幂级数在组合中的应用

1、论文3哥级数在组合中的应用江权霞谢文清（指导老师：陈引兰）湖北师范学院数学与统计学院1001班摘要：幕级数是高等数学中的一个重要内容，而且它的应用也非常广泛，是数学分析中常用的工具。本文归纳总结了幕级数在组合中的几种应用，并将幕级数法与其他方法在组合运算中的应用作比较，可看出幕级数在组合中应用的广泛性和巧妙性。关键词：幕级数组合数数学归纳法一、幕级数在组合中的广泛应用1.组合数等式的证明在进行有关组合数加法的计算时，我们常常利用二项展开式作为发生函数，适当的配置两个或多个二项展开式，使它们的乘积级数即幕级数中的通项的系数恰好等于所要寻求的和式，下面以命题形式给出常见的组合数等式。命题1（n）2

2、+（n-c2+（>=（）口nnnn证因为（i+x）=zCxk，（i+x）=z（n4Nn*，002n4n两式左边相乘可得：（1+x）=£（2、，其中x项的系数为（2）.0nnYn）两式右边相乘可得：仁淤|三（n*）xn*，乘积中xn的系数为10人0）nn2工Gn*产工00比较系数有：n222（2n户工（k）=（n）0命题2对于正整数m,n,k而言，有等式k工田尸吸力）.i=0证由现有的展开（1-x）*'=£（n+xi,（1-x=£（Mkj,x<1,可ifj=0QO八.n-m-1-ss-n-m:；1x.s山nJ_m1_n_m_2得发生函数：1-x1

3、-xl：=1-x另一方面，zC*，i£（m.）xj中xs的系数为工（nm+j）,比较<i=PJUq，i书三ms_i_nm1.sm)=(n4m书)°s系数有：z（n、m+j）=£（:ij=si=0记n+i=v,m+si=kv,JMn+m+1+s=k+1,因而可得:k_m“，nm印2.组合数的计算k)=e(nMmT)=(n*=0例1往一个袋子里装入红黄蓝绿四种颜色共计n个球，要求红球个数是偶数，黄球个数是5的倍数，篮球至多4个，绿球至多1个，求满足要求的装法数目Pn.2解该问题可化为求x1+x2+x3+刈=n非负整数解的组数，其中x1,x2,x3,x4依次代表红

4、黄蓝绿球的个数，其中x1是偶数，x2是5的倍数，长工4441.不难发现，所求的R是下面幕级数乘积展开式中xn的系数:1x2x4+1x5x101xx2x3x41x将该式各因子分别按等比数列求和公式化简有:121-x所以原式=£由xn=£-(n+1xn,于是R=n+1.n6n=0我们可以看到，一个看似无从下手的组合学问题，可以通过对幕级数的巧妙理解而使其得以迅速解决。例2将一颗骰子连续投掷10次，问出现20点的概率是多少？解设Bn表示共出现n点的方式的总数，显然10WnW60,则Bn的发生函数为:101-x6)60Fx="Bnxn=1xx2+-+x6nj010因为（1

5、+x6）=i-（T）x6+（20）x12Y0）x18i+（10）x60,（i-xj0=i+d0）x+（21）x2+（32）x3+-+（19）x10则F（x）的展开式中x20项的系数为：B20=（10）-（1°X；3）=85228,所以出现20点的概率为：85228=0.001409.106从上面的计算可以看出，借助幕级数构造发生函数，来解决组合数的计算问题，是一种比较简单的计算方法。、事级数法与其它方法的比较通过以上的叙述可以看到幕级数在组合中的广泛应用，下面将例举几种在组合应用中常见的数学方法，同时也用幕级数来解决相同的题目。1.数学归纳法与幕级数法例试证十（:书）十弓也）十十（n

6、、）=（nT*）.证1（数学归纳法）在m上进行数学归纳，当m=1时，左边=（n）+（n出）=（:多户右边，包成立；假设m=k-1时，等式成立，即）+（：书）+"也尸+珏=（：:），则m=k时，左边=（n广心+弓42广+女”）+（n*）+（n*）=（：=十）=右边，所以m=k时，等式也成立.综上：%t于vmwn+,都有（：）+十nn勺irn'inT1oOoO证2(幕级数法)因为(1x)T'=£(n"xk,(1-x)'=£xk,x<1,则00CO-n-41-n-2_n4k“1k1-x1-x=1-x八nk1xk0AAoO、Zxk中

7、x八0Jm项的系数为£4m考虑以上两式中xm项的系数，则有（：勰书尸丁"飞），得证.02 .子空间几何法与幕级数法n例（Vandermonde-叵等式）（二"）=£（二乂b）.i=0证1（子空间几何法）我们知道a+b元集合小，门2，na,m）,m2，mJ的子集的个数为记"），现在我们来计算它的n子集个数，先从n1,n2，na中选n-i个元素，有（a_i刑方法，然后从m1,m2，mb中选余下的i个，有（b）种n方法，对i=0,1;2r）,求和得到n子集个数为£（a_i）（b）.因此i力ab=；n-ii成立，得证.i=0证2（幕级数法）于

8、x<1时，有（1十x?=£（a）xj,（1十x）b=£CM.因j=0i=0.abn_.此（1+x）1+x）展开式中x的系数为"广e（axb）=£（a=xb）.Lj=ni=03 .格路模型法与幕级数法n例E（nn”=22n.k=0n证1（格路模型法）上述等式可看作是22（2n工）2k=22n（*）的变形，记k毋P（0,2n）,Q（2n,0）,那么（冲）右边表示从点（0,0）到斜线PQ上所有整数点的路径数，即为22n,我们可以看出路径数必须通过直线y=n或x=n上的点，不妨设通过直线y=n上的点A（n-k,n）,k=0,1,2，n,A为最后一个通过直线

9、的点，通过A点之后只能向上走一步到达B（n-k,n+1）点，所以从B点到达斜边上的路径数为2k-1,其中（nj）表示从（0,0心到（n-k,n熄或（n,n-k熄的路径数，再n对k进行求和，得到通过直线y=n的路径数为Z（nn"）2k再由对称性可知，k=0从（0,0）点出发通过直线x=n的路径数也为Z（nn*RJ,故恒等式（片）成立.同kfn证2（幕级数法）原式等价于£（2n*pkNn=1,令nk=j,则k-0产=1,即=1-n1二又因为（ix）=£（n+x1,x<1,则iqn所以2-n、j=0：=2-n,p4一2n卜1,即（*）式成立，故原式也成立.通过比较可以看出，在某些组合运算中，应用幕级数法比其他方法更加简便易懂，而且书写更简洁。三、总结本文利用幕级数的重要性质解决了组合学中的一些基本问题，体现了幕级数在组合中的广泛应用，同时也将幕级数与其他方法相比较，可见幕级数在