探求动点轨迹破解最值问题

1、探求动点轨迹破解最值问题最值问题是近几年中考的热点与难点之一，尤其是一类线段的最值问题备受命题人青睐这类线段有以下特点：线段的一个端点为定点，另一个端点为动点.解决此类问题的关键是构建动点白轨迹（直线型、曲线型）.下面，笔者略举数例加以说明.一、直线型轨迹当动点在线段、射线、直线上运动时，则称动点轨迹为直线型，这样的动点主要有三类定线定距离、定线定夹角、定点等距离。此时可将“点点距离”转化为“点线距离”，利用“垂线段最短”求解最值.1.定线定距离例1（2019年泰安中考题）如图1,矩形ABCD中，AB4,AD2,E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连结PB,则PB的最小值是（）(A

2、)2(B)4(C)、.2(D)2.2图I图2分析如图1,过点P作PQCE交CE于点Q,可证PQF:DEF,于是1 _一一一PQ-DEJ2,可知点P到CE的距离始终是J2,即点P在平彳T于CE且距离为亚2的直线l上运动.故线段PB的最小值转化为点B到直线l的垂线段BM的长（如图2）,BM22.评注若动点P到定直线l的距离为定值，则动点P的轨迹是平行于l的直线.2 .定线定夹角例2如图3,在矩形ABCD中，AB3,DCA30，点F是对角线AC上的一个动点，连结DF,以DF为斜边作DFE30的直角三角形DEF,使点E和点A位于DF两侧，点F从点A到点C的运动过程中，则CE的最小值是分析如图4,以AD

3、为斜边作DAG30的RtDAG,连接EG.因为DEDG1DFAD2EDGFDA,所以EDG:FDA,故DGEDAF60.可知动点E在与DG成60线段CH的长(如图5)。夹角的射线GE上运动，CE的最小值转化为点C到该射线的垂评注若动点P与定线段AB形成的PAB为定值，则动点P的轨迹是一条射线.3 .定点等距离例3如图6,在平面直角坐标系中,已知A(2,4),P(1,0),B为y轴上的动点，以AB为边构造ABC，使点C在x轴上,为BAC90.M为BC的中点，则PM的最小值分析如图7,连结八1八OMBC.同理AM2AM,OM.在RtOBC中，BOC1-BC,所以OMAM.可知动点290,M为BC的

4、中点，则M的运动轨迹是线段AO的垂直平分线l,故PM的最小值是点P至UI的垂线段PN的长(如图8).ffl8554易知D(0j),E(5,0),所以DE5府.在DEP中，由等积法，可得PN之展.225评注若动点P到两定点AB的距离相等，则动点P的轨迹是线段AB的垂直平分线.二、曲线型轨迹当动点在圆或圆弧上运动时，则称动点轨迹为曲线型，这样的动点主要有两类：定点定距离、定线定张角.此时可将“点点距离”转化为“点圆距离”，求解时常用到以下模型：如图9, P是。O外一点，直线PO分别交。O于点AB,则点P到。O上各点距离最大值为线段PA的长，最小值为线段PB的长.1 .定点定距离例4如图10,在矩形

5、ABCD中，AB3,BC2,M是AD边的中点，N是AB边上的动点，将AMN沿MN所在直线折叠，得到A'MN,连结A'C,则A'C的最小值是.图10图“分析由翻折，得MA'MA1,所以点A'在以M为圆心，半径为1的圆上运动(如图11).由模型，可知A'C的最小值为CG的长，CGCMMGJ而1.评注若动点P到定点A的距离为定长，则动点P的轨迹是以A为圆心，PA长为半径的圆或圆弧.2 .定线定张角(1)张角为直角例5如图12,点D在半圆O上，半径OB病,AD10,点C在弧BD上移动，连结AC,H是AC上一点，DHC90.连结BH,点C在移动的过程中BH

6、的最小值是()(A)5(B)6(C)7(D)8分析因为AD10是定值，AHD90,根据“直径所对的圆周角是直角”，可知点H在以AD为直径的。G的圆弧Dpe上运动(如图13).求BH的最小值可应用模型,连结BG交。G于点P,PB所求的最小值.因为AB是直径，所以ADB90,则AB2AD2BG2GD2,可得BG13,所以BPBGPG8.图1213评注如果AB为定线段，P是动点,APB90,那么动点P的轨迹是以AB为直径的圆或圆弧(2)张角为锐角例6如图14,在直角坐标系xOy中，已知正ABC的边长为2.点A从点O开始沿着轴的正方向移动，点B在xOy的平分线上移动，则点C到原点的最大距离是()(A)

7、1.2,3(B),2.6(C)2.3(D)122九7+"-图14图15分析如图15,作ABO的外接圆。D,CD交AB于点F。若将ABC看成静止的，则O点是动点，于是AB是定线段，AOB45是定角，则动点O的轨迹是优弧AOB.由模型，可知CO的最大值为CE的长.易得DEJ2,CFV3,DF1,所以CE1,23.评注若AB为定线段，P是动点，APB为定角且为锐角，作ABP的外接圆。O,则动点p的轨迹是。o上的优弧Apb.(3)张角为钝角2例7(2019年淄博中考题)如图16,顶点为M的抛物线yaxbx3与x轴交于A(3,0),B(1,0)两点，与y轴交于点C.(i)求这条抛物线对应的函数

8、表达式.(ii)问在y轴上是否存在一点P,使得PAM为直角三角形？若存在，求出点标;若不存在，说明理由二(iii)若在第一象限的抛物线下方有一动点D,满足DAOA,过D作DGP的坐x轴于点G,设ADG的内心为I,试求CI的最小值.图16图17图g分析2一一(i)这条抛物线对应的函数表达式为yx2x3.P坐标为(0,p).(ii)在y轴上存在点P,使得PAM为直角三角形，设点2_,.、2-yx2x3(x1)4,.顶点M(1,4).2AM220,22AP29p2,_2-2MP178pp.若PAM90,则2_22AM2AP2MP2,一一2,_2209p178pp,.一3解得p3,2_3P(0,3).

9、(2)若APM90,则AP2MP2AM2,229p2178pp220,解得p11,p23,P(0,1)或P(0,3)(3)若AMP90,则22-2AM2MP2AP2,一，_2_220178pp9p,解得p7,2P7).37综上所述，点P坐标为P(0,万)或P(0,1)或P(0,3)或P(0，5)时使得PAM为直角三角形.(iii)如图17,连结AI,DI,OI,由DGA90,I是ADG内心，易得AID135.由AOAD,IAOIAD,AIAI,得AIOAID,于是AIOAID135，又AO是定线段，所以点I在劣弧Ao上运动(如图18).连结CE交。E于点F.由AIO135,可得OEA90,则E(-),OE-72,222333-CE-J