拉格朗日插值公式的证明及其应用讲解

1、拉格朗日插值公式的证明及其应用摘要：拉格朗日(Lagrange)插值公式是多项式中的重要公式之一，在理论和实践中都有着广泛的应用本文阐述了Lagrange插值的基本理论，譬如：线形插值，抛物插值，Lagrange多项式等.然后将线形插值，抛物插值，Lagrange多项式插值分别应用到高中知识中，并且学会用计算机程序来编写插值法的思想与中国剩余定理一脉相承，体现了代数中线性化"(即表示为求和和数乘的形式)这一基本思路，大巧若拙.本文的目的是通过介绍拉格朗日插值公式的推导，唯一性，证明过程及其在解题与实际生活问题中的应用来寻找该公式的优点，并且引人思考它在物理，化学等领域的应用通过实际鉴

2、定过程，利用插值公式计算生活中的成本问题，可以了解它的计算精度高，方法快捷关键词：拉格朗日插值公式唯一性证明解题应用资产评估曲线插值问题，直观地说，认为已知的一批数据点(x,f丄是准确的，这些数据点所表现的kkk=0准确函数关系fG)是未知的，在这种情况下要作一条近似曲线pO且点点通过这些点，插值问题不仅要讨论这种近似曲线P(x)的构造方法，还要讨论点增多时这种近似曲线P(x)是否稳定地收敛于未知函数f6)，我们先研究一种简单常用的插值一一拉格朗日插值一定义，推导及其在解题中的应用1线性插值1.1. 线性插值的定义假定已知区间tx,x的端点处的函数值ykk+1kky=f(x),要求线性插值多项

3、式l(x)使它满足k+1k+11L(x)=yL(x)=y.1 kk1k+1k+1y=L(x)的几何意义：通过两点(x,y)和(x,y)的直线，1kkk+1k+1如图1所示，LG)的表达式由几何意义直接给出，即1L1(x)=yk+(x-xk)(点斜式)，图1k+1kx一x+yx一xk+1k+1k(两点式).()x-xLkx丿=ky1x一xkkk+1(x)3由两点式方程看出，小）由两个线性函数lk°）=三*kk+1一,l(x)=x一x的线性组合x一xk+1k-k得到,其系数分别为y及y，即L(x)=yl(x)+yl(x).kk+11kkk+1k+1k+1k+1显然,l6）及l6）也是插值

4、多项式，在节点x及x上满足条件kl(x)=1,kkCx)=0,k+1l(x)=0,l(x)=1.kkk+1k+1称函数,iG）k(图2)及1k+16)（图3）为一次插值基函数或线性插值基函数.图象为:图31.2.例解：由题意取x=0.320y=0.314567'0x=0.341y1=0.333487'x2y2=0.36=0.352274图2线性插值例题1.已知sin0.32=0.314567,sin0.34=0.333487,sin0.36=0.352274,用线性插值计算.若取x二0.32,x二0.34为节点，则线性插值为:01sin0.3367沁LG.3367)=y+人一y

5、0G.3367-x)10x一x010=0314567+船X°.°167=0330365-若取x=0.34,x=0.36为节点，则线性插值为:12sin0.3367沁L(0.3367)=y+y2一y1G.3367-x)11x一x12 1=0.333487+0.018787xC0.0033)=0.3303870.022.二次插值2.1. 二次插值的定义若n二2时，假定插值节点为x,x,x要求二次插值多项式L(x),使它满足L()=yk-1kk+122jj(j=k-1,k,k+1)y=L(x)的几何意义：通过三点的(x,y),(x,y),(x,y)的抛物线.2k-1k-1kkk+

6、1k+1(j=k,k+1)(j=k-1,k+1)(j=k-1,k)iCx)=1,iC)=o<iG)=1,iv)=okk、kj()lG)=1,lk丿=0、k+1k+1k+1j例如lk-1C)，因为它有两个零点x,xk+1故可表示为:(x)=A(xk-1)(x-x).k+1由lk-1(xk-1)=1得A=)(x-x)kk+1所以,l(x)=k-1xxk-xk-1)(xk-x)k-1k+1同理l(x)=kx-x)(x-x)，-xx-x丿kk1kk+1l(x)=k+1(x-x)(x-x)k+1k-1xk-xk+1k函数lk-1(x),l(x),lC)称为二次插值基函数或抛物插值基函数.kk+1在

7、区间5-1'xk+上的图形分别为:利用二次插值基函数lk-1(x),lk(x),lk+1(x),立即可得到二次插值多项式L(x)=yl2k-1k-1l(x)+ylkk+1k+1即J)-yk1显然,它满足条件匕k1,k,k+1).x)(x-x)xk1)(x-x+1)+kk1kk+1(x-x)(x-x)Fk+)+yxxxk1kk1k+1yk+1(x-x)C-x)xk1)(x)k+1k1k+1k2.2. 拉格朗日公式(二次插值)在解题中的应用例2.已知函数f(x)ax2c(a,c为实数)。若4<fG)<1，1<fG)<2，则f(8)的最大值是多少？提示：由f)ax2c

8、是偶函数，得f(1)f6).令节点x0-1,x1-1，x2-2，由拉格朗日插值公式(抛物插值)得l(8)-0(xx)(xx)(81)82)(11)12)7x)(xx0102(xx)(x)(8+1)82)_x-x0)G-x)(1+1)(2)271012(xx)(x)(8+1)81)_.x-x0)(c-x)(2+1)2-1)212021f(8)7f(1)27fG)+21f(2)7f(1)27fG)+21f(1)<122l(8)-11 (8)-211注：用高中知识很难解决该题，从此题中可知拉格朗日公式在解题中的方便与快捷.1例3.已知f(x)x2+bx+c求证：|f(1)f(2)Jf(3)中至

9、少有一个值不小于-证明：根据二次函数的插值公式f0+(l#iOf+防防f(3)()G-2)(x-3)f&)x2+bx+c12)(3)比较上式两边x2的系数，有2f(1)f(2)+2f(3)1假若If6),1f，f(3)都小于2，则1=丄f(1)f(2)+丄fG)2<2<f3+|f(2)+2|f(3)<1.1+1+1.1-122222得出矛盾.1所以，f6),1f(2),|f(3)中至少有一个值不小于2注：这是一道全国高中数学联赛题，对高中生有一定难度，但应用高等数学知识来做却易如反掌。从这方面可看出高等数学的学习对我们中学数学教学的指导有重要作用。例4.设a,b,c为

10、非等腰AABC的三边长，S为面积。求证:a3b3c331(a-b)G-c)5a)b-c)+(c-a)C-b)>2X兀'2分析：由不等式左边分母联想到拉格朗日插值公式证明：构造二次多项式：fdX3-（x一a）（x一b）（x-c）则由拉格朗日插值公式得33aa3X-3-a比较等式两边x2的系数得a3b3c3(a-b)C-c)+(b-a)b-c)+(c-a)t-b)二°+b+°二2P由海伦公式得S2=p(p-a)G-b)G-c)"3p-(a+b+c)3=匕L327因为a,b,c不全相等，所以，上式等号不成立.3 131,x为互不相等的n个数，则nj丰kIV

11、jG于是，p>34S2n2p>2x34S2小结：由此可推广设*x2,例5.二次函数f（x）满足f（一10）=9,f（一6）=7,f（2）=一9，则f（2008）的值是多少?提示：由拉格朗日插值公式可设(x+6)(x-2)(10+6)一102)f(-10)+(x+10)(-2)(-6+10)(-6-2)例6.已知4=2,y9=3八16=4,求耳7的近似值解：令y=，列表Xx=40x=91x=162y二y二20y1=3y=421）.用线性插值多项式三组数据中，可以任取两组数据构造线性插值多项式L1°鉴于插值点所处的位置，应选取Cx,y),Cx,y)构造L(x).00111L1

12、(x)=10(x)y0+丫a)y=x一9x2+x一4x3=-2(x-9)+3(x-4)14-99-455所以，v7-L(7)=2.61L(x)=1Cx)y+1(x)y+1(x)200112"(x-9)(x-16)c(x-4)(x-16)(x-4)(x-9)彳y2(4-9)(4-16)x+(9-4)(»-16)X+(16-4)(6-9)X用全部数据构造抛物插值多项式L(x)2所以,3812门L2(7)=5+537=2.62862).用抛物插值多项式结论：对比n=1,n=2时，抛物插值更精确.例7.已知f6)=ax2+bx+c(a丰0)满足一7<f(1)<-1,-5

13、<f(2)<3,-1<f(3)<&求f(4)的取值范围.分析：解决本题关键是用fGffG)表示f(4),用高中知识联立方程组f0=a+b+<f(2)=4a+2b+cf(3)=9a+3b+c求出a,b,c并代入f(4)=16a+4b+c，从而确定f(4)的取值范围，这样做过程较繁，而使用二次函数的拉格朗日公式却恰到好处解：由二次拉格朗日公式得f(x)=-f(1)G-2)(一3)-f(2)(一3)(一1)+f(3)(一1)(一2)则f(4)=fG-3f(2)+3f(3)由已知得19<f(4)<383.n次Lagrange插值多项式上面对n=1及n=

14、2的情况，得到一次与二次插值多项式LG)及L(x),用插值基函数表示的12方法容易推广到一般情形下面讨论n+1个节点x<x<<x的n次插值多项式L(x)，假定它01nn满足条件L(x)=y(j=0,1,n)(1)njj为了构造L(x)，先定义n次插值基函数.n定义：若n次多项式lj(x)(j=0,1，,n)在n+1个节点x0<x1<<xn上满足条件l(x)=jk0,;jc,k=。入,n)就称这n+1个n次多项式l6)l(x),l6)为节点x,x,x上的n次插值基函数.类似n=101n01n-x)(x-x)(x-x)x-1兀x+1)xxx/kk1kk+1c7(

15、)(x-x)(x及n=2的推导方法，可得n次插值基函数为1&)=k(k=0,1,n).满足(1)的插值多项式可表示L(x)=工yl(x)(2)nkkk=0由lk。的定义知化(xjL工yklk(xj)=J(j=°,h,")k=0形如(2)式的插值多项式LnC)称为Lagrange插值多项式.令w(x)=(x-x)(x-x)(x-x)n+101n易求w'Ct)=Ctn+1kk一x)(x-x)(x-x)(x一x)0kk-1kk+1kn则(2)可改写为:()w(x)L匕丿=乙y(n)(_)nkx-x)w'Vx1k=0kn+1k注意：n次插值多项式L(x)通常

16、是次数为n的多项式,特殊情况次数可能小于n.n二.拉格朗日(Lagrang)插值公式的证明设已知函数fO在n+1个互异的点x,x,，x处的函数值01nC)=y,(j=0,1,n)现构jj造一个次数不超过n的多项式，使满足L(x)=y,k=0,1,n.(3nkk1.唯一存在性满足插值条件(3)的次数不超过n次的多项式L(x)=a+a(x一x)+a(x一x)(x一x)+a(x一xn010201n0)(x-x)(x-x)(4)1n是唯一存在。证明：把条件（3）带入（4）式得:+ax11-x0)=y1a+a(x01n)a(xnx)G0nx)=n，a的系数组成的行列式为x)(x0n-x)(x1,-x)n

17、n-1n-1由于x_,x_,，x互异,所以这样a0,a1,有唯一的解,n所以L（x）唯一存在.n2.证明过程证明：以x,x0代入（4）式得:x)=0y1解得：sa1从而有L(x)=a10)=x-x01x-x10y010+y1l1这里x-x1x-x01x-x0x-x10易证：lk1,0,k幻这就证明了n二2时，公式成立.现假设n=p-1时公式成立，则n二p时，我们把x代入（4）得p解得:x)-iFaCp0pp(5)X)1从而L(x)=a+ap01k10pp2ppP1PJX丿p0JX丿pP一1111一x)+aLC+a)=L(x)+aCp1pp把（5）式代入上式得p(X-X)(XP1L(x)=LpX

18、从假设得：L（x）=Eyp)(xX)-Q-)(xX+1)()-Ek=0p(x-x0XP1:一Xkp1kk=0(x-X)(X(xXk0£ykk=0x)(xx)C(xxSX+1)(kk1kk+1)(-)+丿WXxXkp1pk(xX)(xX)-(xX)(xk0kk1一XP1Xkk+1(XX(xXk一1k=0kk=0xX丿k0k(xX)(xXk0)(xX)(4XxXk1kk+1XX/k+1X丿kk+1£y/(x)kkk=0这里l(x)=kl易证:0,k幻P时成立.得证.1,k=j-x)p-1)X一X丿kp1P1XPP1)_XXp1xXkp1xX)p1xXkp-1k)-x一x1一kX

19、一XpkX)仁r+yp(X-x)(x-Xkk1kk+1Xkil从证明过程可看出，插值基函数的结构和由来是自然而合理的三拉格朗日插值公式在实际生活（资产评估）中的应用XXk0PL-XP1+yp(xX)F0)kp1)13函数曲线功L(x)=£ynkk=0kk1kk+1kn1资产评估公式资产评估就是在利用现时条件下，被评估资产全新状态的重置成本减去资产的各种陈旧贬值后的差额作为被评估资产现时价值，基本计算公式为：资产价值=重置全价V实体性贬值+功能性贬值+经济性贬值)2. 理论方法与实际应用分析假设某类设备n+1个功能参数与价格，即已知n+1个功能参数：x,x,x，及其相对01n的n+1个

20、价格:y,y,y，,y，现在的问题是如何根据此组数据列表:012nxx0x1x2xnyy0y1y2yn功能与成本数据表找出功能与成本之间的函数关系：y=fG)假设在该参数区间(插值区间)内存在一条代数多项式的函数曲线，在该曲线上的数值均满足以上各点的数值对应关系，以此函数曲线作为关系式y=fG)的模拟曲线，就是所谓的拉格朗日插值法.利用这条曲线(图4)，输入新的功能参数，即可得到重置成本参考价.拉格朗日插值多项式为由此公式，代入x,x，x时,可看出结果就是对应的y,y,y,，y，假设令n=1,即只有01n012n两个数据时，就得到两点插值计算公式：()xxxxL匕丿=y+y4(7)10x一x1

21、x一x0110这是个线性函数,利用已知两点作一条直线，作为拟合曲线，代表功能与成本之间的关系，也叫线性插值(图5)若n=2时,则得到3点插值计算公式：()(xx)(xx)(xx)(xx)(xx)(xx)L匕丿=y(啪+y(r+y(8)20vxx)(xx丿1vxx)(xx丿2vxx丿1xx丿010210122021这是个二次函数，在图形上，即通过已知各点作一条抛物线，代表功能与成本之间的关系，叫抛物线插值(图6)图52.计算机运算方法分析根据以上理论,已知设备信息点越多，曲线拟合也越复杂，品评估的准确率就越高，计算公式也相应地复杂起来.所以只能依靠计算机来解决.为便于计算，可将拉格朗日插值多项式改写为ykx-xJL(x)nk=0编制程序时，只须利用一个二重循环就可完成L(x)值的计算:先通过内循环，即先固定k，令J从n0到n累乘;然后再通过外循环，即令k从0到n累加得出插值结果L(x).n程序流程图见图7:Vy二y+p*yk输出x，y图73. 结论由以上分析可知，采用拉格朗日插值法计算设备的功能重置成本，计算精度较高，方法快捷。但是,由于上述方法只能针对可比性较强的标准设备，方法本身也只考虑单一功能参数，