抛物线中两线段的和最小问题差最大问题

1、抛物线中两线段和最小问题(及差最大问题)1.(2012湖北恩施8分)如图，已知抛物线y=-x2+bx+c与一直线相交于A(T,0),C(2,3)两点，与y轴交于点N,其顶点为D.(1)抛物线及直线AC的函数关系式；(2)设点M(3,m),求使MN+MD的值最小时m的值;(3)若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B,E为直线AC上的任意一点,过点E作EF/BD交抛物线于E的坐标；若不能，请说明理由;1,(2012湖北恩施8分)(4)如图，过点P作PQ，x轴交AC于点Q;过点点F,以B,D,E,F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点(4)若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求4【分析】(

2、1)利用待定系数法求二次函数解析式、一次函数解析式。形三边关系作N点关于直线x=3的对称点N',当M(3,m)在直线(3)分BD为平行四边形对角线和BD为平行四边形边两种情况讨论。C作CGx轴于点G,设Q(x,x+1),则P(x,-x2+2x+3),求得线段PQ=x2+x+2o由图示以及三角形的面积公式知S/PC=SaPQ+S8PQ,由二次函数的最值的求法可知APC的面积的最大值解：(1)由抛物线y=x2+bx+c过点A(T,0)及C(2,3)得，J-1b+c=04+2b+c=3解得b=2c=32。：抛物线的函数关系式为y=x+2x+3。设直线AC的函数关系式为y=kx+n,AC过点A

3、(-1,0)及C(2,3)得fk+n=0,解得1k=1。：直线AC的函数关系式为y=x+1。2k+n=3n=1(2)作N点关于直线x=3的对称点N',令x=0,得y=3,即N(0,3)。223)由y=-x2+2x+3=(x1)+4得D(1,4)。设直线DN的函数关系式为y=sx+t,则6s+t=3s+t=4得s=1。：故直线DN的函数关系式为_1Y+21o根据轴对称的性质和三角形三边关系，知当/一5y-5x5t=21t=5(3,m)在直线DN上时，MN+MD的值最小，：m=_1x3+"=18。：使MN+MD的值最小时m的值为H。(3)由(1)、(2)是平行四边形，此得D(1,

4、4),B(1,2),当BD为平行四边形对角线时，由B、C、D、N的坐标知，四边形BCDN时，点E与点C重合，即E(2,3)。当BD为平行四边形边时，点E在直线AC上，：设E(x,x+1),则F(x,x2+2x+3)。又;BD=2:若四边形BDEF或BDFE是平行四边形时,BD=EF。：*+2x+3_(x+1)=2，即_x2+x+2=2。2右-x+x+2=2,解得，x=0或x=1(舍去)，E(0,1)o2若_x2+x+2=_2,解得，x=1土,2EA+"3+*rr1或E1<Tr3J7综上，满足条件的点E为（2,3）、（0,（4）如图，过点P作PQ±x轴交AC于点Q;过点

5、C作CG，x轴于点G,设Q(x,x+1),则P(x,x2+2x+3)。.PQ=(-x2+2x+3)-(x-1)=b2+x+2。1S小PC=S&PQ+S在PQ=2PQ，AGj(.x2x21)2+红。二28，+7：P71)、1时,23<0，2APC的面积取得最大值，最大值为27。82.（2012湖北黄冈14分）如图,已知抛物线的方程1y=xCi：m2（x-m）m0,与x轴相交于点B、C,与y轴相交于点E,且点B在点C的左侧.（1）若抛物线Ci过点M（2,2）,求实数m的值.（2）在（1）的条件下，求BCE的面积.在的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H,使BH+EH最小，并求出点H的坐

6、标.（4）在第四象限内,求m的值；若不存在,请说明理由.2,（2012湖北黄冈14m的值。C关B、抛物线Ci上是否存在点分）【分析】（1）将点（2,（2）求出B、C、E点的坐标，从而求得4BCE的面积。（3）根据轴对称以及两点之间线段最短的性质，可知点于对称轴x=1对称，连接EC与对称轴的交点即为所求的H点。（4）分两种情况进行讨论：当ABECABCF所示，此时可求得242+2。当ABECAFCB时，如图所示，此时得到矛盾的等式，故此种情形不存在。解：（1）;抛物线Ci过点M（2,2）,2=_1（2+2修-m）,解得m=4om(2)由(1)得y=(x+2vx-4)。令x=0,得y=2。E(0,

7、2),OE=2。4y=0,得0=工+2仅)丹，解彳Xi=-2,x=4oEJ(2,0),C(4,0),BC=6。.BCE时,如图E匕/0f4k+b=。,解得%=b=2b=2_1。：直线CE的解析式为y=x+2。22当x=1时,:H(1,3)。(4)存在。分两种情形讨论：当BECsBCF2时，如图所示。则BE_BC，BC2=BE?BFo由(2)知B(-2,0),E(0,2),BC-BF即OB=OE,ZEBC=45,：/CBF=45。作FT"轴于点F,则BT=TF。：令F(x,-x-2)(x>0),又点F在抛物线上，：一x-2=(x+2Yx-m),x+2>0(/x>0),

8、：x=2m,F(2m,m2m2)。此时BF=1(2m+2)2+(-2m2)=22(m+1),BE=2j2；BC=m+2,又BC2=BE?BF,(m+2)2=272?2+2(m+1),解彳tm=2+2v2。m>0,m=2%2+2。当ABECFCB时，如图所示。贝UBCEC,：BC2=EC?BF。同，丁/EBC=/CFB,BF-BCBTFsCOE：TOE2。：令F(x,-(x+2)(x>0),又点F在抛物线上，：BTOCm2.、(x+2)m=(x+2Yx-m)°mvx+2>0(vx>0),x=m+2。.F(m+2,2m(m+4),e3=m''24+

9、，BC=m+2。又BC2=EC?BF,(m+2)=4+4(m+2+25+4(黑0=16,显然不成立。综合得，在第四象1的面积=1_6o(3)由(2)可得y=(x+2)(x4)的对称轴为x=1。连接CE,交对称轴于点H,由轴对称2一4=kx+b，贝1的性质和两点之间线段最短的性质，知此时BH+EH最小。设直线CE的解析式为m=2*2+2。A(4,0),B(2,3),C(0,3)限内，抛物线上存在点F,使得以点B、C、F为顶点的三角形与4BCE相似,3(2012湖南郴州10分)如图，已知抛物线y=ax2+bx+c经过点.(1)求抛物线的解析式及对称轴.(2)在抛物线的对称轴上找一点M,使得MA+M

10、B的值最小，并求出点M的坐标.(3)在抛物线上是否存在一点P,使得以点A、B、C、P四点为顶点所构成的四边形为梯形？若存在,请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.3, (2012湖南郴州10分)，【分析】(1)已知抛物线上三点A、B、C的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式，再称轴公式xb求出对称轴。(2)如图1所示，连接AC,则AC与对称轴的交点即为所求之M点；已_2a知点A、C的坐标，利用待定系数法求出直线AC的解析式，从而求出点M的坐标。(3)根据梯形定义确定点P,如图2所示：若BC/AP1,确定梯形ABCP1.此时P1为抛物线与x轴的另一个交点，解一元二次方程即可求得点Pi的坐

11、标;若AB/CP2,确定梯形ABCP2.止匕时P2位于第四象限，先确定CP2与x轴交点N的坐标，然后求出直线CN的解析式,再联立抛物线与直线解析式求出点P2的坐标。2.解：(1).抛物线y=ax+bx+c经过a(4,0),B(2,3),316a+4b+c=。,解得a=_8。：抛物线的解析式为:：4a，2b，c=33r3b-3c=3-4x+3,其对称轴为：xb12a(2)由B(2,3),C(0,3),且对称轴为x=1,可知点B、C是关于对称轴x=1的对称点。如图1所示，连接AC,交对称轴x=1于点M,连接MB,则MA+MB=MA+MC=AC,根据两点之间线段最短可知此时MA+MB的值最小。设直线

12、AC的解析式为y=kx+b,-.A(4,0),C(0,3),蜜14k-b二0b=33。：直线AC的解析式为:b=3y=3x+3o4，19令x=1，得y=4(3)结论：存在。如图2所示，在抛物线上有两个点P满足题意：若BC/AP1，此时梯形为ABCP1。由B(2,3),C(0,3),可知BC/x轴，则x轴与抛物线的另一个交点P1即为所求。3X2+3+3中令y=0，解彳.x1=-2,x2=4o:P1(-2,0)oVP1A=6,BC=2，:PAwBC一A1A384:四边形ABCP1为梯形。若AB/CP2,此时梯形为ABCP20设CP2与x轴交于点N,.BC/x轴，AB/CP2,:四边形ABCN为平行

13、四边形。：AN=BC=2。N(2,0)。设直线CN的解析式为y=k1x+b1,则有：J2k1+b1=0,解得1kb1=3b=3;直线CN的解析式为：y=-3x+3。二点P2既在直线CN:y=23x+3上，又在抛物线:23厂一8十且x十3上,43323._2x+3=x+x+3,化间得：x6x=0,斛置x1=0(舍去),x2=6o284:点P2横坐标为6,代入直线CN解析式求得纵坐标为60：P2(6,6)。,口ABCN,：AB=CN,而CP2wCN：CP2，AB:四边形ABCP2为梯形综上所述，在抛物线上存在点P,使得以点A、B、C、P四点为顶点所构成的四边形为梯形，点P的坐标为(一2,0)或(6

14、,6)。4.(2012四川自贡14分)如图，抛物线l交x轴于点A(-3,0)、B(1,0),交y轴于点C(0,-3).将抛物线l沿y轴翻折得抛物线li.(1)求li的解析式；(2)在l1的对称轴上找出点P,使点P到点A的对称点A1及C两点的距离差最大，并说出理由；(3)平行于x轴的一条直线交抛物线l1于E、F两点，若以EF为直径的圆恰与x轴相切，求此圆的半径.4, (2012四川自贡14分)，【分析】(1)根据翻折变换的性质，求得A1和B1的坐标，用待定系数法即可求得抛物线l1的解析式，(2)根据三角形两边之差小于第三边的性质即可知，BC的延长线与对称轴x=1的交点P,即为所求。求出BC的解析

15、式即可求得点P的坐标。(3)设圆心为D,半径为r,根据直线与圆相切的性质知D(1,r),F(1+r,r)。由于点F在抛物线l1上，代入即可求得r。分圆位于x轴上方和下方两种情况讨论即可。由翻折变换的性质可知解：(1)如图1,设经翻折后，点A.B的对应点分别为AB1,依题意A1(3,0),B1(-1,0),C点坐标不变，：抛物线l1经过A1(3,0),B1(-1,0),9a+3b+c=0a-b+c=0Jc=-3C(0,-3)三点，设抛物线l1的解析式为y=ax2+bx+c,则:抛物线1i的解析式为：y=x22x3a=1,解得b=-2c=-3(2)抛物线1i的对称轴为：x=b-=_二=1,如图2,连接BiC并延长，与对称2a2轴x=1交于点P,则点P即为所求。此时，|PAiPC|=|PB1PC|=B1C0设P'为对称轴x=1上不同于点P的任意一点，则有：|P'卜P'C|=|P'1bP'C%BiC(三角形两边之差小于第三边)，：|P'卜P'C1PAi-PC|,即1PAi-PC|最大设直线BiC的解析式为y=kx+b,则-k+b=0士,斛仔k-b-3。.直线BiC的解析式为：y=3x3ob=-3令