巧解几何计算题

1、巧解几何计算题数形结合思想是指利用形把一定的数量关系形象地表示出来，有些几何问题，如果运用数形结合”的观点去考虑，利用未知数表示图形中的数量关系，根据数量关系建立方程并求解有利于转化已知条件，使解题思路更加简捷清晰，这种数形结合的思想方法非常重要.1、寻找中间变量例1、一条直线上顺次有A、B、C、D四点，且C为AD的中点，BCAB=1AD,求BC是4AB的多少倍?分析：由已知条件设AB=x,BC=y,CD=z,由C为AD的中点，得AC=AB+BC=CD,即一一_1_1c1、-X+y=z；AD=2CD,即AD=2z.由已知BC-AB=AD,得yx=一父2z=-z，建立万程442组,把x、y用含z

2、代数式表示，求出BC与AB的比.解：设AB=x,BC=y,CD=z.C为AD的中点，1解得=-z21x=z43y=_z4AC=AB+BC=CD,AD=2CDxy建立三元一次方程组y-x所以y=3，即BC是AB的3倍.x答：BC是AB的3倍.说明：寻找中间线段，通过设未知数，利用AB、BC、与CD之间的关系作为桥梁，得出BC与AB之间的关系，列方程组求解，使过程简捷.2、求几何量的大小例2、A、O、C四点共线，OD是/AOB的平分线，OE在/BOC内部,/BOE=1/BOC,/DOE=72，求/EOC的度数.3分析：直接利用角的和、差、倍、分转化/EOC有些不便，可设/AOD=x°,Z

3、BOE=y。，建立二元一次方程组求解.解：,OD是/AOB的平分线./AOB=2ZAOD/BOE=1/BOC3/BOC=3/BOE设/AOD=x,贝U/AOB=2x°,ZBOE=y，贝U/BOC=3y°,x=36解得y=362x+3y=180依题意得：x+y=72/EOC=2/BOE=236°=72°答：/EOC的度数是72°.说明：有关角的计算问题，通常考虑用列方程和方程组的方法解决3、生活中的应用例3、从4点起,经过多长时间，时针与分针第一次重合?分析：OC代表时针与分针第一次重合的位置，设经过x分钟后，两针第一次重合，则/AOC=6x&#

4、176;,/BOC=1x°,又/AOB=120°,等量关系是/AOC=/BOC+/AOB,列方程求解.2解：设经过X分钟，时针与分针第一次重合，则ZAOC=6X，/BOC=1x°,ZAOB=120°,2根据题意得:120+1x=6x2解得:9x=2111,9一.答：经过21A分钟时，分针与时钟第一次重合说明：钟表里分针与时针的实质与行程问题中的两人追及问题相似.行程问题中的路程相当于时针和分针转动的角度，利用角度建立方程是解决此类问题的基本方法4、与周长、面积相关的应用例4、如图：矩形ABCD被分成六个大小不一的正方形，现在只知道中间一个小正方形的面积是

5、1平方厘米.,求矩形ABCD的面积.分析：要求矩形的面积，只要求出这个长方形的长和宽即可解：设其次小的正方形的边长为x厘米，则其余各正方形的边长:BC=x+x+(x+1)=3x+1,AD=(x+2)+(x+3)=2x+5,矩形ABCD的对边相等，可得方程3x+1=2x+5,解得x=4,BC=3x+1=13,AB=2x+3=11S=13父11=143平方厘米）答：矢I形ABCD的面积143平方厘米.说明：观察图形特征，此题中正方形各边都相等是沟通各量间的桥梁例5、有两个长方形，第一个长方形的长与宽之比是5:4,第二个长方形的长与宽之比是3:2,第一个长方形的周长比第二个长方形的周长大112cm,

6、第一个长方形的宽比第二个长方形的长的2倍还大6cm.求这两个长方形的面积分析：第一个长方形：长5xcm,宽4xcm,周长2(5x+4x)cm；第二个长方形：长3ycm,宽2ycm,周长2(3y+2y)cm.解：设第一个长方形长5xcm,宽4xcm,第二个长方形长3ycm,宽2ycm,根据题意列方程:；2gx+4x)2(3y+2y)=112解得x=94x=23y6y=522.S=5x4x=20x=1620,S2=3y2y=6y=150答：这两个三角形的面积分别是1620平方厘米、150平方厘米.反思：通过设未知数列方程进行几何的计算与证明，沟通了代数与几何之间的联系，可以简捷、清晰地表示出几何量

7、之间的数量关系，换算转化更加方便.在解题过程中，要善于灵活运用几何知识的性质及图形特征去发掘等量关系.思维过程：练习:1、已知线段AB,C是AB上一点，并将AB分成5:9两部分，D分AB为3：11两部分，若CD=7CM,求线段AB的长.（ACBC,ADVBD）ADC解：设AB=x,C点将AB分成5：9两部分，.AC=x，同理AD=x,1414CD=AC-AD=-x-x=-x141471又CD=7CM,1x=7,x=49所以线段AB的长度是49厘米.2、2点和3点的什么时间，分针和时针的夹角是180°?解：设从2点起x分钟后，分针和时针白夹角是180。,则设从2点起x分钟后，分针与时针

8、的夹角是180°,则/AOD=360-6x°,ZBOC=1。一-x，/COD=6O，根据题意列万程：2-173606x+60+x=180，解得x=43211所以在2点43工分时,时针与分针的夹角是180°.11为/DON的平3、已知AB、CD、EF相交于O点,/AOE=90°,ON为/COF的平分线，OM分线.若/AOC:/DOM=8:29,求/COM的大小.解：设/AOC=8x：由/AOC:/DOM=8:29,则/DOM=29x：/DOB=/AOC,/DOB=8x:,.OF_LAO,ON平分ZCOF,/COF=908x:,一1一./NOF=-(90-8

9、x)=45°-4x°,2/DON=/DOB+/NOF+/BOF=8x+45-4x+90°,又/DON=2/DOM=58x8x+454x+90=58x解得x=2.5.-8x=2029x=72.5，/COM=180-72.5=107.5第78讲用代数法解几何题（2）解几何题中，有时需要求出未知线段、未知角等.可把几何图形中的未知条件用字母表示进而运用几何条件的性质列出方程或方程组求解；有时需要证明一些问题也可设出字母，列出算式，通过运算解答.这些方法一般称为用代数法解几何题.以下举例说明.例1、如图正方形ABCD勺中心为O,面积为1989cm2,P为正方形内一点，且/

10、OPB=45,PA:PB=5:14,求PB的值.解：连接OA、OB,丁O是正方形ABCD的中心，？BPO45°,?BAO?BPO45°,二A、B、O、P四点共圆.又?ABO?OAB45°,?AOB90°,.?APB?AOB90o,在RtAPB中，设AP=5x,PB=14x,2,、2据勾股定理得方程（5x）+（14x）=1989,解得x=3,PB=42m解：CM_MD,CD_AB,例2、如图，已知eO,点M是弦AB的中点，若弦CD垂直于弦AB,垂足为E,且CM_LMD,求ME:EB的值._2.EM=CEED,又CEED=BEEA,_2,EM=BEEA(1)

11、mM为AB中点，设ME=a,EB=b,则AE=a+b+a=2a+b,代入（1）得a2=b（2升？2_2a-2ab-b=0,2b?4b24b22（1+J5）b（负根已舍）例3、如图4ABC中，？BACPEAAB于E,PFAAC于90?,AB=AC,D为BC中点，P为BC上一点，且F,连结DE、DF.求证：(1)DE=DF;(2)DE人DF.证明：(1)设AB=m,AE=n,Q?BAC90?,AB=AC,BC=、2m,?B?C45?,又QD为BC中点，BD=DC=-m,2在EBD中,ED2=EB2+BD2-2EB罂Dcos?B,=(m-n)2+2m2+n-mn22一一2m2同理,FD=+n-mn,222FD2=ED2,即DE=DF.(2)连结EF,2_2_22,QEF=EA+AF=n+(m-22n)=2n22_22_又QFD+ED=2n+m-2mn,EF2=ED2+DFEDF是直角三角形，DEADF.注：本题也可在连结AD后由三角形全等证明（纯几何法）反思：在解题中，如果重视了代数、三角、几何知识的综合运用，则可提高解题效率，同时，也培养了解题能力.练习：1、如图，已知正方形ABCD中,E、F分别在BC、CD