线性规划问题的常见题型

1、线性规划问题的常见题型吴小五  李兰琼（汨罗市第一中学 湖南 汨罗 414400）摘 要线性规划作为高中数学中一个比较常用的知识点，也是高考中的重要考点，巧妙利用该知识，可以对函数最值、平面图形的面积、斜率范围、参数取值范围、概率问题和实际问题的解决大为简化。本文就线性规划问题简要介绍几种常见的题型。关键词线性规划问题；可行域；求最优解中图分类号G623.5  文献标识码A关于x、y的二元一次不等式组称为对变量x、y的约束条件，把要求最值的满足约束条件的函数 （m、n为常数）称为目标函数，在线性约束条件下求目标函数的最值问题统称为线性规划问题。线性规划作为高中数学相对独立的

2、一个知识点，也是高考的一个重要考点（近几年各地高考试题涉及线性规划知识点的试题频频出现）。高中数学中的线性规划体现了数学的工具性、应用性，同时也渗透了化归、数形结合思想，也顺应当今新课改和高考改革的趋势。如果目标函数 （其中m、n为常数，x、y即为公共区域中点的横坐标和纵坐标）的最值存在，则这些最值都在该公共区域的边界角点处取得，将这些角点的坐标代入上述函数，得到一组对应z值，最大的那个数为函数z的最大值，最小的那个数为函数z的最小值。在线性规划中，这种求最值的方法叫做角点法。若求函数 的最值还有一种方法，这种方法的步骤是：第一步，画出可行域（画出线性约束条件所表示的可行域）；第二步，作直线

3、，平移直线l0（据可行域，将直线l0平行移动）；第三步，求出最优解（x，y）；第四步，将最优解（x，y）代入 。我认为在线性规划中问题解决过程中，应突破“画”（画出线性约束条件所表示的可行域）、“移”（作平行直线）、“求”（解方程组求出最优解），即可轻松解决。线性规划问题的常见题型有以下七类，现举例说明如下：1.求函数的最值例1.（2009天津高考试题）设变量x、y满足约束条件 ，则目标函数 的最小值为（     ）A、6       B、7     C、

4、8       D、23解析：作出可行域如图阴影所示，依题意，该题有最小值。方法一：易求得A（4，5），B（1，2），C（2，1），将角点坐标分别代入 得z的值分别为23、8、7，所以， ，选B.    方法二：作直线 ，将l0平移至C处，此时 在y轴上的截距为 有最小值，从而z有最小值，由 得C（2，1），所以， ，选B.2.求平面图形的面积例2（2008年安徽高考试题）若A为不等式组 ，表示的平面区域，则当a从2连续变化到1时，动直线 扫过A中的那部分区域的面积为   &

5、#160;         .分析：由图知BCO为等腰直角三角形，BDE为等腰直角三角形且D ，则 或.3.求斜率的范围例3.（2007年辽宁高考试题）已知变量x、y满足约束条件  ，则 的取值范围是（     ）A、     B、       C、      D、分析：画出可行域，如图.可看为区域内的点与（0，0）连线的斜率.答案选A. 4.求距

6、离例4.（2007年山东高考试题）设D是不等式组 表示的平面区域，则D中的点P（x，y）到直线 距离的最大值是      .分析：可行域如右图阴影部分，观察得到A到 的距离最大，值是例5.（2006年湖南高考题）已知 则 的最小值是  .分析：可行域如右图阴影部分，由图知A（1，2）到原点的距离最小，所以， .5.求参数取值范围例6.（2009年陕西试题）若x、y满足约束条件 ，目标函数 仅在点（1,0）处取得最小值，则a的取值范围是（    ）A、   B、    

7、;  C、    D、分析：作出可行域如图所示，直线仅在点（1,0）处取得最小值，由图象可知，即 其答案为B。6.求概率例7.（2007年宁夏高考试题）设关于x的一元二次方程为（1）若a是从0,1,2,3四个数中任取的一个数，b是从0,1,2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率；（2）若a是从区间0,3任取一个数，b是从区间0,2任取的一个数，求上述方程有实根的概率.分析：设“方程 有实根”为条件A，方程 有实根时 即 ，因为 ，所以 ，从而方程 有实根的充要条件为 .a （1）基本事件的总数为 ，事件A的个数为4+3+2=9，所以， .a

8、60;（2）试验的全部结果所构成的区域为 ，构成事件A的区域为 ，作出可行域，则 ，所求概率为 .7.解决实际问题例8（2009年四川高考试题）某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨、B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨、B原料3吨. 销售每吨甲产品可获得利润5万元、每吨乙产品获得利润3万元，该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨、B原料不超过18吨，那么该企业可获得的最大利润是（     ）A、12万元     B、20万元C、25万元     D、27万元分析：甲乙A31B23利润53设生产甲产品x吨、乙产品y