排列组合与二项式定理及概率综合

1、第一讲排列组合排列和排列数公式mn!*、/.l-、An=n(n-1)(n-2)-(n-m+1)=n_m；(m,nCN,并且mAk-1,AkAk+1，如求(a+bx)n(a,bCR)的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为A1，A2,，An+1,且第k项系数最大，应用二、常规题型专题一题型一：二项式定理的逆用；例：C；+C；6+C；62+111+0：6r=练：Cl+3C：+9C；+IH+3n，Cnn=.题型二：利用通项公式求xn的系数;例：在二项式(，1+yx2)n的展开式中倒数第3项的系数为45,求含有X3的项的系数?19练：求（x2）9展开式中x的系数?2x题型三：

2、利用通项公式求常数项；例：求二项式（x2十）10的展开式中的常数项？2,x1、6练：求一项式（2x-）的展开式中的常数项？2x练：若（x2+1）”的二项展开式中第5项为常数项，则n=x题型四：利用通项公式，再讨论而确定有理数项；例：求二项式（jx-3/xj9展开式中的有理项？展开式中偶数项系数和为题型五：奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和;-256，求n.练：若（+卫厂的展开式中，所有的奇数项的系数和为1024,求它的中间项。题型六：最大系数，最大项；一一，.1一一例：已知（一+2x）,若展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二2项式系数最大项的系数是多少？练

3、：在（a+b）2n的展开式中，二项式系数最大的项是多少?x1,练：在（一-）的展开式中，只有第5项的二项式最大，则展开式中的常数项是多少？23x练：写出在（a-b）7的展开式中，系数最大的项？系数最小的项？1n练：若展开式前二项的二项式系数和等于79,求（万+2x）n的展开式中系数最大的项?练：在（1+2x）10的展开式中系数最大的项是多少？题型七：含有三项变两项；例：求当（x2+3x+2）5的展开式中x的一次项的系数？，一，、一1Q练：求式子（x+-2）的常数项?x题型八：两个二项式相乘；例：求（1+2x）3（1-x）4展开式中x2的系数.练：求（1+眩）6（1+/）10展开式中的常数项.、

4、x11练：已知（1+*+*2）葭+十厂的展开式中没有常数项，nwN且2En98,则门=x题型九：赋值法；例：设二项式（3眩十3尸的展开式的各项系数的和为p,所有二项式系数的和为s,若xp+s=272,则n等于多少?练:若看4二的展开式中各项系数之和为64,则展开式的常数项为多少?x练：若(12x)2009=aQ+ax1+a2x2+a3x3+|+a200gX2OO9(x=R),则+五十十|2瑞的值为练：若(x-2)5=%x5+a4x4+%x3+a2x2+a3+a0,贝3+a2+a3+a4+a5=.概率随机事件的概率例1.1)一个盒子装有5个白球3个黑球，这些球除颜色外，完全相同，从中任意取出两个

5、球，求取出的两个球都是白球的概率；(2)箱中有某种产品a个正品,出的全是正品的概率是(b个次品，现有放回地从箱中随机地连续抽取3次，每次1次，求取C3A3A.-CB.?C：bA3b33a_CrD一(ab)3A：2)(3)某班有50名学生，其中15人选修A课程，另外35人选修B课程，从班级中任选两名学生，他们是选修不同课程的学生的概率是多少？解：(1)从袋内8个球中任取两个球共有C；=28种不同结果，从5个白球中取出2个白千有C2=10种不同结果，则取出的两球都是白球的概率为P(A)=2814一p皇R=3(a-b)C507练习1.盒中有1个黑球9个白球，它们除颜色不同外，其它没什么差别，现由10

6、人依次摸出1个球，高第1人摸出的是黑球的概率为R,第10人摸出是黑球的概率为Pw,则()A.p10=二eB.P10P1109C.P10=0D.P0=P1解：D2.在一次口试中，要从20道题中随机抽出6道题进行回答，答对了其中的5道就获得优秀，答对其中的4道就可获得及格.某考生会回答20道题中的8道题，试求：8(1)他获得优秀的概率是多少？(2)他获得及格与及格以上的概率有多大?解：从20道题中随机抽出6道题的结果数，即是从20个元素中任取6个元素的组合数c20.由于是随机抽取，故这些结果出现的可能性都相等.记“他答对5道题”为事件Ai,由分析过程已知在这C6o种结果中，他答对5题的结果有C6+

7、q5Ci12=700种，故事件A的概率为P(A尸1叱潟(2)记“他至少答对4道题”为事件a,由分析知他答对4道题的可能结果为C6+C5C%+C；Ci：=5320种,故事件A2的概率为：P(A2尸53207C60-51答：他获得优秀的概率为正，获得及格以上的概率为工.1938513、有5个指定的席位，坐在这5个席位上的人都不知道指定的号码，当这5个人随机地在这5个席位上就坐时.(1)求5个人中恰有3人坐在指定的席位上的概率；(2)若在这5个人侍在指定位置上的概率不小于1，则至多有几个人坐在自己指定的席位上？6C31解：(1)P(A)=5=A512(2)由于3人坐在指定位置的概率1v1,故可考虑2

8、人坐在指定位置上的概率，设5人中有2人1262,坐在指定位置上为事件B,则P(B)=1,又由于坐在指定位置上的人越多其概率越少，而要求概A56率不小于L,则要求坐在指定位置上的人越少越好，故符合题中条件时，至多2人坐在指定席位上.6互斥事件有一个发生的概率例1.袋中有红、黄、白3种颜色白球各1只，从中每次任取1只，有放回地抽取3次，求：(1) 3只全是红球的概率.(2) 3只颜色全相同的概率.(3) 3只颜色不全相同的概率.(4) 3只颜色全不相同的概率.解：(1)记“3只全是红球”为事件A.从袋中有放回地抽取3次，每次取1只，共会出现3父3父3=27种等可能的结果，其中3只全是红球的结果只有

9、一种，故事件A的概率为P(A)=,27(2) “3只颜色全相同”只可能是这样三种情况：“3只全是红球(事件A);“3只全是黄球”(设为事件B);“3只全是白球”(设为事件C).故“3只颜色全相同”这个事件为A+B+C由于事件A、B、C不可能同时发生，因此它们是互斥事件.再由于红、黄、白球个数一样，故不难得一一一一一1P(B)=P(C)=P(A)=,故P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=1.9(3) 3只颜色不全相同的情况较多，如是两只球同色而另一只球不同色，可以两只同红色或同黄色或同白色等等；或三只球颜色全不相同等.考虑起来比较麻烦，现在记“3只颜色不全相同”为事件D,则事件D为“3只颜色

10、全相同”，显然事件D与D是对立事件.18,P(D)=1_P(D)=1_工=-.99(4)要使3只颜色全不相同，只可能是红、黄、白各一只，要分三次抽取，故3次抽到红、黄、白各一只的可能结果有c3c2c；=6种，故3只颜色全不相同的概率为6.2-1-.279练习1.从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是()A.至少有1个黑球与都是黑球B.至少有1个黑球与至少有1个红球C.恰有1个黑球与恰有2个黑球D.至少有1个黑球与都是红球解：C2 .从男女学生共36名的班级中，任意选出2名委员，任何人都有同样的当选机会，如果选得同性委员的概率等于二，求男女相差几名？C2=x(x

11、-1)C2-3635362解：设男生有x名，则女生有36-x名，选得2名委员都是男生的概率为:选彳#2名委员都是女生的概率为鲁士萨以上两种选法是互斥的，又选得同性委员的概率是得.x(x-1)(36-x)(35-x)_1,36353635-2解得：x=15或x=21即：男生有15名，女生有21名；或男生有21名，女生有15名.总之，男、女生相差6名.3 .学校某班学习小组共10小，有男生若干人，女生若干人，现要选出3人去参加某项调查活动，已知至少有一名女生去的概率为5,求该小组男生的人数?6解：6人相互独立事件同时发生的概率和条件概率例1.如图所示，用A、BC三类不同的元件连接成两个系统N1、N

12、2,当元件A、B、C都正常工作时，系统N1正常工作，当元件A正常工作且元件B、C至少有1个正常工作时系统N2正常工作，已知元件A、B、C正常工作的概率依次为0.8、0.9、0.9,分别求系统N1、N2正常工作时的概率.10Ni：-ab-EHLNz：心-LE解：分别记元件A曰C正常工作为事件A、曰C,由已知条件P(A)=0.80,P(B)=0.90,P(C)=0.90(I)因为事件AB、C是相互独立的，所以，系统帅正常工作的概率pi=p(AB.C)=P(A)p(B)p(C)故系统Ni正常工作的概率为0.648.=0.800.900.90=0.648(n)系统电正常工作的概率P2=P(A).1_P

13、(BC)|=P(A尸_P(B产(CpP(C)=1_P(C)=1-0.90=0.10,；P(B尸_P(B_0.90=0.10,P2=0.80Xj-0.10X0.10=0.80X0.99=0.792.故系统正常工作的概率为0.792.练习1.有甲、乙两地生产某种产品，甲地的合格率为90%乙地的合格率为92%从两地生产的产品中各抽取1件，都抽到合格品的概率等于()A.112%B.9.2%C.82.8%D.0.8%解：C2 .箱内有大小相同的20个红球，80个黑球，从中任意取出1个，记录它的颜色后再放回箱内，进行搅拌后再任意取出1个，记录它的颜色后又放回，假设三次都是这样抽取，试回答下列问题：求事件A

14、:“第一次取出黑球，第二次取出红球，第三次取出黑球”的概率；求事件B:“三次中恰有一次取出红球”的概率.解：(16；481251253、从甲袋中摸出一个红球的概率是1,从乙袋中摸出1个红球的概率是-,从两袋中各摸出1个球,3 2则2等于()3A. 2个球不都是红球的概率B. 2个球都是红球的概率C.至少有1个红球的概率D.2个球中恰好有1个红球的概率解：C4、甲、乙、丙三人分别独立解一道题，甲做对的概率为1,甲、乙、丙三人都做对的概率是,甲、224乙、丙三人全做错的概率是1.4(1)求乙、丙两人各自做对这道题的概率；(2)求甲、乙、丙三人中恰有一人做对这一道题的概率.解：1,。或工，工；”34

15、43245.甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为1,乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为4工，甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为Z.分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零12911件是一等品的概率；从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，求至少有一个一等品的概率解：1,L2；刍3436例2甲、乙两地位于长江下游，根据天气预报的记录得知，一年中下雨天甲市占20%乙市占18%两市同时下雨占12%求甲市为雨天，乙市也为雨天的概率是多少？乙市为雨天甲市也为雨天的概率市多少？甲乙两市至少有一地委雨天的概率

16、是多少？几何概型例1(I)连续抛掷两枚正方体骰子(它们的六个面分别标有数字12,3,4,5,6),记所得朝上的面的点数分别为x,y,过坐标原点和点P(x,y)的直线的倾斜角为6.求10A60的概率；(H)若x,ywR,且1ExW6,1WyW6,过坐标原点和点P(x,y)的直线的斜率为k,求1-WkW3的概率.3答案.解：(I)用(x,y)表示基本事件，其中x,y1,2,3,4,5,61,则总的基本事件有ABCD,其面积为5M5=25个-8分十3,x,yR6M6=36个2分60,tantan60-3丁过原点和P(x,y)的直线的斜率为yx二斜率大于J3的基本事件为(1,2),(1,3),(1,4

17、),(1,5),(1,6),(2,4),只9I(2,5),(2,6),(3,6)4分一91八，二所求的概率为一=-6分364(n)x,yR,1_x_6,1-y-6二总的基本事件构成的平面区域为如图的正方形1设事件M=(x,y)|1sx6,1syS6,-3则事件M构成的区域如下图中的阴影部分1125-2-1322所求的概率P(2k3)=2=-12分3252512练习1.(2009山东卷理)在区间卜1,1上随机取一个数x,COSjx的值介于0到1之间的概率为22().1212A.-B.一C.-D.一3兀23【解析】:在区间-1,1上随机取一个数一xx,即xw1,1时，要使cos的值介于20到1之间

18、，需使21x1,1x：,222xW或一Mw1MxM或一WxM1,区间长度为一，由几何概型知COS22332233322的值介于0到1之间的I率为旦=1.故选A.223答案：A2.ABCD为长方形，AB=2,BC=1,O为AB的中点，在长方形ABCXJ随机取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为，一、n，_、几冗，_、n(A)(B)1-(C)(D)1Ji【解析】长方形面积为2,以O为圆心，1为半径作圆，在矩形内部的部分(半圆)面积为万HTL因此取到的点到O的距离小于1的概率为一登=一24取到的点到O的距离大于1的概率为1二43、有一段长为10米的木棍，现要截成两段，每段不小于3米的概率是多少?4

19、、两个人约定在20:00点到21:00点见面，并且先到者必须等迟到者40分钟方可离开,如果两个人出发是各自独立的，在这个时间相见是等可能的，求两个人相见的概率。5、在长度为10米的线段内任取两点将线段分成三份，求它们可以构成三角形的概率。离散型随机变量的分布列13例1.袋子中有1个白球和2个红球.每次取1个球，不放回，直到取到白球为止.求取球次数巴的分布列.每次取1个球，放回，直到取到白球为止.求取球次数的分布列.每次取1个球，放回，直到取到白球为止，但抽取次数不超过5次.求取球次数U的分布列.(4)每次取1个球，放回，共取5次.求取到白球次数的分布列.解：=23.P(湾)尸氤彳3,1P(c2

20、)-)=2=一P-_3A2A1313PF=3.A21P(=3)=-23-A3，所求巴的分布列是123P131313；每次取到白球的概率是1,不取到白球的概率是2，二所求的分布列是33123nP132V1K一33除3/312345P1321-X-3312211-X-3；2B.5,1I3JP=(-=k)=C5k(1)k-(-)5k,33其中k=0,1,2,3,4,5.所求的分布列是01234532808040101P243243243243243243变式训练1.是一个离散型随机变量，其分布列为-101P121-2q2q则q=()A.1B.1_22142D.解：D例2.一袋中装有6个同样大小的黑球

21、，编号为1,2,3,4,5,6,现从中随机取出3个球，以口表示取出球的最大号码，求的分布列.解：随机变量的取值为3,4,5,6从袋中随机地取3个球，包含的基本事件总数为C3,事件=3”包含的基本事件总数为c9,事件“0=4”包含的基本事件总数为C；C；事件“且=5”包含的基本事件总数为C11c/；事件亡=6包含的基本事件总数为C11C52；从而有C3二c!C6_12C1C3二-Q-120_3一20C11C42=T310C6C1C52二4，随机变量的分布列为:3456P1331202010212变式训练2:现有一大批种子，其中优质良种占30%从中任取2粒，记之为2粒中优质良种粒数，则0的分布列是

22、解：芦012P0.490.420.09例3.一接待中心有A、日C、D四部热线电话，已知某一时刻电话A、B占线的概率均为0.5,电话CD占线的概率均为0.4,各部电话是否占线相互之间没有影响，假设该时刻有部电话占线，试求随机变量的概率分布.解：01234p0.090.30.370.20.04变式训练3:将编号为1,2,3,4的贺卡随意地送给编号为一，二，三，四的四个教师，要求每个教师都得到一张贺卡，记编号与贺卡相同的教师的个数为巳求随机变量Z的概率分布.解：0124P986124242424第4课时离散型随机变量的期望与方差例1.从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量表示所选3人中女生的人数.求E的分布列；15求E的数学期望；求“所选3人中女生人数1W1”的概率.解：012P153515 eM=1 P(1)=P(=0)-P(=1)=-5为取得红球的次数,A.34一19C.197解：B例2抛掷两个骰子的期望和方差.变式训练1:如果袋中有6个红球，4个白球，从中任取1球，记住颜色后放回，连续摸取4次，设占则之的期望Et=()B.125D.13,当至少有一个5点或6点出现时，就说这次试验成功，求在30次试验中成功次数n解：”B(30,P),其中Pv_-X-=5,所以En=30d=50”=30M5M-