd()AB d ()BA

6、d ABBA ()ABd AB是厄米算符（2）ABBA（）/2是厄米算符（3）xxp 不是厄米算符补：补：AB设 和 是不可对易的厄米算符，则23ABABBAABBA（1）；（ ）；（ ）是厄米算符吗？不是是不是()ABBAdAB dBA d BAdABd （）（）() BAABd （2）证明5.解 按定义222222();()xxxxxxppp000 xxd x 2222200 xxxdxx edx32212 223000 xxxppdxixedx222200002xxppdxdxx 222222422()xxxpx eedx 22222422xxx edxedx 24232 2222222

7、22221()()224xxxpxp 习题41.证明：zLi 2222211(sin)sinsinL 3本征值212本征值2.解在球外，波函数为0在球内，定态薛定谔方程为222222112rLErrrr因粒子角动量为零，即20L则方程可化为22212ddrEr drdr222()2drErdr可改写为( )f rr令代入上式，得222( )( )2d f rEf rdr222 Ek令上式可化为222( )( )0d f rk f rdr方程的通解为( )sin()cos()f rAkrBkrsin(0)cos(0)0AB在球心，要求波函数有限，则(0)0f即0B在r=a处，波函数连续，即( )0a( )( )0( )0f aaf aa即sin()0Aka ,1,2,nkna22222nEa从而可得能量波函数( )( )sin()f rAnrrrra由归一化条件得12Aasin()1( )2nrarra3.解02210102( )aPrRr dr002 /23204r aar edra002 /203204()()2r aaar d ea 413e4.解2s态径向几率分布0322222020001( )22rarPrRrr eaa 利用两次分部积分20( )0dPrdr令120304050,2,(35),(35),rra rara