人教版高中数学选修11：第三章　检测试题

1、.第三章检测试题时间:120分钟总分值:150分【选题明细表】知识点、方法题号导数的定义及其计算2,3,13导数的几何意义1,9,14,17函数的单调性4,5,10,15,18函数的极值与最值6,7,19不等式恒成立问题11导数的实际应用8,20导数的综合应用12,16,21,22一、选择题每题5分,共60分1.曲线y=12x2-2x在点1,-32处的切线的倾斜角为DA-135°B45°C-45° D135°解析:y=x-2,所以斜率k=1-2=-1,因此,倾斜角为135°.应选D.2.以下求导运算正确的选项是BAx+3x=1+3x2Blog2

2、x=1xln2C3x=3xlog3eDx2cos x=-2xsin x解析:x+3x=1-3x2,所以A不正确;3x=3xln 3,所以C不正确;x2cos x=2xcos x+x2·-sin x,所以D不正确;log2x=1xln2,所以B正确.应选B.3.假设fx0=-3,那么limh0f(x0+h)-f(x0-3h)h等于AA-12B-9 C-6D-3解析:因为limh0f(x0+h)-f(x0-3h)h=limh0f(x0+h)-f(x0)h+3limh0f(x0)-f(x0-3h)3h=fx0+3fx0=4fx0,所以limh0f(x0+h)-f(x0-3h)h=-12.应

3、选A.4.设fx=x22-x,那么fx的单调递增区间是AA0,43 B43,+C-,0D-,043,+解析:fx=2x2-x3,fx=4x-3x2,由fx>0得0<x<43.应选A.5.如图是函数y=fx的导函数fx的图象,那么下面判断正确的选项是CA在区间-2,1上fx是增函数B在1,3上fx是减函数C在4,5上fx是增函数D当x=4时,fx取极大值解析:由导函数y=fx的图象知,fx在-2,1上先减后增,在1,3上先增后减,在4,5上单调递增,x=4是fx的极小值点,故A,B,D错误.应选C.6.函数y=x4-4x+3在区间-2,3上的最小值为DA72 B36 C12D0

4、解析:y=4x3-4,令y=0,那么4x3-4=0,x=1,当x<1时,y<0;当x>1时,y>0得y极小值=yx=1=0,得ymin=0.应选D.7.fx=x3+ax2+a+6x+1有极大值和极小值,那么a的取值范围为DA-1,2 B-3,6C-,-12,+D-,-36,+解析:因为fx有极大值和极小值,所以导函数fx=3x2+2ax+a+6有两个不等零点,所以=4a2-12a+6>0,得a<-3或a>6.应选D.8.设底为正三角形的直棱柱的体积为V,那么其外表积最小时,底面边长为CA3V B32V C34V D23V解析:设底面边长为x,侧棱长为l

5、,那么V=12x2·sin 60°·l,所以l=4V3x2,所以S表=2S底+3S侧=x2·sin 60°+3·x·l=32x2+43Vx,S表=3x-43Vx2.令S表=0,所以x3=4V,即x=34V.又当x0,34V时,S表<0;当x34V,V,S表>0,所以当x=34V时,外表积最小.应选C.9.函数fx=ex-mx+1的图象是曲线C,假设曲线C不存在与直线y=ex垂直的切线,那么实数m的取值范围是DA-,-1eB1e,+C-,1eD-,1e解析:函数fx=ex-mx+1的导数为fx=ex-m,设切点为s

6、,t,即有切线的斜率为es-m,假设曲线C不存在与直线y=ex垂直的切线,那么关于s的方程es-m=-1e无实数解,由于es>0,即有m-1e0,解得m1e.应选D.10.向量a=ex+x22,-x,b=1,t,假设函数fx=a·b在区间-1,1上单调递增,那么t的取值范围是AA-,1e-1Be+1,+C1e-1,e+1D-,1e-1解析:fx=ex+x22-tx,fx=ex+x-t,由题意得ex+x-t0,即tex+x在-1,1上恒成立,所以t1e-1.应选A.11.当x-2,1时,不等式ax3-x2+4x+30恒成立,那么实数a的取值范围是CA-5,-3B-6,-98C-6

7、,-2D-4,-3解析:显然x=0时,对任意实数a,不等式恒成立;令t=1x,假设0<x1,那么原不等式等价于a-3x3-4x2+1x=-3t3-4t2+t,t1,+,令gt=-3t3-4t2+t,那么gt=-9t2-8t+1=-9t-1t+1,由于t1,故gt0,即函数gt在1,+上单调递减,最大值为g1=-6,故只要a-6;假设-2x<0,那么a-3x3-4x2+1x=-3t3-4t2+t,t-,-12,令gt=-3t3-4t2+t,那么gt=-9t2-8t+1=-9t-1t+1,在区间-,-12上的极值点为t=-1,且为极小值点,故函数gt在-,-12上有唯一的极小值点,也是

8、最小值点,故只要ag-1=-2.综上可知,假设在-2,1上不等式恒成立,那么a为上述三种情况的交集,即-6a-2.应选C.12.假设定义在R上的函数fx满足f0=-1,其导函数fx满足fx>k>1,那么以下结论中一定错误的选项是CAf1k<1k Bf1k>1k-1Cf1k-1<1k-1Df1k-1>kk-1解析:因为fx>k>1,构造函数gx=fx-kx,所以gx在R上单调递增,又1k-1>0,所以g1k-1>g0即f1k-1-kk-1>-1,得到f1k-1>1k-1,所以C选项一定错误.A,B,D都有可能正确.应选C.二

9、、填空题每题5分,共20分13.函数fx=2x+1ex,fx为fx的导函数,那么f0的值为. 解析:fx=2ex+2x+1ex=2x+3ex,所以f0=3.答案:314.函数fx=ax3+x+1的图象在点1,f1处的切线过点2,7,那么a=. 解析:因为f1=2+a,f1=3a+1,所以切线方程为y-2+a=3a+1x-1,又切线过点2,7,所以5-a=3a+1,得a=1.答案:115.函数y=x3+x2-5x-5的单调递增区间是. 解析:由y=3x2+2x-5>0得x<-53,或x>1.答案:-,-35,1,+16.函数fx=x-1x+1,gx

10、=x2-2ax+4,假设对于任意x10,1,存在x21,2,使fx1gx2,那么实数a的取值范围是. 解析:由于fx=1+1(x+1)2>0,因此函数fx在0,1上单调递增,所以x0,1时,fxmin=f0=-1.根据题意可知存在x1,2,使得gx=x2-2ax+4-1,即x2-2ax+50,即ax2+52x能成立,令hx=x2+52x,那么要使ahx在x1,2能成立,只需使ahxmin,又函数hx=x2+52x在x1,2上单调递减,所以hxmin=h2=94,故只需a94.答案:94,+三、解答题共70分17.本小题总分值10分函数fx=x3+x-16.1求曲线y=fx在点2

11、,-6处的切线的方程;2假如曲线y=fx的某一切线与直线y=-14x+3垂直,求切点坐标与切线的方程.解:1因为fx=3x2+1,所以fx在点2,-6处的切线的斜率k=f2=13.所以切线的方程为y=13x-2+-6,即y=13x-32.2因为切线与直线y=-x4+3垂直,所以切线的斜率为4.设切点的坐标为x0,y0,那么fx0=3x02+1=4,所以x0=±1,所以x0=1,y0=-14或x0=-1,y0=-18.即切点坐标为1,-14或-1,-18.切线方程为y=4x-1-14或y=4x+1-18.即y=4x-18或y=4x-14.18.本小题总分值12分设函数fx=1+1+ax

12、-x2-x3,其中a>0.1讨论fx在其定义域上的单调性;2当x0,1时,求fx获得最大值和最小值时的x的值.解:1fx的定义域为-,+,fx=1+a-2x-3x2.令fx=0,得x1=-1-4+3a3,x2=-1+4+3a3,x1<x2.所以fx=-3x-x1x-x2.当x<x1或x>x2时,fx<0;当x1<x<x2时,fx>0.故fx在-,-1-4+3a3和-1+4+3a3,+内单调递减,在-1-4+3a3,-1+4+3a3内单调递增.2因为a>0,所以x1<0,x2>0.当a4时,x21.由1知,fx在0,1上单调递增.

13、所以fx在x=0和x=1处分别获得最小值和最大值.当0<a<4时,x2<1.由1知,fx在0,x2上单调递增,在x2,1上单调递减.所以fx在x=x2=-1+4+3a3处获得最大值.又f0=1,f1=a,所以当0<a<1时,fx在x=1处获得最小值;当a=1时,fx在x=0处和x=1处同时获得最小值;当1<a<4时,fx在x=0处获得最小值.19.本小题总分值12分给定函数fx=x33-ax2+a2-1x和gx=x+a2x.1求证:fx总有两个极值点;2假设fx和gx有一样的极值点,求a的值.1证明:因为fx=x2-2ax+a2-1=x-a+1

14、3;x-a-1,令fx=0,解得x1=a+1,x2=a-1.当x<a-1时,fx>0;当a-1<x<a+1,fx<0.所以x=a-1为fx的一个极大值点.同理可证x=a+1为fx的一个极小值点.所以fx总有两个极值点.2解:因为gx=1-a2x2=(x-a)(x+a)x2.令gx=0,那么x1=a,x2=-a.因为fx和gx有一样的极值点,且x1=a和a+1,a-1不可能相等,所以当-a=a+1时,a=-12;当-a=a-1时,a=12.经检验,当a=-12和a=12时,x1=a,x2=-a都是gx的极值点.20.本小题总分值12分某分公司经销某种品牌产品,每件产

15、品的本钱为3元,并且每件产品需向总公司交a元3a5的管理费,预计当每件产品的售价为x元9x11时,一年的销售量为12-x2万件.1求分公司一年的利润L万元与每件产品的售价x的函数关系式;2当每件产品的售价为多少元时,分公司一年的利润L最大,并求出L的最大值Qa.解:1分公司一年的利润L万元与售价x的函数关系式为L=x-3-a12-x2,x9,11.2Lx=12-x2-2x-3-a12-x=12-x18+2a-3x.令L=0,得x=6+23a或x=12不合题意,舍去.因为3a5,所以86+23a283.在x=6+23a两侧L的值由正变负.所以当86+23a<9,即3a<92时,Lma

16、x=L9=9-3-a12-92=96-a.当96+23a283,即92a5时,Lmax=L6+23a=6+23a-3-a12-6+23a2=43-13a3.所以Qa=9(6-a),3a<92,4(3-13a) 3,92a5.综上,假设3a<92,那么当每件售价为9元时,分公司一年的利润L最大,最大值Qa=96-a万元;假设92a5,那么当每件售价为6+23a元时,分公司一年的利润L最大,最大值Qa=43-13a3万元.21.本小题总分值12分函数fx=x3+bx2+cx-1,当x=-2时有极值,且在x=-1处的切线的斜率为-3.1求函数fx的解析式;2求函数fx在区间-1

17、,2上的最大值与最小值;3假设过点P1,m可作曲线y=fx的三条切线,务实数m的取值范围.解:1fx=3x2+2bx+c,fx在x=-2时有极值,且在x=-1处的切线的斜率为-3,可有f'(-2)=0,f'(-1)=-3,b=3,c=0,函数fx的解析式为fx=x3+3x2-1.2由1知fx=3x2+6x,令fx=0,有x1=0,x2=-2.所以,当x-1,0时,fx<0,fx在-1,0上单调递减;当x0,2时,fx>0,fx在0,2上单调递增.所以fxmin=f0=-1.又f-1=1,f2=19,所以fxmax=19.3设切点为x0,x03+3x02-1,切线斜率

18、为k=fx0=3x02+6x0,所以切线方程为y-x03+3x02-1=3x02+6x0x-x0 ,又切线过点P1,m,代入化简为m=-2x03+6x0-1,令y=m 与 hx0=-2x03+6x0-1,hx0=-6x02+6,令hx0=0,得x1=-1,x2=1;hx0在-,-1,1,+单调递减,-1,1上单调递增, h-1=-5,h1=3.过点P1,m可作曲线y=fx的三条切线,即存在三个x0,也即是y=m与hx有三个交点.故可知-5<m<3,即m的取值范围为-5,3.22.本小题总分值12分设函数fx=ln x-x+1.1讨论fx的单调性;2证明当x1,+时,1<x-1lnx<x;3设c>1,证明当x0,1时,1+c-1x>cx.1解:由题设,fx的定义域为0,+,fx=1x-1,令fx=0解得x=1.当0<x<1时,fx>0,fx单调递增;当x>1时,fx<0,fx单调递减.2证明:由1知fx在x=1处获得最大值,最大值为