广东中山2014届高三数学上学期期末统一考试试题理

1、中山市高三级20132014学年度第一学期期末统一考试数学试卷（理科）本试卷共4页，20小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1、答卷前，考生务必将自己的姓名、统考考号、座位号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。2、每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题上。3、不可以使用计算器。4、考试结束，将答题卡交回，试卷不用上交。一、选择题：本大题共一项是符合题目要求的.1 .设复数4=13i,A.第一象限8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有Z2=1i,则乙+Z2在复平面内对应的点在B.第二象限C.

2、第三象限2 .设全集U是实数集R,MTxx2或x：-2.',N-;xx-4x30：则图中阴影部分所表示的集合是A. x|-2<x：二1B. x|-2<x<2C. x|1<x_2D. x|x：2D.第四象限3.已知平面向量a=(2,1),b=(x,2),若a则a+b等于（A.-2,-1B.2,1C. 3,-1D. -3,1（第4题图）5二4.定义某种运算S=a®b,运算原理如上图所不，则式子（2tan；）lne+lg100的值为（A.4B.8C.115.把边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折起，使得平面ABD锥C-ABD的正视图与俯视图如下图所示，则侧

3、视图的面积为D.13_L平面CBD,形成三棱A.126 .下列四个命题中，正确的有两个变量间的相关系数命题p：“5xowR,说明两变量间的线性相关程度越低;1>0”的否定p：“VxwR,2x-x-1<0;用相关指数R2来刻画回归效果,若R2越大，则说明模型的拟合效果越好;若a=0.32,b=2°3A.,c=10go.32,贝Uc<a<b.B.C.D.7 .对va.bwR,运算“”、“软定义为:,a,(a：b),a,(a_b)a5b=<,a®b=/，b.(a_b)b.(a：b)则下列各式其中不恒成立的是（a二ba二b二aba;ba二b=abA.、

4、)a：b-a二b二a-ba二b：a二b=a-bb.、(4)C.、D.、(4)8.已知函数y=f(x)(xwR)满足f(x+2)=2f(x),且xw-1,1时，f(x)=-x+1,则当xw_10,10时，y=f（x）与g（x）=log4x的图象的交点个数为（）A.13B.12C.11、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分.9.已知函数f(x)=10g3x,x02x,x<010.如图，一不规则区域内，有一边长为1米的正方形，向区域内随机地撒1000颗黄豆，数得落在正方形区域内（含边界）的黄豆数为375颗，以此实验数据为依据可以估计出该不规则图形的面积为平方米.（用分数作答）1511

5、 .在二项式,x2I的展开式中，含x4的项的系数是x12 .已知0<口<,cos（«+三）=3,则cosa=26513.已知数列4为等差数列，若a2=3,a+%=12,贝Ua7a8a9=14.如图，AB/MN,且2OA=OM,若OP=xOA+yOB,B(其中x,yR),则终点P落在阴影部分(含边界)时，y+x+2的取值范围是x1三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15 .(本题满分12分)一一，.、T:31.一.一T.设平面向重a=(cosx,sinx),b=(一，一)，函数f(x)=ab+1.22(I)求函数f(x)的值域和函数

6、的单调递增区间9一二2二.一2".(n)当f(a)=一，且一<a<时，求sin(2ot+)的值.563316 .(本题满分12分)某校从参加高三年级期末统考测试的学生中抽出80名学生，其数学成绩(均为整数)的频率分布直方图如图所示.(I)估计这次测试数学成绩的平均分和众数；(n)假设在90,100段的学生的数学成绩都不相同，且都超过94分.若将频率视为概率，现用简单随机抽样的方法，从95,96,97,98,99,100这6个数中任意抽取2个数，有放回地抽取了3次，记这3次抽取中，恰好是两个学生的数学成绩的次数为J求£的分布列及数学期望EM.17 .(本小题满分1

7、4分)如图，在底面是矩形的四棱锥P-ABCD中，PA，平面ABCD,PA=AB=2,BC=4.E是PD的中点，(I)求证：平面PDC，平面PAD；(n)求二面角E-AC-D的余弦值；(出)求直线CD与平面AEC所成角的正弦值18 .(本小题满分14分)123数列an的刖n项和为Sn,Sn+an=n-n+1(nuN*).22(i)设bn=4+n,证明：数列bJ是等比数列；(n)求数列nbn的前n项和Tn；bn5（出）若Cn=-,数列Cn的前n项和Tn,证明：Tn<.1-bn319 .(本小题满分14分)已知函数f(x)=exkx,.(i)若k>0,且对于任意xwR,f(x)>0

8、恒成立，试确定实数k的取值范围;(n)设函数F(x)=f(x)+f(x),求证：lnF(1)lnF(2)川lnF(n).nln(en12)(nN)20 .(本题满分14分)已知函数f(x)=x(xa)2,g(x)=x2十(a1)x+a(其中a为常数)；(i)如果函数y=f(x)和y=g(x)有相同的极值点，求a的值；a、(n)设a>0,问是否存在/二(1,R,使得f(%)ag(x0),若存在，请求出实3数a的取值范围；若不存在，请说明理由.(出)记函数H(x)=f(x)1g(x)1,若函数y=H(x)有5个不同的零点，求实数a的取值范围.中山市高三级20132014学年度第一学期期末统一

9、考试理科数学参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.DAADBCBC二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分.9.1;10.811.10;12.4+33;13.45;14.-443103,三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.(本题满分12分)31.l设平面向重a=(cosx,sinx),b=(万，万)，函数f(x)=ab+1。(I)求函数f(x)的值域和函数的单调递增区间；9二2二2二(n)当f(口)=一，且一<时，求sin(2支+)的值.56332222=sin(x+一)+1,(4分)3(l)函数f(x)的值域

10、是b,2】；，,，(5分).一5二一二一令+2knWx*W42kn解得+2knWxW+2kn,(7分)23266所以函数f(x)的单调增区间为处+2kj+2k兀(kwZ).,(8分)15.解：依题意f(x)=(cosx,sinx)(,1)+1=cosx+-sinx+1,(2分)66,二9二4(n)由f(a)=sin(a+)+1，得sin(a+)=一,3535一二2二二二二3因为二3二，所以19十二<五，得cos(a+/)=二,(10分)6323352二二二二4324sin(2：+)=sin2(二一)二2sin(二一)cos(1)-2-33335525(12分),16.(本题满分12分)某

11、校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生，其数学成绩(均为整数)的频率分布直方图如图所示.(I)估计这次测试数学成绩的平均分；(II)假设在90,100段的学生的数学成绩都不相同，且都超过94分.若将频率视为概率，现用简单随机抽样的方法，从95,96,97,98,99,100这6个数中任意抽取2个数，有放回地抽取了3次，记这3次抽取中，恰好是两个学生的数学成绩的次数为之，求U的分布列及数学期望E之.16.解：（I）利用中值估算抽样学生的平均分：45X0.05+55X0.15+65X0.2+75X0.3+85X0.25+95X0.05=72.,（3分）众数的估计值为75分，,，（5分）

12、所以，估计这次考试的平均分是72分.，,，（6分）（注：这里的众数、平均值为估计量，若遗漏估计或大约等词语扣一分）（II）从95,96,97,98,99,100中抽2个数的全部可能的基本结果数是C：=15,有15种结果，学生的成绩在90,100段的人数是0.005X10X80=4（人）,这两个数恰好是两个学生的数学成绩的基本结果数是C2=6,两个数恰好是两个学生的数学成绩的概率P=6=2,（8分）155随机变量£的可能取值为0、1、2、3,则有.-P（=k）=C：（2）k（3）",k=0,1,2,355二.变量t的分布列为：0123P81253612554125271251

13、0分）12分）（10分）E=01-362-543-61251251251255解法二.随机变量满足独立重复试验，所以为二项分布，即且8（3工）,，526一Et=np=3M=,（12分）5517 .（本小题满分14分）如图，在底面是矩形的四棱锥P-ABCD中，PA，平面ABCD,PA=AB=2,BC=4.E是PD的中点，（I）求证：平面PDC，平面PAD；（n）求二面角E-AC-D的余弦值；（出）求直线CD与平面AEC所成角的正弦值18 .解法一：（I）：PA_L平面ABCD,CD仁平面ABC,PA-CD（2分）丫ABCD是矩形,二AD±CD.而PAcAD=A,PA,AD仁平面PAD二

14、CD_L平面PAD.,CDu平面PDC二平面PDC_L平面PAD.,（n）连结AC、EC,取AD中点O,连结EO,则EOPA,PA_L平面ABCD,EO_L平面ABCD.过O作OF_LAC交AC于F,连结EF,则/EFO就是二面角EACD所成平面角.,由PA=2,则EO=1.在RtAADC中，ADxCD=ACxh解得h=±/5.54分）5分）7分）因为O是AD的中点，所以OF一.一3、5而EO=1,由勾股定理可得EO="5.58分）9分）cos乙EFO25_OF_丁_2EF3、53510分）（出）延长AE,过D作DG垂直AE于G,连结CG,又.CD-LAE,.AE，平面CD

15、G,过D作DH垂直CG于H,则AE_LDH,所以DH_L平面AGC,即DH_L平面AEC,所以CD在平面ACE内的射影是CH,2DCH是直线与平面所成的角.,（12分）DG=ADsinDAG=ADsinOAE二AD二4AE1一5165CD=2CG425“DGsinDCG=.6,5514分）C_5_65CG空间直角坐标系，则E（0,2,1）,分）A(0,0,0),B(2,0,P(0,0,2).0),C(2,4,0),D(0,4,0),AB=(2,0,0),AD=(0,4,0),aP=(0,0,2),CD=(-2,0,0),解法二：以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为

16、z轴建立5分)x7分）AE=0r,即)x,y,10,2,1=0AC=0(x,y,1)2,4,0尸0;2y+1=0<、2x+4y=0y=AE=(0,2,1),AC-=(2,4,0).分)(I)CDAD=0,CD_AD.又CDAP=0,CD_AP.,(AP.AD=A,二CD.L平面PAD,而CDc平面PDC,平面PDC，平面PAD.(n)设平面aec的法向量n=(x,y,z),令z=1,则n=(x,y,1).9分)平面ABC的法向量aP=(0,0,2),nAPcos'm,AP)=23-221-11；2所以cos-二nCD-213分)直线CD与平面AEC所成角的正弦值14分)2所以二面

17、角E-ACD所成平面角的余弦值是-.,（11分）3,、nf1)(出)因为平面的法向量是n=1-,1I,而CD=(2,0,0).<2)19 .（本小题满分14分）123数列an的刖n项和为Sn,Sn+an=-n-n+1(n=N*).22（I）设bn=an+n,证明：数列bn是等比数列;（II）求数列ntj的前n项和Tn；（出）右cn二bn1bn,数列1的前n项和Tn,证明：Tn1218【解析】(I)因为an+S=n2所以当n=1时，2al=-1,当n>2时，am+Sn1123二一”1'''所以2anan=-n-1,即2(an+n)=an+n1,11所以bn=-

18、bn1(n>2),而匕=aI+1=,2一2所以数列>是首项为1,公比为1的等比数列，所以bn(II)由(1)得nbn2n所以Tn2322232n-1n+2Tn=1234n-1n2"F22-得:11Tn=1Tn(III)由(I)知Cn（1）当n=1时,（2）当n之2时,所以C1222n=2一2nn)2-121-1二15<一3成立;:2n-1-(32n)=2n”-1.02n-132n111n21nM11"(二)I"21一(二)：131_!232225r=1分）2分）3分）4分）5分）7分）9分）（10分）11分）13分）14分）（本题放缩方法不唯一，

19、请酌情给分）20 .已知函数f(x)=exkx,.(I)若k>0,且对于任意xwR,f(x)>0恒成立，试确定实数k的取值范围；(II)设函数F(x)=f(x)+f(-x),求证：InF(1)InF(2)IMInF(n)-ln(en12)(nN)221 .解：(I)由f(x)=f(x)可知f(x)是偶函数.于是f(x)0对任意xwR成立等价于f(x)>0对任意x>0成立.，,，(1分)由f(x)=exk=0得x=lnk.当kw(0,1时，f(x)=ex-k>1-k>0(x>0).此时f(x)在0,+8)上单调递增.故f(x)Af(0)=1>0,符

20、合题意.，(3分)当kw(1,+r)时，Ink>0.当x变化时f'(x),f(x)的变化情况如下表：,(4分)x(0,lnk)lnk(lnk,+30)f'(x)0+f(x)单调递减极小值单调递增由此可得，在0,+出)上，f(x)>f(lnk)=kklnk.依题意，kklnka0,又k>1,.1<k<e.综合，得，实数k的取值范围是0ck<e.,(7分)(n)：F(x)=f(x)+f(x)=ex+e«>0,.lnF(x1)lnF(x2)=ln(ex1ef)(ex2e"2)又e*)(ex2.e逃)=e"-e4x

21、,x2)e"2.ex2e玉x2.e'1x2)-2ex1x2.2,(10分)二lnF(1)+lnF(n)>ln(en木+2),InF(2)InF(n1)ln(en12)1111H,112分)InF(n)InF(1).ln(en12).由此得：2lnF(1)lnF(2)川lnF(n)=lnFlnF(n)lnF(2)lnF(n1)MlnF(n)lnF(1)nln(en12)故lnF(1)+lnF(2)+IM+lnF(n)Anln(en*+2),nwN*成立.,(14分)222 .(本题满分14分)已知函数f(x)=x(xa)2,g(x)=x2+(a1)x+a(其中a为常数)；

22、(I)如果函数y=f(x)和y=g(x)有相同的极值点，求a的值；-a.(II)设aA0,问是否存在x0(1,q),使得f(%)Ag(x0),若存在，请求出实3数a的取值范围；若不存在，请说明理由.(III)记函数H(x)=f(x)-1g(x)-1,若函数y=H(x)有5个不同的零点，求实数a的取值范围.20.解：(I)f(x)=x(xa)2=x32ax2+a2x,则f(x)=3x-4ax+a2=(3x-a)(x-a),a.,、，a-1a-1令f(x)=0,得x=a或一，而g(x)在x=处有极大值，=a=a=-1,或322aTa/=a=3；综上：2=3或2=-1.,(3分)23(II)假设存在，即存在xw(1,a),使得f(x)g(x)=x(xa)2x2+(a1)x+a322=x(xa)+(xa)(x+1)=(xa)x+(1-a)x+1>0,.a、一一a当x=(1,)时，又a>0,故xa<0,则存在xj1,),使得33x2+(1-a)x+1<,0,(4分)1