二项式定理及其简单应用

1、二项式定理二项式定理(1)(1)-二项式定理及其简单应用二项式定理及其简单应用 对于对于ab，(ab)2，(ab)3，(ab)4，(ab)5等等代数式，数学上统称为代数式，数学上统称为二项式二项式，其一般形式为：，其一般形式为： (ab)n（nN*）二项式二项式 由于在许多代数问题中需要将二项式展开，由于在许多代数问题中需要将二项式展开，因此，因此，二项式定理二项式定理研究的是研究的是(ab)n展开后的表达式的一般结构。展开后的表达式的一般结构。那么那么(ab)n 的展开式的展开式是什么呢？是什么呢？一、问题引入一、问题引入什么是二项式，二项式定理研究的是什么？什么是二项式，二项式定理研究的是

2、什么？二、讲授新课二、讲授新课问题问题1：有有2个口袋，每个口袋都同样装有个口袋，每个口袋都同样装有a,b两个两个小球，现依次从这小球，现依次从这2个口袋中各取出一个小球，共个口袋中各取出一个小球，共有多少种不同的取法？有多少种不同的取法？请分别用列举法、分类计数原理进行分析。列举法列举法：aa，ab，ba，bb 共共4种种.问题问题1：有有2个口袋，每个口袋都同样装有个口袋，每个口袋都同样装有a,b两两个小球，现依次从这个小球，现依次从这2个口袋中各取出一个小球，个口袋中各取出一个小球，共有多少种不同的取法？共有多少种不同的取法？分类计数原理分类计数原理：由于由于b选定后选定后,a也随之确定

3、，因此：也随之确定，因此：第一类，两次都不取第一类，两次都不取b（即两次都取（即两次都取a），有），有 1种取法，种取法，第二类，任一次取第二类，任一次取b（即另一次取（即另一次取a），有），有 2种取法；种取法；第三类，两次都取第三类，两次都取b（即两次都不取（即两次都不取a），有），有 1种取法。种取法。 共共4种种.02C12C12C问题问题2：请将：请将(a+b)(a+b)逐项展开并整理逐项展开并整理思考思考：问题：问题2与问题与问题1的处理过程之间有何的处理过程之间有何异同点异同点？同：同：展开的过程就是取球的过程；展开的过程就是取球的过程；异：异：取球取球ab，ba属两种方法，展开

4、式中的属两种方法，展开式中的ab，ba可合并同类项。可合并同类项。23a b：将（） 展开并整理后，各项的系数与取球问题中有问题何联系？ 整理后，各项系数为各项在展开式中出现的次数，整理后，各项系数为各项在展开式中出现的次数，即取球问题中分类计数原理的各类结果数。即取球问题中分类计数原理的各类结果数。222122022222bCabCaCbababa ）即（问题问题4：有有3个口袋，每个口袋都同样装有个口袋，每个口袋都同样装有a,b两个小两个小球，现依次从这球，现依次从这3个口袋中各取出一个小球，共有多个口袋中各取出一个小球，共有多少种不同的取法？少种不同的取法？请用分类计数原理进行分析请用分

5、类计数原理进行分析种；第一类，三次都不取03,Cb121323,ba CCC第二类，任一次取其他两次取种，212313,ba CCC第三类，任两次取其他一次取种，33, b C第四类，全部取种，012333338CCCC即共种.3展开后的多项式）请写出（ba3031222333333()abC aC a bC abC b?4展开后的多项式）（练习：谁能快速写出将ba44433422243144044)(bCabCbaCbaCaCba322333aa babb432234464babbabaa问题问题5:？展开并整理后的多项式）将（nba)(Nn二项式定理二项式定理问题问题6:nnnrrnrnn

6、nnnnbaCbaCbaCbaCba01100)( 1)1)公式右边的多项式叫做公式右边的多项式叫做(a+b)(a+b)n n的的 ，其中其中 （r=0,1,2,nr=0,1,2,n）叫做）叫做 ；2)2) 叫做二项展开式的叫做二项展开式的通项通项，用，用T Tr+1r+1表示，表示，该项是指展开式的第该项是指展开式的第 项项. .rnC二项展开式二项展开式二项式系数二项式系数rrnrnbaCr+1r+1nnnrrnrnnnnnnbaCbaCbaCbaCba01100)( 二项式定理二项式定理：)(Nn三、二项式定理三、二项式定理1rn rrnrabTC即即nrZr0,且2.二项式系数规律：二

7、项式系数规律：nnnnnCCCC、 2103.指数规律：指数规律：（1）各项的次数和均为）各项的次数和均为n；（2）二项式的第一项）二项式的第一项a的次数由的次数由n逐次降到逐次降到0， 第一项第一项b的次数由的次数由0逐次逐次升到升到n.1.项数规律：项数规律：展开式共有展开式共有n+1项项二项式定理二项式定理 )(NnnnnrrnrnnnnnnbaCbaCbaCbaCba01100)( 注意：注意：公式中公式中a,b可以是单项式、多项式、任意实数。可以是单项式、多项式、任意实数。（3 3）用）用-b-b代替代替b b ：（1 1）令）令a=1a=1，b=xb=x：01(1 1)nrnnnn

8、nCCCC（2 2）令）令a=1a=1，b=1b=1：（二项式系数和公式）（二项式系数和公式）nnnrrnnnnnxCxCxCxCxCx221001nnnrrnrnrnnnnnnnbaCbaCbaCbaCbaCba022211001四、理论迁移（一）四、理论迁移（一）法二：先化简法二：先化简通项通项，后展开，后展开法一：直接展开法一：直接展开 例例1 1 （1 1）求）求 的展开式的展开式. .71xx（2 2）求）求 的展开式的第的展开式的第4 4项的系数项的系数. .71xx（3 3）求）求 的展开式中的展开式中x x的二项式系数的二项式系数. .71xx注：注：一个二项展开式的某一项的一

9、个二项展开式的某一项的二项式系数二项式系数与与这一这一项的系数项的系数是两个不同的概念。是两个不同的概念。活学活用（一）活学活用（一）2122444134324214124244411612123222222121121xxxxxCxCCxCxxxxCxxCTrrrrrrrrr解：2321222422123xCTT四、理论迁移（二）四、理论迁移（二）总结：总结：逆用逆用二项式定理可以二项式定理可以化简化简多项式，多项式，体现的是整体思想注意分析已知多项式的体现的是整体思想注意分析已知多项式的特点，向二项展开式的形式靠拢特点，向二项展开式的形式靠拢 活学活用（二）活学活用（二） 各项的次数和均为各项的次数和均为n；a a的指数从的指数从n n逐项递减到逐项递减到0 0，是降幂排列；，是降幂排列；b b的指数从的指数从0 0逐项递增到逐项递增到n n，是升幂排列，是升幂排列. .五、课堂小结五、课堂小结2.二项式系数规律：二项式系数规律：nnnnnnnnnnnCCCCCCCC2210210 且、3.指数规律：指数规律：1.项数规律：项数规律：展开式共有展开式共有n+1项项二项式定理二项式定理 )(NnnnnrrnrnnnnnnbaCbaCbaCbaCba01100)( 4.通项：通项：1rn rrnrabTC即即 2.课后思考：课后思