张雪明老师自主招生解题思路上午

1、精品文档自主招生解题思路（上午课程）01高校自主招生备考指南一、不忘高中以前的数学作圆的切线EF,F为切点，直径MN求GE的长。BC（M在BC的劣弧上），若MF交BC于G,N例如：（2012卓越）如图，半径为5的圆O中，延长长度为8的弦BC至E,使CE4,二、重视高中现在的数学例如：（2012卓越）已知a,b1,2,3,4,5,直线ya（1）直线与圆有父点的概率；（2）直线与圆的交点个数的数学期望。三、关注高中以后的数学例如：（2012香港大学）（1）求证2f（sinx）dx2（2）求证xf（sinx）dx:f（sinx）dx；（3）求GcMxb与圆x2y22,求f(cosx)dx;xsinx

2、,2dx。01cosx1欢在下载精品文档四、关注学校特色及培养理念2010北大自主招生（三校联招）数学部分1 .（仅文科做）0,求证：sintan.2 .AB为边长为1的正五边形边上的点.证明：AB最长为虫.（25分）23 .AB为y1x2上在y轴两侧的点，求过AB的切线与x轴围成面积的最小值.（25分）4 .向量OA与OB已知夹角，OA1,OB2,OP(1t)OA,OQtOB,0tb0),(焦点为Fi与F2),研究以下问题，并在双曲线Ka2b221=1(a,b0),(焦点为Fi与E)中提出类似问题。b2(1)过左焦点Fi的弦AB试求三角形ABF的周长;(2)P是E上的一个不属于长轴的点，试确

3、定4PFE的右(左)旁切圆与长轴所在直线的切点位置;(3) A是E内的一个定点，试确定E上一个点P,使|PA+|PF2|最小；(4) P是E上的一个点，且P对两个焦点的视角为0，试确定PFF2的面积;(5) P是E上的点，自焦点Fi或E引APFFz的P角的外角平分线的垂线，垂足为Q求Q的轨迹方程；(6)椭圆E的物理光学性质。12欠迎下载精品文档05思路生成联想、方法模型用于问题情景的联想一基干可能性的选择一构建方法一成功卜失败，新的循环-二、典型示例问题1:已知实数x、y满足方程x2+y24x+1=0.求(1) 丫的最大值和最小值；x(2) yx的最小值；(3) x2+y2的值域.问题2:求函

4、数f(x,y)京一了v；(x1)27x2(y1)2*：(x1)2(y1)2的最小值.引申1:在平面上找点，使之到一个凸四边形的各个顶点距离之和最小引申2:在空间找点，使之到一个正方体的八个顶点距离之和最小13欠0迎下载精品文档引申3:在平面上找点，使之到一个三角形的各个顶点距离之和最小费马“三村短路”问题一一如何用一组公路将已知的不在一直线上的三个村庄连接起来，使公路的总长度最短？这是数学史上的一个著名问题，据说是法国大数学家费马向伽利略的高足、意大利物理学家托里拆利提出来的，用数学语言来表达，就是：已知平面上的不共线的三点A,B,C试求一点P,使得PA+PB+PC最小.关于费马“三村短路”问

5、题主要结论有：(1)若三角形ABC勺各个内角均小于120，则在其内部必有满足APBBPCCPA120的点P,使得PAP8PC最小；(2)若三角形ABC43,A120,则当P与A重合时，PA+PPC=ABAC最小.我们把这样的点称为三角形的“最小点”问题3：求证：(Cn0)2(C：)2(C：)2L(Cnn)2C1.问题4：若对于任意的11-2IB.b2xR,者B有acosxbsinx1,贝U22a2b21122F1C.a2b21D.b2问题5:对于任意的a,b,cR+,有Ja2b24b/14欠迎下载精品文档06解题思路生成特殊化、方法模型、典型示例问题1：“三人行，必有吾师焉。”问百人中吾师至少

6、几人?问题2:如果奇函数f(x)在区间3,7上是增函数，且最小值是5,则f(x)在区间7,3上是()A.增函数且最小值为-5B,增函数且最大值为-5C.减函数且最小值为-5D.减函数且最大值为-5),.一,2.2(B)右ab,则ab.一.11(D)右2b，则9b7问题3：已知a、bR下列命题中正确的是,.一,2.2(A)右ab,则ab一4.-11(C)右ab,则-a2b2问题4:互不相等的三个正数a,b,c成等差数列，x是a,b的等比中项，y是b,c的等比中项，那么x2,b2,y2三个数()(A)成等差数列不成等比数列(B)成等比数列不成等差数列(C)既成等差数列又成等比数列(D)既不成等差数

7、列，又不成等比数列问题5:若曲线C上的点的坐标都是方程F(x,y)0的解，则下列结论中正确的是15欠迎下载精品文档)(A)方程F(x,y)0的曲线是C(B)方程F(x,y)0的曲线不是C(C)曲线C上的点都在方程F(x,y)0的曲线上(D)以方程F(x,y)0的解为坐标的点都在曲线C上问题6:在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”。根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是()(A)甲地：总体均值为3,中位数为4(B)乙地：总体均值为1,总体方差大于6(C)丙地：中位数为2,众

8、数为3(D)丁地：总体均值为2,总体方差为31问题7：命题：三角形三边长a,b,c,若a1a11口一,b-c-,则三角形是正三角形。此bc命题真假?问题8：过抛物线y2ax(a0)的焦点F作一条直线交抛物线于11BF的长分别为p、q,则一一等于()pq，、，、1，、(A)2a(B)(C)4a2aA、B两点，若线段AF与4(D)-a问题9:(1)与正方体三条两两异面的棱所在直线均相交的直线有几条?(2)到互相垂直的的异面直线的距离相等的点有几个？16迎下载精品文档问题10：圆中kPAkPB1,那么椭圆中kPAkPB怎样?问题11：ai,a2,a3,，an是各不相同的正自然数，a2,求证：(1)a

9、()a()aL()a2.aa2a3an问题12：从52124,72148,1121120,1321168,L可以获得什么猜想？你能证明你的猜想么?17发迎下载精品文档07解题思路生成一般化、方法模型二、典型示例22问题1:求与双曲线-y-=1有共同的渐近线，且过点（4,2）的双曲线方程。24问题2:在ABC所在坐标平面内，求一点uuuLiruuuu巳使AP2+BP2uuuo+CP取得最小值。问题一一一1n3：已知x2cos,猜想xX问题4:如图，蜜蜂家在8号房间，它从1号或2号房间进入，途经其它若干房间回家，如果蜜蜂在任何房间里只能进入相邻房间，同路径共有（）A.8种B.16种C且只能从小号房

10、间进入大号房间，则蜜蜂回家的不.32种D.34种问题5:上楼梯的时候，每一步只能跨一级或两级，则登上一个10级楼梯的不同方法数有多18欠0迎下载精品文档少种引申1、某人一步可以跨楼梯一级或两级或三级，讨论他登上n级楼梯的方法数。引申2、某人一步可以随意跨楼梯一级或多级，讨论他登上n级楼梯的方法数。问题6:色不同,圆形伞面是8个扇形组成，现用5种不同颜色对这问有多少种不同的染色方法？8个区域染色，要求相邻区域颜问题7:辛卜生公式、推导、应用19欠0迎下载精品文档请读者讨论以下问题。假如我们只会求圆柱体的体积，期望求与之等底等高的圆锥体的体积的近似值，那么以下那个图形的近似程度高？如果我们想得到圆

11、锥体积的精确值，结合图形，提出一个方法，并进行尝试。几何体体积公式的一般化一一辛卜生公式辛卜生公式夹在两平彳T平面之间的几何体，如果被平行于这两平面的任何平面所截截得的截面面积是截面高的(不超过三次的)多项式函数，那么这个几何体的体积，就等于其上底面积、下底面积与四倍中截面面积的和乘以高的六分之一如图，一个几何体夹在两平行平面之间，用平行于底,几何体，截得面积为：32Aa0xaixa?xa3(a0,a1,a2,a3R),则该几何体的体积是：hV-(SS4So),其中h,S,S,So依次为几何体的高、下底面积、上底面积、中截面面积.且与下底距离为x的平面来截该08解题思路生成抽象化20欠0迎下载

12、精品文档、方法模型初始问题十描象（数学）化辈得思路或等价问题啊决音等价问题思路二、典型示例问题1:有一种变压器，铁芯的截面是正十字形，为保证所需要的磁通，需要一定的截面积，现要求正十字形面积为4乖cm2,应如何设计正十字形的长y和宽x,才能使正十字形的外接圆周长最短（从而使绕在铁芯上的铜线最省）？引申1：某编辑在校阅教材时，发现这句：“从60角的顶点开始，在一边截取9厘米的线段，在另一边截取a厘米的线段，求两个端点间的距离”，其中a厘米在排版时比原稿上多1.虽然如此，答案却不必改动，即题目与答案仍相符合，则排错的a.引申2：有一盒大小相同的球，它们既可排成正方形，又可排成一个正三角形，且正三角

13、形每边上的球恰比正方形每边上多2个小球，球数为.问题2:小可从家里出发到车站去接妹妹小爱，在他出发的同时，妹妹也从车立向家里走，小可动身的时候，家中的小狗阿黑随即向车站方向奔跑，遇到妹妹后立即返回奔向小可，遇到小可又立即返回奔向妹妹，就这样来回不停直到兄妹相遇。若家里与车站相距12公里，小可速度每小时2公里，小爱速度每小时1公里，阿黑速度每小时15公里，问从出发直到兄妹相遇，阿黑一共跑了多少公里？问题3:用锤子以均匀的力敲击铁钉入木板。随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力会越来越1*大，使得每次钉入木板的钉子长度后一次为刖一次的-kN。已知一个铁钉受击3次后全部进入木板，且第一次受击后进入木板部分的

14、铁钉长度是钉长的4,试确定ko问题4:两个人坐在一个长方形棋盘旁，相继轮流在棋盘上放同样大小的棋子。条件是棋子一定要平放在桌面上，后放的不可与先放的重叠。游戏进行下去，桌面上最终会布满棋子而21;迎下载精品文档不能再放棋子。若谁有机会放上最后一枚的谁就获胜。问游戏开始时先放的能胜还是后放的能胜？问题5：设有n个机场，每一机场起飞一架飞机，飞到离起飞机场最近的机场降落，且任何两机场之间的距离都不相等。试证：任意机场降落的飞机不可能超过5架。问题6:某校有教职员工150人，为了丰富教工的课余生活，每天定时开放健身房和娱乐室。据调查统计，每次去健身房的人有10%F次去娱乐室，而在娱乐室的人有20%F

15、次去健身房请问，随着时间的推移，去健身房的人数能否趋于稳定？问题7:将半径为R的四个球，两两相切的放在桌面上，求上面一个球的球心与桌面的距离问题8:下图是2008年北京奥运会的会徽图案一一“中国印”，它由四个色块构成，可以O现在要求只用三条用线段在不穿越其他色块的条件下将其中任意两块相联结（如同架桥）线段将四个色块联成一体，不同的连接方案共有（）A.4种B.12种C.16种D.24种问题9:（探索性问题）在水平桌面上放一只内壁光滑的且近似抛物面形的玻璃水杯，取一些22欠迎下载精品文档长短不一的细直金属棒随意丢入该水杯中，发现呈现如图所示的现象(1)猜想交汇点性质；(2)结合猜想，根据物理学原理

16、，对上述现象作出假说(3)将假说数学化；证明假说；(5)用一句话评价你的探索过程.问题10:山有5只猴，得到了一堆桃子，他们发现桃子不能被均匀分5份，于是猴子们决定先去睡觉，明天再讨论如何分配。夜深人静的时候，猴子A偷偷起来，吃掉了一个桃子后，发现余下的桃子正好可以平均分成5份，于是它拿走了一份；接着猴子B也起来先偷吃了一个，结果发现余下的桃子恰好又可以被平均分成5份，于是它也拿走了一份；后面的猴子CDE依次如法炮制，先偷吃一个，然后将余下的桃子平均分成5份并拿走了自己的一份，问：这一堆桃子至少有几个？09解题思路生成符号化23f迎下载精品文档、方法模型模型1:初始问题符号化或数学语言化一莎得

17、思、路或等价问题一问题蟀决问题1:给朋友打电话，告诉他（她）你面前这张图的样子，请在横线上写上你的电话语言问题2:平面截正方体，截口是三角形，则该三角形是锐角三角形。221m1(n1)问题3：设R,x,yR,求证：xyxy。问题4：歌德巴赫（Goldbach.C.德.16901764）曾研究过“所有形如n为正整数）的分数之和”问题.写出你对此问题的研究结论:24欠迎下载精品文档问题5:甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品,一，_一_1,一而乙机床加工的零件不是一等品的概率为一，乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的41_一，一一_2-一零件不是一等品的概率为

18、,甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为-.分别求129甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率问题6:用3元与5元钞票可以组成任何价值为n元的款项，而n8,nN。问题7:新区新建有5个住宅小区（A、RC、D日，现要铺设连通各小区的自来水管道,如果它们两两之间的线路长如下表（距离单位：km）：ABCDEA5785B352C54D4E请问最短的管线长为（）A.13B.14C.15D.1722问题8:已知二次曲线Ck的方程：“一1.9k4k（1）分别求出方程表示椭圆和双曲线的条件；25欠0迎下载精品文档(2)若双曲线Ck与直线yx1有公共点且实轴最长，求双曲线方程；(3)m、n为正整数，

19、且mn,是否存在两条曲线Cm、Cn,其交点P与点Fi(J5,0),F2(、区,0)满足PF；PF20?若存在，求m、n的值；若不存在，说明理由.问题9：如图所示，设曲线y；上的点与x轴上的点顺次构成等腰直角三角形x1,OBiAi,AiBzAL,直角顶点在曲线y上.试求An的坐标表达式，并说明这些三角形x的面积之和是否存在.10解题思路生成结构化、方法模型26欠迎下载精品文档初始问题构造相关模式或结构一莎得思路或等价问题一问题解决等价问题思路二、典型示例问题1:已知圆上有12个点，每两点连一线段，求所有线段在圆内最多有几个交点问题2：若方程xy6V反”3k0仅表示一条直线，则k的取值范围（）(A

20、)k3或k0(B)k3(C)k4(D)k问题3：已知两直线aix+biy+1=0和a2x+b2y+1=0的交点为P（2,3）,求过两点Q出，bi）、Q（a2,b2）（awa2）的直线方程.问题4：三个面两两垂直，公共点为O,点P到三个面的距离分别为a,b,c,求|PO|；问题5：一个二面角的两个半平面与另一个二面角的两个半平面分别垂直，那么这两个二面角的大小有何关系？27欠迎下载精品文档问题6:平行六面体各个面所在的平面把空间分成的区域数为（）A.2B.18C.27D.36引申：四面体各个面所在的平面把空间分成的区域数为问题7:如果一个四面体的三个面是直角三角形，下列三角形：（1）等角三角形；（2）锐角三角形；（3）直角三角形；（4）等腰直角三角形；（5）钝角三角形。那么可能成为这个四面体第四个面的是（填上你认为正确的序号）。问题8：函数fxVxJ1x2yx4lx2xR的反函数是28欠0迎下载精品文档