弹性力学基础汇总

1、一、基本物理量应力张量：在直角坐标系中，过弹性体内任一点取分别平行于三个坐标平面的三个微平面，它们的外法线方向分别为三个坐标轴的方向，将三个剪应力平行于坐标轴的两个分量；由此共得九个应力分量，记为：xx«xyxzT=7yxTyy7yz；每个分量的第一下标表示应力分量所在平面的外法线方向，第二下标表示应力分量zx三z三zz的方向。应力分量的正负号规定为：当应力分量所在平面的外法线方向与某坐标轴同向时，应力分量的方向也与相应坐标轴同向；当应力分量所在平面的外法线方向与某坐标轴反向时，应力分量的方向也与相应坐标轴反向。3、应变弹性体内某一点的正应变（线应变）：设P为弹性体内任意点，过P点某

2、一微元线段变形前的长度为Al,变形后的长度为定义P点l方向的正应变为：/=也”凶"。即正应变表示单位长度线段的伸长或缩短。弹性体内某一点的剪应变（角应变）：设可.和4八为过P点的两微元线段，变形前两线段相互垂直，定义变形后两线段间夹角的改变量（弧度）为角应变，夹角减小则角应变为正。应变张量：在直角坐标系中，过弹性体内任一点取分别平行三个坐标轴的线段，按上述原则定义各应变分xx"yxz量，得：&=%x%y%z；两个下标相同的分量为正应变，其它为剪应变。j'zx*zy*zz-关于主应变和主应变方向的讨论与主应力基本相同，可以证明，主应变方向与主应力方向重合。4、

3、外力体积力：作用于弹性体内部每一点上，如重力、电磁力、惯性力等。设AV为包含P点的微元体，作用于该微元体上的体积力为AFv,则定义P点的体积力为：f=蚂靠="*fyfz。表面力：作用于弹性体表面，如压力，约束力等。设AS为包含P点的微元面，作用于该微元面上的表面力为AFs,则定义P点的表面力为：S=1mtFSu&xSySzF。、基本方程1、平衡方程应用牛顿第二定律，建立力学平衡方程，表达应力与位移之间的关系。设P为弹性体内任意点，由P点沿三坐标轴的正向分别取长度为dx、dy和dz的三条棱边，由此构成一个微长方体。微长方体共六个面，每个面上有一个正应力和两个剪应力。按前节应力定

4、义，过P点的X平面(平面的法线方向与X轴平行，即平面与YOZ坐标面平行。)上的应力分量为：Txx="x(x,y,z)、%=%(x,y,z)和=%(x,y,z)。(图3)与该平面平行而相距dx的X平面上的应力分量为：i'xx=T'xx(x+dx,y,z)>%'="'(x+dx,y,z)和“'%'(x+dx,y,z)。将这三个应力分量在P点作哥级数展开，并略去二次以上小量，得：xxdx、Txy-xy:.-xy:xdx和T'xzxzCTxzdx。同理可得其它四个面上的应力分量。微长方体平衡必须满足三个方向上的力的平衡和

5、三个方向上的力矩平衡。在X方向上力的平衡，按牛顿第二定律有：-xxdydz'(xx-L-2xLdx)dydz-yXdxdz'(yXdy)dxdz-zxdxdy(zxxdz)dxdy二x：zfxdxdydz=-2一二u:-2-dxdydz什CTVXCTyxxfxy:z.2其中p为弹性体体积密度。Ft2同理可得其它两个方向的平衡方程:,膜zy,fvV.-fy-x2，xcy：zct%也+f=p。z12;x二y：z：t讨论力矩平衡时，为计算方便，将坐标原点移到微长方体的重心处。由于体积力、惯性力和正应力的合力都通过微长方体的重心，因此它们对三个坐标轴的力矩都为零，即力矩平衡方程中仅包含

6、剪应力。由于剪应力三yx和x与X轴平行，因此对X轴的力矩为零。绕X轴的力矩平衡方程为：(图4)1-：yz一一1一一一1一f一一一1一一7yzdxdz*-dy+(7yz+dy)dxdz*-dy-zydxdy一dz-(。+-dz)dxdy,一dz=0；2t:y22；z2整理得：2iyz+9dy2%y导dz=0；略去高阶小量，得：27yz2%y=0；即：*皿=飞工、。二y二z同理可得对于其它两个坐标轴的力矩平衡方程:xyTT=工八yx,zxxzo由此导出剪应力互等定理，九个应力分量中只有六个是独立的。2、几何方程应用变形几何关系，表达应变与位移之间的关系。(图5)X方向正应变:u二u变形前微线段长度

7、为四=dx；变形后长度为&'=dx+(u十一dx)u=(1+)dx。按正应变定义,x方向正应变为：£xx=lm(1：:u/；:x)dx-dx；:x:u同理可得:.:w.:zXY平面剪dx：xvtan二xvx.yxydxo.x和dy线形后的转角分别为：(v:xdx)-v；:u:xyxtan二yx.:u胃(u-dx)dx-ufx.x1.1/.u男应变：,yx="+限=2(&+露同理可得：“=；zyzxxz11w二u、=一(一+一)。2ex:z共六个独立应变分量。1、本构方程材料物理性质的数学表达，又称广义虎克定理，表达应变与应力之间的关系。设材料的弹性模

8、量为E,剪切弹性模量为G，泊松比为V，三个材料常数之间的关系为:可以证明，各向同性材料只有两个独立的材料常数，常用的材料常数有五个，统称拉梅系数，用其中任意两个可表达其余三个系数。如X方向受到简单拉伸，按虎克定理和横向收缩系数的泊松比关系为:E=EE名=名=-VZcxxxx,yyzzxxo当受到纯剪时，剪应力与剪应变的关系为:%=G(%y+%x)=2G%y。如所有应力都存在，则按迭加原理可得应力-应变关系式:xx=xxi(yyzJ/E；yy=yy(zzxx)/E；zz=zz一、(xxyy)/E；xy=%/2G；&yz=Tyz/2G；%x"zx/2G。或以应变表达应力的关系式:

9、-xx(1)(1-2.)(1V)&xx+"(*yy+®zz)；，xy=2G&xy；-yy(1')(1-2>)(1-)-yy'(-zz.-xx)；，yz=2G，yz；zz(1')(1-2>)(1V)&zz+v(&xx+8yy)；%x=2G®zx。定义体积应变为8=名心+yy+zz,则应变表达应力的关系式又可表达为:xx一1r,2G；xx;xv=2G；xv；xxxxxyxyyy='B'2G；yy；yz=2G；yz；E、.Ezz+2Gszz；Tzx=2G；其中拉梅系数=。(1)(1-2)

10、2、边界条件和初始条件弹性力学问题的边界条件分成两类：力边界条件和位移边界条件。力边界条件：设P为弹性体表面受到表面力区域中的一点，取一包含P点的微四面体，四面体的三个界面平行于坐标平面，另一面则为包含P点的弹性体表面曲面(图6)。由于四面体很小，表面曲面可近视为三角形斜面。设表面在P点的外法线方向为N,方向余弦分别为nx、ny和nz,表面力强度为s=&SySzT,斜面面积为dS,三个界面的面积分别为dSx、dSy和dSz。各面积间有关系：dSx=nxdS,dSv=ndS和dSz=nzdS。xxyyzz如体力为0,则微四面体在X方向的力平衡方程为：sxdS=xxdSx+TyxdSy+T

11、zxdSz；代入面积间有关系，得：sH-xxnx-vxnv,zxnz;xxxxyxyzxz同理可得Y、Z方向的力平衡方程：Sy=7刈儿+%丫0+jynz；sx=xznx+yzny+zznzoyxyxyyyzyzxxzxyzyzzzLL二v二v?一二n二nv=v0(x,y,z)；w=w°(x,y,z)；'u：:u：:v：:v位移边界条件：u=u;v=v;w=w,或一=；=一FnFn：:n：:n对于动力学问题还需加上初始条件，t=0时有：u=u0(x,y,z)；-uvw丁=Ut0(x,y,z);=Vt0(x,y,z);丁=Wt0(x,y,z)。-t二t二t、基本解法3,p494三

12、组基本方程（本构方程、几何方程、平衡方程）共15个方程，三组基本变量（位移、应力、应变）共15个变量，加上边界（及初始）条件构成弹性力学问题的基本数学形式，理论上可求解。实际工作中将问题简化，一般以三个位移分量或六个应力分量为未知数求解，称为“位移法”或“力法”。1、位移法以三个位移分量为基本未知量，将其它未知量的方程和边界条件用位移来表示。将几何方程代入本构方程，消去应变分量，得：xx.u-)2G4二x二y：z二x：u二V、xy=G(')二yxTyyz.:uAfw、”.:v=M+十)22G;：:x；:y；:zjy：V：w、yz=Gy耳）;zz/：:uVjwx".:w=

13、9;()2G；fx：:y；z；z：w：Uzx=G(二x二z将各应力代入平衡方程，X方向的平衡方程为:CTCTuycT、xxtyx,zxIY-xx二y；z.:uV；:w一(一一)G(.x二x二y二z-.2二(3TT)2gN2一x二x:y二z二x-2-2-2.2二U二V二w二U)G(xcx：y二x:z二x-2G二y-2二u二y-2-2-2)G(T)fx一x：y；x.z二z-2二u)fx二z._2-('G)-(-T)G2ufx=：f-2二V2，,：t2二x二x二ycztt.2二w;:t2同理：(/,"G)一()G'、2Vfy=；y；xNzz.-：u:v：wI2(，一G)()

14、G1wfz=-：ztx；y:z2、力法四、圣维南（Saint-Venant）原理1,p152又称局部影响原理。如作用于弹性体边界局部表面AS上的一组外力，被另一组与其等效（合力和合力矩相等）的力系所代替，则在弹性体内产生的应力的改变随着与AS的距离的增加而迅速衰减。应力的改变的影响区域与AS的尺度为同数量级。例：两端受力的杆（外力为集中力或分布于杆端表面）；虎钳夹铁丝。五、应变能和能量原理弹性体内单位体积的应变能称应变能密度:11/CCC、2乙乙第j勒2(7xx&xx+Tyy&yy+zz6zz+2TxyExy+27yz&yz+2zx&zx)°弹性体应变

15、势能：,1U=J££强勒dV;V2弹性体外力势能(变形过程中外力所做的功的负值)：V=-(fxufyvfzw)dV一(sxusyvszw)dS；VS弹性体总势能：n=u+v。最小势能原理(线弹性保守系统中的虚位移原理)：在一切变形可能的状态中，真实状态相对应的总势能最小。即弹性体总势能应取极小值。第二章弹性力学各类经典专题一、平面应力问题平面应力问题以特定受力条件的薄板为研究对象。1、几何特征弹性体为均匀厚度的薄平板，其厚度远小于板平面内的最小尺寸。2、外力特征板的上下表面上无表面荷载；作用于板边缘的荷载平行于板面，且沿厚度不变，或虽沿厚度变化但对称于板的中间平面；体积力也

16、平行于板面且沿厚度不变。取板的中间平面为XY坐标面，即Z轴方向垂直于板面。由于板的上下表面上无外力，即Tzz(z=±h/2)=Tzx(z=±h/2)=Tzy(z=±h/2)=0o严格意义上，在板的内部此三个应力分量不为零，但由于板很薄，且在此外力特征下，板不受弯曲作用，因此板的内部此三个应力分量数值都很小，可近似为零。于是板内仅包含Txx、Tyy和Txy三个应力，由于此三个应力都属于XY平面内的应力，故称这类问题为平面应力问题。由于板很薄，故此三个应力沿厚度的变化较小，可假定它们沿厚度为均匀分布，或认为所计算的是此三个应力沿厚度方向的平均值，即它们的值与Z变量无关

17、。由上述应力假定，从本构方程可得：%z=Tyz/2G-0；Gx=*zx/2G0；zz-zz(xxyy)/E二V(xxyy)/E0从平衡方程可得:从几何方程可得:1.xx二.yxf=U1xy二yyf'-2V.x-'o'ly-'o'2I2-yg2xtyct二x二yct名zz=；代入上式得：,=Y0xx+7yy)/E；由于和yy与Z变量无关,二zz积分得：w=-v(+T)z/E。xxyy/综合上述，十五个变量中有Tyz、Ezx、Wzz、名yz和8zx五个为零；而变量名zz和w按上式成为xx和7yy的函数，不再独立；故平面应力问题共有八个独立变量，且都与Z变量无

18、关。、平面应变问题平面应变问题以特定受力条件的直柱体为研究对象。1、几何特征弹性体为等截面的长直柱体，其截面的最大尺寸远小于柱体的长度。其位移约束条件也沿柱体长度不变。2、外力特征柱体所受的表面荷载和体力都垂直于柱体长度方向，且其分布规律沿长度不变。u=u(x,y)、取柱体长度方向为Z轴。由于Z轴方向近似为无限长，所以任何一个横截面可视为对称面，从而可假定有:v=v(x,y)和w=0。1/A；：w、八-（十,）=0；2；z二yzx-xz从几何方程可得：；zz-w,一二0、；yz=；zy:z平面内的应变，故称这类问题为平面柱体内仅包含%、/y和£xy三个应变，由于此三个应变都属于XY应变问题。4zvGxx+7yy)/E=0,可得:从本构方程可得：%z=2Gayz=0、Tzx=2G8zx=0;而由/zzz=v(V